Theorem eqidob 10694

Description: When the identities are equal, the objects are equal. JFM CAT₁ th. 45.

Hypotheses

Ref	Expression
eqidob.1	|- O = dom J
eqidob.2	|- J = (id` C)

Assertion

Ref	Expression
eqidob	|- ((C e. Cat /\ A e. O /\ B e. O) -> ((J` A) = (J` B) -> A = B))

Proof of Theorem eqidob

Step	Hyp	Ref	Expression
1		catded 10668	. . . 4 |- (C e. Cat -> C e. Ded)
2		id 59	. . . 4 |- (A e. O -> A e. O)
3		id 59	. . . 4 |- (B e. O -> B e. O)
4	1, 2, 3	3anim123i 823	. . 3 |- ((C e. Cat /\ A e. O /\ B e. O) -> (C e. Ded /\ A e. O /\ B e. O))
5		eqidob.1	. . . . . 6 |- O = dom J
6		eqid 1478	. . . . . 6 |- (dom` C) = (dom` C)
7		eqidob.2	. . . . . 6 |- J = (id` C)
8		eqid 1478	. . . . . 6 |- (cod` C) = (cod` C)
9	5, 6, 7, 8	idosd 10648	. . . . 5 |- ((C e. Ded /\ A e. O) -> (((dom` C)` (J` A)) = A /\ ((cod` C)` (J` A)) = A))
10	9	3adant3 801	. . . 4 |- ((C e. Ded /\ A e. O /\ B e. O) -> (((dom` C)` (J` A)) = A /\ ((cod` C)` (J` A)) = A))
11	5, 6, 7, 8	idosd 10648	. . . . 5 |- ((C e. Ded /\ B e. O) -> (((dom` C)` (J` B)) = B /\ ((cod` C)` (J` B)) = B))
12	11	3adant2 800	. . . 4 |- ((C e. Ded /\ A e. O /\ B e. O) -> (((dom` C)` (J` B)) = B /\ ((cod` C)` (J` B)) = B))
13	10, 12	jca 288	. . 3 |- ((C e. Ded /\ A e. O /\ B e. O) -> ((((dom` C)` (J` A)) = A /\ ((cod` C)` (J` A)) = A) /\ (((dom` C)` (J` B)) = B /\ ((cod` C)` (J` B)) = B)))
14		eqeq12 1490	. . . . 5 |- ((((dom` C)` (J` A)) = A /\ ((dom` C)` (J` B)) = B) -> (((dom` C)` (J` A)) = ((dom` C)` (J` B)) <-> A = B))
15	14	biimpd 153	. . . 4 |- ((((dom` C)` (J` A)) = A /\ ((dom` C)` (J` B)) = B) -> (((dom` C)` (J` A)) = ((dom` C)` (J` B)) -> A = B))
16	15	ad2ant2r 411	. . 3 |- (((((dom` C)` (J` A)) = A /\ ((cod` C)` (J` A)) = A) /\ (((dom` C)` (J` B)) = B /\ ((cod` C)` (J` B)) = B)) -> (((dom` C)` (J` A)) = ((dom` C)` (J` B)) -> A = B))
17	4, 13, 16	3syl 20	. 2 |- ((C e. Cat /\ A e. O /\ B e. O) -> (((dom` C)` (J` A)) = ((dom` C)` (J` B)) -> A = B))
18		fveq2 3730	. 2 |- ((J` A) = (J` B) -> ((dom` C)` (J` A)) = ((dom` C)` (J` B)))
19	17, 18	syl5 21	1 |- ((C e. Cat /\ A e. O /\ B e. O) -> ((J` A) = (J` B) -> A = B))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   /\ w3a 777   = wceq 958   e. wcel 960  dom cdm 3176  ` cfv 3188  domcdom_ 10615  codccod_ 10616  idcid_ 10617  Dedcded 10638  Catccat 10656

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-v 1815  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-br 2625  df-opab 2672  df-id 2841  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-fo 3202  df-fv 3204  df-opr 3971  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-doma 10620  df-coda 10621  df-ida 10622  df-cmpa 10623  df-ded 10639  df-cat 10657

Copyright terms: Public domain