MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eq0 Unicode version

Theorem eq0 3376
Description: The empty set has no elements. Theorem 2 of [Suppes] p. 22. (Contributed by NM, 29-Aug-1993.)
Assertion
Ref Expression
eq0  |-  ( A  =  (/)  <->  A. x  -.  x  e.  A )
Distinct variable group:    x, A

Proof of Theorem eq0
StepHypRef Expression
1 neq0 3372 . . 3  |-  ( -.  A  =  (/)  <->  E. x  x  e.  A )
2 df-ex 1538 . . 3  |-  ( E. x  x  e.  A  <->  -. 
A. x  -.  x  e.  A )
31, 2bitri 242 . 2  |-  ( -.  A  =  (/)  <->  -.  A. x  -.  x  e.  A
)
43con4bii 290 1  |-  ( A  =  (/)  <->  A. x  -.  x  e.  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 5    <-> wb 178   A.wal 1532   E.wex 1537    = wceq 1619    e. wcel 1621   (/)c0 3362
This theorem is referenced by:  0el  3378  ssdif0  3420  difin0ss  3426  inssdif0  3427  ralf0  3466  disjiun  3910  0ex  4047  dm0  4799  reldm0  4803  uzwo  10160  uzwoOLD  10161  fzouzdisj  10780  hausdiag  17171  rnelfmlem  17479  nninfnub  25627  prtlem14  25908  bnj1476  27568
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-v 2729  df-dif 3081  df-nul 3363
  Copyright terms: Public domain W3C validator