Theorem ensn1 4565

Description: A singleton is equinumerous to ordinal one.

Hypothesis

Ref	Expression
ensn1.1	|- A e. V

Assertion

Ref	Expression
ensn1	|- {A} ~~ 1o

Proof of Theorem ensn1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ensn1.1	. . . . 5 |- A e. V
2		0ex 2785	. . . . 5 |- (/) e. V
3	1, 2	f1osn 3830	. . . 4 |- {<.A, (/)>.}:{A}-1-1-onto->{(/)}
4		snex 2826	. . . . 5 |- {<.A, (/)>.} e. V
5		f1oeq1 3792	. . . . 5 |- (f = {<.A, (/)>.} -> (f:{A}-1-1-onto->{(/)} <-> {<.A, (/)>.}:{A}-1-1-onto->{(/)}))
6	4, 5	cla4ev 1915	. . . 4 |- ({<.A, (/)>.}:{A}-1-1-onto->{(/)} -> E.f f:{A}-1-1-onto->{(/)})
7	3, 6	ax-mp 7	. . 3 |- E.f f:{A}-1-1-onto->{(/)}
8		p0ex 2828	. . . 4 |- {(/)} e. V
9	8	bren 4518	. . 3 |- ({A} ~~ {(/)} <-> E.f f:{A}-1-1-onto->{(/)})
10	7, 9	mpbir 188	. 2 |- {A} ~~ {(/)}
11		df1o2 4276	. 2 |- 1o = {(/)}
12	10, 11	breqtrri 2713	1 |- {A} ~~ 1o

Syntax hints:   e. wcel 994  E.wex 1016  Vcvv 1857  (/)c0 2332  {csn 2467  <.cop 2469   class class class wbr 2692  -1-1-onto->wf1o 3262  1oc1o 4264   ~~ cen 4505

This theorem is referenced by:  ensn1g 4566  en1 4567  0sdom1dom 4671  pm54.43 4715  sucxpdom 4996  cda1en 5078  infpss 7786  on1el4 10963  top1 11049  top2ind 11050  top2usne 11051  homindlem2 11052

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 998  ax-gen 999  ax-8 1000  ax-10 1002  ax-11 1003  ax-12 1004  ax-13 1005  ax-14 1006  ax-17 1007  ax-4 1009  ax-5o 1011  ax-6o 1014  ax-9o 1159  ax-10o 1177  ax-16 1247  ax-11o 1255  ax-ext 1500  ax-sep 2777  ax-nul 2784  ax-pow 2818  ax-pr 2855  ax-un 3089

This theorem depends on definitions:  df-bi 145  df-or 222  df-an 223  df-3an 783  df-ex 1017  df-sb 1209  df-eu 1421  df-mo 1422  df-clab 1506  df-cleq 1511  df-clel 1514  df-ne 1630  df-ral 1695  df-v 1858  df-dif 2101  df-un 2102  df-in 2103  df-ss 2105  df-nul 2333  df-pw 2459  df-sn 2470  df-pr 2471  df-op 2474  df-uni 2570  df-br 2693  df-opab 2741  df-id 2913  df-suc 2981  df-xp 3265  df-rel 3266  df-cnv 3267  df-co 3268  df-dm 3269  df-rn 3270  df-fun 3273  df-fn 3274  df-f 3275  df-f1 3276  df-fo 3277  df-f1o 3278  df-1o 4269  df-en 4509

Copyright terms: Public domain