Theorem epne3 2925

Description: A set founded by epsilon contains no 3-cycle loops.

Assertion

Ref	Expression
epne3	|- ((E Fr A /\ (x e. A /\ y e. A /\ z e. A)) -> -. (x e. y /\ y e. z /\ z e. x))

Proof of Theorem epne3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fr3nr 2921	. 2 |- ((E Fr A /\ (x e. A /\ y e. A /\ z e. A)) -> -. (xEy /\ yEz /\ zEx))
2		epel 2829	. . . 4 |- (xEy <-> x e. y)
3		epel 2829	. . . 4 |- (yEz <-> y e. z)
4		epel 2829	. . . 4 |- (zEx <-> z e. x)
5	2, 3, 4	3anbi123i 821	. . 3 |- ((xEy /\ yEz /\ zEx) <-> (x e. y /\ y e. z /\ z e. x))
6	5	negbii 187	. 2 |- (-. (xEy /\ yEz /\ zEx) <-> -. (x e. y /\ y e. z /\ z e. x))
7	1, 6	sylib 198	1 |- ((E Fr A /\ (x e. A /\ y e. A /\ z e. A)) -> -. (x e. y /\ y e. z /\ z e. x))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   /\ wa 223   /\ w3a 774   e. wcel 956   class class class wbr 2614  Ecep 2825   Fr wfr 2910

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-sep 2698  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-ral 1646  df-rex 1647  df-v 1808  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-nul 2277  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-tp 2411  df-op 2412  df-uni 2499  df-br 2615  df-opab 2662  df-eprel 2827  df-fr 2912

Copyright terms: Public domain