MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ensym Unicode version

Theorem ensym 6864
Description: Symmetry of equinumerosity. Theorem 2 of [Suppes] p. 92. (Contributed by NM, 26-Oct-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
ensym  |-  ( A 
~~  B  ->  B  ~~  A )

Proof of Theorem ensym
StepHypRef Expression
1 ensymb 6863 . 2  |-  ( A 
~~  B  <->  B  ~~  A )
21biimpi 188 1  |-  ( A 
~~  B  ->  B  ~~  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6   class class class wbr 3983    ~~ cen 6814
This theorem is referenced by:  ensymi  6865  ensymd  6866  f1imaeng  6875  f1imaen2g  6876  en2sn  6894  xpdom3  6914  omxpen  6918  sbthb  6936  domnsym  6941  sdomdomtr  6948  domsdomtr  6950  enen1  6955  enen2  6956  domen1  6957  domen2  6958  sdomen1  6959  sdomen2  6960  domtriord  6961  xpen  6978  mapdom2  6986  mapdom3  6987  pwen  6988  limensuci  6991  phplem4  6997  nneneq  6998  php  6999  php2  7000  php3  7001  unxpdom2  7025  sucxpdom  7026  ominf  7029  fineqvlem  7031  en1eqsn  7042  dif1enOLD  7044  dif1en  7045  enp1i  7047  findcard3  7054  isfinite2  7069  nnsdomg  7070  domunfican  7083  infcntss  7084  fiint  7087  marypha1lem  7140  wdomen1  7244  wdomen2  7245  unxpwdom2  7256  infdifsn  7311  cnfcom2lem  7358  karden  7519  finnum  7535  cardidm  7546  cardnueq0  7551  carden2a  7553  carden2b  7554  card1  7555  cardsdomel  7561  isinffi  7579  fidomtri2  7581  cardmin2  7585  pr2ne  7589  en2eqpr  7591  infxpenlem  7595  infxpidm2  7598  acnen  7634  acnen2  7636  infpwfien  7643  alephnbtwn2  7653  alephordi  7655  alephsucdom  7660  alephinit  7676  mappwen  7693  finnisoeu  7694  dfac12lem2  7724  dfac12r  7726  uncdadom  7751  cdaen  7753  cda1en  7755  cdacomen  7761  cdaassen  7762  xpcdaen  7763  cdainf  7772  infcda1  7773  pwcda1  7774  onacda  7777  cardacda  7778  cdanum  7779  ficardun  7782  pwsdompw  7784  infdif2  7790  infxp  7795  infmap2  7798  ackbij1lem5  7804  ackbij1b  7819  cflim2  7843  cfss  7845  fin4en1  7889  domfin4  7891  ominf4  7892  isfin4-3  7895  fin23lem25  7904  fin23lem23  7906  fin23lem27  7908  enfin1ai  7964  fin67  7975  isfin7-2  7976  fin1a2lem11  7990  axcc2lem  8016  axcclem  8037  numthcor  8075  carden  8127  sdomsdomcard  8136  alephsuc3  8156  canthnum  8225  canthwe  8227  canthp1lem1  8228  canthp1lem2  8229  canthp1  8230  gchcda1  8232  gchinf  8233  pwfseqlem5  8239  pwxpndom2  8241  pwcdandom  8243  gchcdaidm  8244  gchxpidm  8245  gchhar  8247  gchpwdom  8250  inawinalem  8265  inttsk  8350  tskcard  8357  r1tskina  8358  tskuni  8359  grudomon  8393  hashkf  11291  hashfn  11309  fz1isolem  11350  isercolllem2  12090  summolem2a  12139  summolem2  12140  zsum  12142  isprm2lem  12713  4sqlem11  12950  ramub2  13009  orbsta2  14716  dfod2  14825  sylow2blem1  14879  znhash  16460  hauspwdom  17175  rectbntr0  18285  ovolctb  18797  ovoliunlem1  18809  dyadmbl  18903  derangen  23061  eupafi  23244  carinttar2  25256  finminlem  25584  enf1f1oOLD  25750  eldioph2lem1  26192  pellexlem4  26270  pellexlem5  26271  pellex  26273  isnumbasgrplem3  26623  en2eleq  26734  psgnunilem1  26769  fiuneneq  26866
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-sep 4101  ax-nul 4109  ax-pow 4146  ax-pr 4172  ax-un 4470
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2521  df-rex 2522  df-rab 2525  df-v 2759  df-dif 3116  df-un 3118  df-in 3120  df-ss 3127  df-nul 3417  df-if 3526  df-pw 3587  df-sn 3606  df-pr 3607  df-op 3609  df-uni 3788  df-br 3984  df-opab 4038  df-id 4267  df-xp 4661  df-rel 4662  df-cnv 4663  df-co 4664  df-dm 4665  df-rn 4666  df-res 4667  df-ima 4668  df-fun 4669  df-fn 4670  df-f 4671  df-f1 4672  df-fo 4673  df-f1o 4674  df-er 6614  df-en 6818
  Copyright terms: Public domain W3C validator