Theorem enrefg 4377

Description: Equinumerosity is reflexive. Theorem 1 of [Suppes] p. 92.

Assertion

Ref	Expression
enrefg	|- (A e. B -> A ~~ A)

Proof of Theorem enrefg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resiexg 3388	. . 3 |- (A e. B -> (I |` A) e. V)
2		f1oi 3708	. . . 4 |- (I |` A):A-1-1-onto->A
3		f1oeq1 3675	. . . . 5 |- (f = (I |` A) -> (f:A-1-1-onto->A <-> (I |` A):A-1-1-onto->A))
4	3	cla4egv 1859	. . . 4 |- ((I |` A) e. V -> ((I |` A):A-1-1-onto->A -> E.f f:A-1-1-onto->A))
5	2, 4	mpi 44	. . 3 |- ((I |` A) e. V -> E.f f:A-1-1-onto->A)
6	1, 5	syl 10	. 2 |- (A e. B -> E.f f:A-1-1-onto->A)
7		breng 4363	. 2 |- (A e. B -> (A ~~ A <-> E.f f:A-1-1-onto->A))
8	6, 7	mpbird 196	1 |- (A e. B -> A ~~ A)

Syntax hints:   -> wi 3   e. wcel 956  E.wex 978  Vcvv 1807   class class class wbr 2614  Icid 2826   |` cres 3167  -1-1-onto->wf1o 3176   ~~ cen 4354

This theorem is referenced by:  enref 4378  eqeng 4379  domrefg 4380  f1oen2g 4381  unen 4420  sdomirr 4458  pwen 4489  onfin 4505  ssnn 4520  numth2 4765  oncardval 4799  cardonle 4802

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-sep 2698  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-rex 1647  df-v 1808  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-nul 2277  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-op 2412  df-uni 2499  df-br 2615  df-opab 2662  df-id 2830  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-f1 3190  df-fo 3191  df-f1o 3192  df-en 4357

Copyright terms: Public domain