Theorem entr 4555

Description: Transitivity of equinumerosity. Theorem 3 of [Suppes] p. 92.

Assertion

Ref	Expression
entr	|- ((A ~~ B /\ B ~~ C) -> A ~~ C)

Proof of Theorem entr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relen 4513	. 2 |- Rel ~~
2		visset 1859	. . 3 |- x e. V
3		visset 1859	. . 3 |- y e. V
4		visset 1859	. . 3 |- z e. V
5		ener 4551	. . 3 |- Er ~~
6	2, 3, 4, 5	ertr 4414	. 2 |- ((x ~~ y /\ y ~~ z) -> x ~~ z)
7	2	enref 4532	. 2 |- x ~~ x
8	1, 6, 7	vtoclrbr 3295	1 |- ((A ~~ B /\ B ~~ C) -> A ~~ C)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 221   class class class wbr 2692   ~~ cen 4505

This theorem is referenced by:  entri 4557  en2sn 4572  sdomdomtr 4614  ensdomtr 4616  domsdomtr 4621  enen1 4622  enen2 4623  xpen 4635  ssenen 4651  phplem4 4658  php3 4662  isfinite1 4677  ssfi 4683  unfi 4697  pm54.43 4715  karden 4872  oncard 4976  ficardom 4977  carden 4979  nnacda 5090  nnaun 5091  unbenlem 7716  unben 7717  infxpidmlem1 7764  infxpidmlem12 7775  infcda 7779  infxp 7784  infmap2 7793  alephadd 7794  unpde2eg22 10826  set2elt 10827  setwoe 10828  top2usne 11051  homindlem2 11052  homindlem3 11053  dif1en 11833  indexf 11847

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 998  ax-gen 999  ax-8 1000  ax-9 1001  ax-10 1002  ax-11 1003  ax-12 1004  ax-13 1005  ax-14 1006  ax-17 1007  ax-4 1009  ax-5o 1011  ax-6o 1014  ax-9o 1159  ax-10o 1177  ax-16 1247  ax-11o 1255  ax-ext 1500  ax-rep 2767  ax-sep 2777  ax-pow 2818  ax-pr 2855  ax-un 3089

This theorem depends on definitions:  df-bi 145  df-or 222  df-an 223  df-3an 783  df-ex 1017  df-sb 1209  df-eu 1421  df-mo 1422  df-clab 1506  df-cleq 1511  df-clel 1514  df-ne 1630  df-rex 1696  df-v 1858  df-dif 2101  df-un 2102  df-in 2103  df-ss 2105  df-nul 2333  df-pw 2459  df-sn 2470  df-pr 2471  df-op 2474  df-uni 2570  df-br 2693  df-opab 2741  df-id 2913  df-xp 3265  df-rel 3266  df-cnv 3267  df-co 3268  df-dm 3269  df-rn 3270  df-res 3271  df-ima 3272  df-fun 3273  df-fn 3274  df-f 3275  df-f1 3276  df-fo 3277  df-f1o 3278  df-er 4401  df-en 4509

Copyright terms: Public domain