Theorem ensdomtr 4616

Description: Transitivity of equinumerosity and strict dominance.

Assertion

Ref	Expression
ensdomtr	|- ((A ~~ B /\ B ~< C) -> A ~< C)

Proof of Theorem ensdomtr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		endomtr 4561	. . . . . . 7 |- ((A ~~ B /\ B ~<_ C) -> A ~<_ C)
2	1	ex 371	. . . . . 6 |- (A ~~ B -> (B ~<_ C -> A ~<_ C))
3	2	adantl 388	. . . . 5 |- ((B e. V /\ A ~~ B) -> (B ~<_ C -> A ~<_ C))
4		ensymg 4552	. . . . . . . 8 |- (B e. V -> (A ~~ B -> B ~~ A))
5	4	imp 348	. . . . . . 7 |- ((B e. V /\ A ~~ B) -> B ~~ A)
6		entr 4555	. . . . . . . 8 |- ((B ~~ A /\ A ~~ C) -> B ~~ C)
7	6	ex 371	. . . . . . 7 |- (B ~~ A -> (A ~~ C -> B ~~ C))
8	5, 7	syl 10	. . . . . 6 |- ((B e. V /\ A ~~ B) -> (A ~~ C -> B ~~ C))
9	8	con3d 95	. . . . 5 |- ((B e. V /\ A ~~ B) -> (-. B ~~ C -> -. A ~~ C))
10	3, 9	anim12d 561	. . . 4 |- ((B e. V /\ A ~~ B) -> ((B ~<_ C /\ -. B ~~ C) -> (A ~<_ C /\ -. A ~~ C)))
11		brsdom 4522	. . . 4 |- (B ~< C <-> (B ~<_ C /\ -. B ~~ C))
12		brsdom 4522	. . . 4 |- (A ~< C <-> (A ~<_ C /\ -. A ~~ C))
13	10, 11, 12	3imtr4g 556	. . 3 |- ((B e. V /\ A ~~ B) -> (B ~< C -> A ~< C))
14	13	expimpd 373	. 2 |- (B e. V -> ((A ~~ B /\ B ~< C) -> A ~< C))
15		relsdom 4515	. . . . . 6 |- Rel ~<
16	15	brrelexi 3291	. . . . 5 |- (B ~< C -> B e. V)
17	16	con3i 98	. . . 4 |- (-. B e. V -> -. B ~< C)
18	17	pm2.21d 78	. . 3 |- (-. B e. V -> (B ~< C -> A ~< C))
19	18	adantld 390	. 2 |- (-. B e. V -> ((A ~~ B /\ B ~< C) -> A ~< C))
20	14, 19	pm2.61i 124	1 |- ((A ~~ B /\ B ~< C) -> A ~< C)

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   /\ wa 221   e. wcel 994  Vcvv 1857   class class class wbr 2692   ~~ cen 4505   ~<_ cdom 4506   ~< csdm 4507

This theorem is referenced by:  sdomen1 4626  isfinite2 4692  pm54.43 4715  alephordi 5024  resdomq 7762  aleph1re 7763  infdif 7780  infpss 7786  aleph1irr 7790  top2ind 11050  ufilen 11664

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 998  ax-gen 999  ax-8 1000  ax-9 1001  ax-10 1002  ax-11 1003  ax-12 1004  ax-13 1005  ax-14 1006  ax-17 1007  ax-4 1009  ax-5o 1011  ax-6o 1014  ax-9o 1159  ax-10o 1177  ax-16 1247  ax-11o 1255  ax-ext 1500  ax-rep 2767  ax-sep 2777  ax-pow 2818  ax-pr 2855  ax-un 3089

This theorem depends on definitions:  df-bi 145  df-or 222  df-an 223  df-3an 783  df-ex 1017  df-sb 1209  df-eu 1421  df-mo 1422  df-clab 1506  df-cleq 1511  df-clel 1514  df-ne 1630  df-rex 1696  df-v 1858  df-dif 2101  df-un 2102  df-in 2103  df-ss 2105  df-nul 2333  df-pw 2459  df-sn 2470  df-pr 2471  df-op 2474  df-uni 2570  df-br 2693  df-opab 2741  df-id 2913  df-xp 3265  df-rel 3266  df-cnv 3267  df-co 3268  df-dm 3269  df-rn 3270  df-res 3271  df-ima 3272  df-fun 3273  df-fn 3274  df-f 3275  df-f1 3276  df-fo 3277  df-f1o 3278  df-er 4401  df-en 4509  df-dom 4510  df-sdom 4511

Copyright terms: Public domain