MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  entri3 Unicode version

Theorem entri3 8176
Description: Trichotomy of dominance. This theorem is equivalent to the Axiom of Choice. Part of Proposition 4.42(d) of [Mendelson] p. 275. (Contributed by NM, 4-Jan-2004.)
Assertion
Ref Expression
entri3  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( A  ~<_  B  \/  B  ~<_  A ) )

Proof of Theorem entri3
StepHypRef Expression
1 entri2 8175 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( A  ~<_  B  \/  B  ~<  A ) )
2 sdomdom 6884 . . 3  |-  ( B 
~<  A  ->  B  ~<_  A )
32orim2i 506 . 2  |-  ( ( A  ~<_  B  \/  B  ~<  A )  ->  ( A  ~<_  B  \/  B  ~<_  A ) )
41, 3syl 17 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( A  ~<_  B  \/  B  ~<_  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    \/ wo 359    /\ wa 360    e. wcel 1688   class class class wbr 4024    ~<_ cdom 6856    ~< csdm 6857
This theorem is referenced by:  alephval2  8189
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1538  ax-5 1549  ax-17 1608  ax-9 1641  ax-8 1648  ax-13 1690  ax-14 1692  ax-6 1707  ax-7 1712  ax-11 1719  ax-12 1869  ax-ext 2265  ax-rep 4132  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pow 4187  ax-pr 4213  ax-un 4511  ax-ac2 8084
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1534  df-nf 1537  df-sb 1636  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-ral 2549  df-rex 2550  df-reu 2551  df-rmo 2552  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-csb 3083  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pss 3169  df-nul 3457  df-if 3567  df-pw 3628  df-sn 3647  df-pr 3648  df-tp 3649  df-op 3650  df-uni 3829  df-int 3864  df-iun 3908  df-br 4025  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-tr 4115  df-eprel 4304  df-id 4308  df-po 4313  df-so 4314  df-fr 4351  df-se 4352  df-we 4353  df-ord 4394  df-on 4395  df-suc 4397  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fun 5223  df-fn 5224  df-f 5225  df-f1 5226  df-fo 5227  df-f1o 5228  df-fv 5229  df-isom 5230  df-iota 6252  df-riota 6299  df-recs 6383  df-er 6655  df-en 6859  df-dom 6860  df-sdom 6861  df-card 7567  df-ac 7738
  Copyright terms: Public domain W3C validator