Theorem ensymg 4398

Description: Symmetry of equinumerosity. Theorem 2 of [Suppes] p. 92.

Assertion

Ref	Expression
ensymg	|- (B e. C -> (A ~~ B -> B ~~ A))

Proof of Theorem ensymg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relen 4360	. . . 4 |- Rel ~~
2	1	brrelexi 3203	. . 3 |- (A ~~ B -> A e. V)
3		breq1 2617	. . . . . 6 |- (x = A -> (x ~~ y <-> A ~~ y))
4		breq2 2618	. . . . . 6 |- (x = A -> (y ~~ x <-> y ~~ A))
5	3, 4	imbi12d 625	. . . . 5 |- (x = A -> ((x ~~ y -> y ~~ x) <-> (A ~~ y -> y ~~ A)))
6		breq2 2618	. . . . . 6 |- (y = B -> (A ~~ y <-> A ~~ B))
7		breq1 2617	. . . . . 6 |- (y = B -> (y ~~ A <-> B ~~ A))
8	6, 7	imbi12d 625	. . . . 5 |- (y = B -> ((A ~~ y -> y ~~ A) <-> (A ~~ B -> B ~~ A)))
9		visset 1809	. . . . . 6 |- x e. V
10		visset 1809	. . . . . 6 |- y e. V
11		ener 4397	. . . . . 6 |- Er ~~
12	9, 10, 11	ersym 4262	. . . . 5 |- (x ~~ y -> y ~~ x)
13	5, 8, 12	vtocl2g 1846	. . . 4 |- ((A e. V /\ B e. C) -> (A ~~ B -> B ~~ A))
14	13	ex 373	. . 3 |- (A e. V -> (B e. C -> (A ~~ B -> B ~~ A)))
15	2, 14	syl 10	. 2 |- (A ~~ B -> (B e. C -> (A ~~ B -> B ~~ A)))
16	15	pm2.43b 67	1 |- (B e. C -> (A ~~ B -> B ~~ A))

Syntax hints:   -> wi 3   = wceq 954   e. wcel 956  Vcvv 1807   class class class wbr 2614   ~~ cen 4354

This theorem is referenced by:  ensym 4399  f1imaen 4409  en2sn 4418  sbthbg 4444  domnsym 4449  0sdomg 4452  sdomdomtr 4455  ensdomtr 4457  domsdomtr 4462  enen1 4463  enen2 4464  domen1 4465  domen2 4466  sdomen1 4467  sdomen2 4468  limensuci 4492  infsdomnn 4517  unfi2 4535  unifi2 4539  carden 4811  carddomi 4815  sdomsdomcard 4828  iscard2 4834

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-rex 1647  df-v 1808  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-nul 2277  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-op 2412  df-uni 2499  df-br 2615  df-opab 2662  df-id 2830  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-f1 3190  df-fo 3191  df-f1o 3192  df-er 4251  df-en 4357

Copyright terms: Public domain