Theorem ensym 4399

Description: Symmetry of equinumerosity. Theorem 2 of [Suppes] p. 92.

Hypothesis

Ref	Expression
ensym.1	|- B e. V

Assertion

Ref	Expression
ensym	|- (A ~~ B -> B ~~ A)

Proof of Theorem ensym

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ensym.1	. 2 |- B e. V
2		ensymg 4398	. 2 |- (B e. V -> (A ~~ B -> B ~~ A))
3	1, 2	ax-mp 7	1 |- (A ~~ B -> B ~~ A)

Syntax hints:   -> wi 3   e. wcel 956  Vcvv 1807   class class class wbr 2614   ~~ cen 4354

This theorem is referenced by:  ensymi 4400  0sdomg 4452  phplem4 4497  nneneq 4498  php 4499  php2 4500  php3 4501  ominf 4514  isfinite2 4529  infcntss 4536  unifi 4538  fiint 4540  fodomfi 4546  isfinite 4614  nnsdom 4615  karden 4706  numthcor 4766  iscard2 4834  ondomcard 4837  alephordi 4854  infxpidmlem1 7503  infxpidmlem12 7514  infcda 7518  infdif 7519  infdif2 7520  infxp 7523  infmap2lem1 7529  infmap2 7531  alephsuc3 7535

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-rex 1647  df-v 1808  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-nul 2277  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-op 2412  df-uni 2499  df-br 2615  df-opab 2662  df-id 2830  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-f1 3190  df-fo 3191  df-f1o 3192  df-er 4251  df-en 4357

Copyright terms: Public domain