MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  entr Structured version   Unicode version

Theorem entr 7151
Description: Transitivity of equinumerosity. Theorem 3 of [Suppes] p. 92. (Contributed by NM, 9-Jun-1998.)
Assertion
Ref Expression
entr  |-  ( ( A  ~~  B  /\  B  ~~  C )  ->  A  ~~  C )

Proof of Theorem entr
StepHypRef Expression
1 ener 7146 . . . 4  |-  ~~  Er  _V
21a1i 11 . . 3  |-  (  T. 
->  ~~  Er  _V )
32ertr 6912 . 2  |-  (  T. 
->  ( ( A  ~~  B  /\  B  ~~  C
)  ->  A  ~~  C ) )
43trud 1332 1  |-  ( ( A  ~~  B  /\  B  ~~  C )  ->  A  ~~  C )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    T. wtru 1325   _Vcvv 2948   class class class wbr 4204    Er wer 6894    ~~ cen 7098
This theorem is referenced by:  entri  7153  en2sn  7178  xpsnen2g  7193  omxpen  7202  enen1  7239  enen2  7240  map2xp  7269  pwen  7272  ssenen  7273  phplem4  7281  php3  7285  fineqvlem  7315  ssfi  7321  en1eqsn  7330  dif1enOLD  7332  dif1en  7333  unfi  7366  unxpwdom2  7548  infdifsn  7603  infdiffi  7604  karden  7811  xpnum  7830  cardidm  7838  ficardom  7840  carden2a  7845  carden2b  7846  isinffi  7871  pm54.43  7879  pr2ne  7881  en2eqpr  7883  infxpenlem  7887  infxpidm2  7890  mappwen  7985  finnisoeu  7986  cdaen  8045  cdaenun  8046  cda1dif  8048  cdaassen  8054  mapcdaen  8056  pwcdaen  8057  infcda1  8065  pwcdaidm  8067  cardacda  8070  ficardun  8074  pwsdompw  8076  infxp  8087  infmap2  8090  ackbij1lem5  8096  ackbij1lem9  8100  ackbij1b  8111  fin4en1  8181  isfin4-3  8187  fin23lem23  8198  domtriomlem  8314  axcclem  8329  carden  8418  alephadd  8444  gchcdaidm  8535  gchxpidm  8536  gchhar  8538  gchpwdom  8541  tskuni  8650  fzen2  11300  isprm2lem  13078  hashdvds  13156  unbenlem  13268  unben  13269  4sqlem11  13315  odinf  15191  dfod2  15192  sylow2blem1  15246  sylow2  15252  hmphindis  17821  dyadmbl  19484  volmeas  24579  sconpi1  24918  lzenom  26819  fiphp3d  26871  frlmpwfi  27230  isnumbasgrplem3  27238  en2eleq  27349  pmtrfconj  27375  psgnunilem1  27384  fiuneneq  27481
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-er 6897  df-en 7102
  Copyright terms: Public domain W3C validator