Theorem ensn1 4411

Description: A singleton is equinumerous to ordinal one.

Hypothesis

Ref	Expression
ensn1.1	|- A e. V

Assertion

Ref	Expression
ensn1	|- {A} ~~ 1o

Proof of Theorem ensn1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ensn1.1	. . . . 5 |- A e. V
2		0ex 2706	. . . . 5 |- (/) e. V
3	1, 2	f1osn 3710	. . . 4 |- {<.A, (/)>.}:{A}-1-1-onto->{(/)}
4		snex 2745	. . . . 5 |- {<.A, (/)>.} e. V
5		f1oeq1 3675	. . . . 5 |- (f = {<.A, (/)>.} -> (f:{A}-1-1-onto->{(/)} <-> {<.A, (/)>.}:{A}-1-1-onto->{(/)}))
6	4, 5	cla4ev 1865	. . . 4 |- ({<.A, (/)>.}:{A}-1-1-onto->{(/)} -> E.f f:{A}-1-1-onto->{(/)})
7	3, 6	ax-mp 7	. . 3 |- E.f f:{A}-1-1-onto->{(/)}
8		p0ex 2765	. . . 4 |- {(/)} e. V
9	8	bren 4365	. . 3 |- ({A} ~~ {(/)} <-> E.f f:{A}-1-1-onto->{(/)})
10	7, 9	mpbir 190	. 2 |- {A} ~~ {(/)}
11		df1o2 4130	. 2 |- 1o = {(/)}
12	10, 11	breqtrr 2635	1 |- {A} ~~ 1o

Syntax hints:   e. wcel 956  E.wex 978  Vcvv 1807  (/)c0 2276  {csn 2405  <.cop 2407   class class class wbr 2614  -1-1-onto->wf1o 3176  1oc1o 4118   ~~ cen 4354

This theorem is referenced by:  ensn1g 4412  en1 4413  0sdom1dom 4510  pm54.43 4552  sucxpdom 4826  cda1en 4906  boe 10392

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-v 1808  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-nul 2277  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-op 2412  df-uni 2499  df-br 2615  df-opab 2662  df-id 2830  df-suc 2949  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-f1 3190  df-fo 3191  df-f1o 3192  df-1o 4123  df-en 4357

Copyright terms: Public domain