Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eqgfval Unicode version

Theorem eqgfval 14665
 Description: Value of the subgroup left coset equivalence relation. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
eqgval.x
eqgval.n
eqgval.p
eqgval.r ~QG
Assertion
Ref Expression
eqgfval
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   , ,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)   (,)

Proof of Theorem eqgfval
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 2796 . 2
2 eqgval.x . . . 4
3 fvex 5539 . . . 4
42, 3eqeltri 2353 . . 3
54ssex 4158 . 2
6 eqgval.r . . 3 ~QG
7 simpl 443 . . . . . . . . 9
87fveq2d 5529 . . . . . . . 8
98, 2syl6eqr 2333 . . . . . . 7
109sseq2d 3206 . . . . . 6
117fveq2d 5529 . . . . . . . . 9
12 eqgval.p . . . . . . . . 9
1311, 12syl6eqr 2333 . . . . . . . 8
147fveq2d 5529 . . . . . . . . . 10
15 eqgval.n . . . . . . . . . 10
1614, 15syl6eqr 2333 . . . . . . . . 9
1716fveq1d 5527 . . . . . . . 8
18 eqidd 2284 . . . . . . . 8
1913, 17, 18oveq123d 5879 . . . . . . 7
20 simpr 447 . . . . . . 7
2119, 20eleq12d 2351 . . . . . 6
2210, 21anbi12d 691 . . . . 5
2322opabbidv 4082 . . . 4
24 df-eqg 14620 . . . 4 ~QG
254, 4xpex 4801 . . . . 5
26 simpl 443 . . . . . . . 8
27 vex 2791 . . . . . . . . 9
28 vex 2791 . . . . . . . . 9
2927, 28prss 3769 . . . . . . . 8
3026, 29sylibr 203 . . . . . . 7
3130ssopab2i 4292 . . . . . 6
32 df-xp 4695 . . . . . 6
3331, 32sseqtr4i 3211 . . . . 5
3425, 33ssexi 4159 . . . 4
3523, 24, 34ovmpt2a 5978 . . 3 ~QG
366, 35syl5eq 2327 . 2
371, 5, 36syl2an 463 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 358   wceq 1623   wcel 1684  cvv 2788   wss 3152  cpr 3641  copab 4076   cxp 4687  cfv 5255  (class class class)co 5858  cbs 13148   cplusg 13208  cminusg 14363   ~QG cqg 14617 This theorem is referenced by:  eqgval  14666 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-eqg 14620
 Copyright terms: Public domain W3C validator