Theorem ensn1g 4431

Description: A singleton is equinumerous to ordinal one.

Assertion

Ref	Expression
ensn1g	|- (A e. B -> {A} ~~ 1o)

Proof of Theorem ensn1g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sneq 2421	. . 3 |- (x = A -> {x} = {A})
2	1	breq1d 2634	. 2 |- (x = A -> ({x} ~~ 1o <-> {A} ~~ 1o))
3		visset 1816	. . 3 |- x e. V
4	3	ensn1 4430	. 2 |- {x} ~~ 1o
5	2, 4	vtoclg 1850	1 |- (A e. B -> {A} ~~ 1o)

Syntax hints:   -> wi 3   = wceq 958   e. wcel 960  {csn 2413   class class class wbr 2624  1oc1o 4134   ~~ cen 4370

This theorem is referenced by:  en2sn 4437  snfi 4438  snfiOLD 4439  unpde2eg2 10530  setwoe 10532

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-v 1815  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-op 2420  df-uni 2508  df-br 2625  df-opab 2672  df-id 2841  df-suc 2960  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-1o 4139  df-en 4374

Copyright terms: Public domain