MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eq0 Unicode version

Theorem eq0 3444
Description: The empty set has no elements. Theorem 2 of [Suppes] p. 22. (Contributed by NM, 29-Aug-1993.)
Assertion
Ref Expression
eq0  |-  ( A  =  (/)  <->  A. x  -.  x  e.  A )
Distinct variable group:    x, A

Proof of Theorem eq0
StepHypRef Expression
1 neq0 3440 . . 3  |-  ( -.  A  =  (/)  <->  E. x  x  e.  A )
2 df-ex 1538 . . 3  |-  ( E. x  x  e.  A  <->  -. 
A. x  -.  x  e.  A )
31, 2bitri 242 . 2  |-  ( -.  A  =  (/)  <->  -.  A. x  -.  x  e.  A
)
43con4bii 290 1  |-  ( A  =  (/)  <->  A. x  -.  x  e.  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 5    <-> wb 178   A.wal 1532   E.wex 1537    = wceq 1619    e. wcel 1621   (/)c0 3430
This theorem is referenced by:  0el  3446  ssdif0  3488  difin0ss  3495  inssdif0  3496  ralf0  3535  disjiun  3987  0ex  4124  dm0  4880  reldm0  4884  uzwo  10249  uzwoOLD  10250  fzouzdisj  10869  hausdiag  17302  rnelfmlem  17610  nninfnub  25829  prtlem14  26110  stoweidlem34  27152  stoweidlem44  27162  bnj1476  28011
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2239
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-clab 2245  df-cleq 2251  df-clel 2254  df-nfc 2383  df-ne 2423  df-v 2765  df-dif 3130  df-nul 3431
  Copyright terms: Public domain W3C validator