MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  entr Unicode version

Theorem entr 6867
Description: Transitivity of equinumerosity. Theorem 3 of [Suppes] p. 92. (Contributed by NM, 9-Jun-1998.)
Assertion
Ref Expression
entr  |-  ( ( A  ~~  B  /\  B  ~~  C )  ->  A  ~~  C )

Proof of Theorem entr
StepHypRef Expression
1 ener 6862 . . . 4  |-  ~~  Er  _V
21a1i 12 . . 3  |-  (  T. 
->  ~~  Er  _V )
32ertr 6629 . 2  |-  (  T. 
->  ( ( A  ~~  B  /\  B  ~~  C
)  ->  A  ~~  C ) )
43trud 1320 1  |-  ( ( A  ~~  B  /\  B  ~~  C )  ->  A  ~~  C )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ wa 360    T. wtru 1312   _Vcvv 2757   class class class wbr 3983    Er wer 6611    ~~ cen 6814
This theorem is referenced by:  entri  6869  en2sn  6894  xpsnen2g  6909  omxpen  6918  enen1  6955  enen2  6956  map2xp  6985  pwen  6988  ssenen  6989  phplem4  6997  php3  7001  fineqvlem  7031  ssfi  7037  en1eqsn  7042  dif1enOLD  7044  dif1en  7045  unfi  7078  unxpwdom2  7256  infdifsn  7311  infdiffi  7312  karden  7519  xpnum  7538  cardidm  7546  ficardom  7548  carden2a  7553  carden2b  7554  isinffi  7579  pm54.43  7587  pr2ne  7589  en2eqpr  7591  infxpenlem  7595  infxpidm2  7598  mappwen  7693  finnisoeu  7694  cdaen  7753  cdaenun  7754  cda1dif  7756  cdaassen  7762  mapcdaen  7764  pwcdaen  7765  infcda1  7773  pwcdaidm  7775  cardacda  7778  ficardun  7782  pwsdompw  7784  infxp  7795  infmap2  7798  ackbij1lem5  7804  ackbij1lem9  7808  ackbij1b  7819  fin4en1  7889  isfin4-3  7895  fin23lem23  7906  domtriomlem  8022  axcclem  8037  carden  8127  alephadd  8153  gchcdaidm  8244  gchxpidm  8245  gchhar  8247  gchpwdom  8250  tskuni  8359  fzen2  10983  isprm2lem  12713  hashdvds  12791  unbenlem  12903  unben  12904  4sqlem11  12950  odinf  14824  dfod2  14825  sylow2blem1  14879  sylow2  14885  hmphindis  17436  dyadmbl  18903  sconpi1  23128  carinttar  25255  lzenom  26202  fiphp3d  26255  frlmpwfi  26615  isnumbasgrplem3  26623  en2eleq  26734  pmtrfconj  26760  psgnunilem1  26769  fiuneneq  26866
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-sep 4101  ax-nul 4109  ax-pow 4146  ax-pr 4172  ax-un 4470
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2521  df-rex 2522  df-rab 2525  df-v 2759  df-dif 3116  df-un 3118  df-in 3120  df-ss 3127  df-nul 3417  df-if 3526  df-pw 3587  df-sn 3606  df-pr 3607  df-op 3609  df-uni 3788  df-br 3984  df-opab 4038  df-id 4267  df-xp 4661  df-rel 4662  df-cnv 4663  df-co 4664  df-dm 4665  df-rn 4666  df-res 4667  df-ima 4668  df-fun 4669  df-fn 4670  df-f 4671  df-f1 4672  df-fo 4673  df-f1o 4674  df-er 6614  df-en 6818
  Copyright terms: Public domain W3C validator