MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eq0 Unicode version

Theorem eq0 3411
Description: The empty set has no elements. Theorem 2 of [Suppes] p. 22. (Contributed by NM, 29-Aug-1993.)
Assertion
Ref Expression
eq0  |-  ( A  =  (/)  <->  A. x  -.  x  e.  A )
Distinct variable group:    x, A

Proof of Theorem eq0
StepHypRef Expression
1 neq0 3407 . . 3  |-  ( -.  A  =  (/)  <->  E. x  x  e.  A )
2 df-ex 1538 . . 3  |-  ( E. x  x  e.  A  <->  -. 
A. x  -.  x  e.  A )
31, 2bitri 242 . 2  |-  ( -.  A  =  (/)  <->  -.  A. x  -.  x  e.  A
)
43con4bii 290 1  |-  ( A  =  (/)  <->  A. x  -.  x  e.  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 5    <-> wb 178   A.wal 1532   E.wex 1537    = wceq 1619    e. wcel 1621   (/)c0 3397
This theorem is referenced by:  0el  3413  ssdif0  3455  difin0ss  3462  inssdif0  3463  ralf0  3502  disjiun  3953  0ex  4090  dm0  4845  reldm0  4849  uzwo  10213  uzwoOLD  10214  fzouzdisj  10833  hausdiag  17266  rnelfmlem  17574  nninfnub  25793  prtlem14  26074  stoweidlem34  27083  stoweidlem44  27093  bnj1476  27891
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-v 2742  df-dif 3097  df-nul 3398
  Copyright terms: Public domain W3C validator