Theorem enrer 5188

Description: The equivalence relation for signed reals is an equivalence relation. Proposition 9-4.1 of [Gleason] p. 126.

Assertion

Ref	Expression
enrer	|- Er ~R

Proof of Theorem enrer

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-enr 5178	. 2 |- ~R = {<.x, y>. | ((x e. (P. X. P.) /\ y e. (P. X. P.)) /\ E.zE.wE.vE.u((x = <.z, w>. /\ y = <.v, u>.) /\ (z +P. u) = (w +P. v)))}
2		visset 1816	. . 3 |- x e. V
3		visset 1816	. . 3 |- y e. V
4	2, 3	addcompr 5135	. 2 |- (x +P. y) = (y +P. x)
5		addclpr 5132	. 2 |- ((x e. P. /\ y e. P.) -> (x +P. y) e. P.)
6		visset 1816	. . 3 |- z e. V
7	3, 6	addasspr 5136	. 2 |- ((x +P. y) +P. z) = (x +P. (y +P. z))
8	3, 6	addcanpr 5164	. 2 |- ((x e. P. /\ y e. P.) -> ((x +P. y) = (x +P. z) -> y = z))
9	1, 4, 5, 7, 8	ecopoprer 4318	1 |- Er ~R

Syntax hints:  Er wer 4264  P.cnp 4997   +P. cpp 4999   ~R cer 5004

This theorem is referenced by:  enreceq 5189  addsrpr 5196  mulsrpr 5197  ltsrpr 5198

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-plp 5100  df-ltp 5102  df-enr 5178

Copyright terms: Public domain