MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  entr Unicode version

Theorem entr 6846
Description: Transitivity of equinumerosity. Theorem 3 of [Suppes] p. 92. (Contributed by NM, 9-Jun-1998.)
Assertion
Ref Expression
entr  |-  ( ( A  ~~  B  /\  B  ~~  C )  ->  A  ~~  C )

Proof of Theorem entr
StepHypRef Expression
1 ener 6841 . . . 4  |-  ~~  Er  _V
21a1i 12 . . 3  |-  (  T. 
->  ~~  Er  _V )
32ertr 6608 . 2  |-  (  T. 
->  ( ( A  ~~  B  /\  B  ~~  C
)  ->  A  ~~  C ) )
43trud 1320 1  |-  ( ( A  ~~  B  /\  B  ~~  C )  ->  A  ~~  C )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ wa 360    T. wtru 1312   _Vcvv 2740   class class class wbr 3963    Er wer 6590    ~~ cen 6793
This theorem is referenced by:  entri  6848  en2sn  6873  xpsnen2g  6888  omxpen  6897  enen1  6934  enen2  6935  map2xp  6964  pwen  6967  ssenen  6968  phplem4  6976  php3  6980  fineqvlem  7010  ssfi  7016  en1eqsn  7021  dif1enOLD  7023  dif1en  7024  unfi  7057  unxpwdom2  7235  infdifsn  7290  infdiffi  7291  karden  7498  xpnum  7517  cardidm  7525  ficardom  7527  carden2a  7532  carden2b  7533  isinffi  7558  pm54.43  7566  pr2ne  7568  en2eqpr  7570  infxpenlem  7574  infxpidm2  7577  mappwen  7672  finnisoeu  7673  cdaen  7732  cdaenun  7733  cda1dif  7735  cdaassen  7741  mapcdaen  7743  pwcdaen  7744  infcda1  7752  pwcdaidm  7754  cardacda  7757  ficardun  7761  pwsdompw  7763  infxp  7774  infmap2  7777  ackbij1lem5  7783  ackbij1lem9  7787  ackbij1b  7798  fin4en1  7868  isfin4-3  7874  fin23lem23  7885  domtriomlem  8001  axcclem  8016  carden  8106  alephadd  8132  gchcdaidm  8223  gchxpidm  8224  gchhar  8226  gchpwdom  8229  tskuni  8338  fzen2  10962  isprm2lem  12692  hashdvds  12770  unbenlem  12882  unben  12883  4sqlem11  12929  odinf  14803  dfod2  14804  sylow2blem1  14858  sylow2  14864  hmphindis  17415  dyadmbl  18882  sconpi1  23107  carinttar  25234  lzenom  26181  fiphp3d  26234  frlmpwfi  26594  isnumbasgrplem3  26602  en2eleq  26713  pmtrfconj  26739  psgnunilem1  26748  fiuneneq  26845
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-sep 4081  ax-nul 4089  ax-pow 4126  ax-pr 4152  ax-un 4449
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2520  df-rex 2521  df-rab 2523  df-v 2742  df-dif 3097  df-un 3099  df-in 3101  df-ss 3108  df-nul 3398  df-if 3507  df-pw 3568  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3769  df-br 3964  df-opab 4018  df-id 4246  df-xp 4640  df-rel 4641  df-cnv 4642  df-co 4643  df-dm 4644  df-rn 4645  df-res 4646  df-ima 4647  df-fun 4648  df-fn 4649  df-f 4650  df-f1 4651  df-fo 4652  df-f1o 4653  df-er 6593  df-en 6797
  Copyright terms: Public domain W3C validator