Theorem enssdom 4370

Description: Equinumerosity implies dominance.

Assertion

Ref	Expression
enssdom	|- ~~ (_ ~<_

Proof of Theorem enssdom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relen 4360	. 2 |- Rel ~~
2		f1of1 3679	. . . . 5 |- (f:x-1-1-onto->y -> f:x-1-1->y)
3	2	19.22i 1038	. . . 4 |- (E.f f:x-1-1-onto->y -> E.f f:x-1-1->y)
4		opabid 2805	. . . 4 |- (<.x, y>. e. {<.x, y>. | E.f f:x-1-1-onto->y} <-> E.f f:x-1-1-onto->y)
5		opabid 2805	. . . 4 |- (<.x, y>. e. {<.x, y>. | E.f f:x-1-1->y} <-> E.f f:x-1-1->y)
6	3, 4, 5	3imtr4 219	. . 3 |- (<.x, y>. e. {<.x, y>. | E.f f:x-1-1-onto->y} -> <.x, y>. e. {<.x, y>. | E.f f:x-1-1->y})
7		df-en 4357	. . . 4 |- ~~ = {<.x, y>. | E.f f:x-1-1-onto->y}
8	7	eleq2i 1535	. . 3 |- (<.x, y>. e. ~~ <-> <.x, y>. e. {<.x, y>. | E.f f:x-1-1-onto->y})
9		df-dom 4358	. . . 4 |- ~<_ = {<.x, y>. | E.f f:x-1-1->y}
10	9	eleq2i 1535	. . 3 |- (<.x, y>. e. ~<_ <-> <.x, y>. e. {<.x, y>. | E.f f:x-1-1->y})
11	6, 8, 10	3imtr4 219	. 2 |- (<.x, y>. e. ~~ -> <.x, y>. e. ~<_ )
12	1, 11	relssi 3243	1 |- ~~ (_ ~<_

Syntax hints:   e. wcel 956  E.wex 978   (_ wss 2043  <.cop 2407  {copab 2661  -1-1->wf1 3174  -1-1-onto->wf1o 3176   ~~ cen 4354   ~<_ cdom 4355

This theorem is referenced by:  dfdom2 4371  endom 4372

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-sep 2698  ax-pow 2737  ax-pr 2774

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-v 1808  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-nul 2277  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-op 2412  df-opab 2662  df-xp 3179  df-rel 3180  df-f1o 3192  df-en 4357  df-dom 4358

Copyright terms: Public domain