Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  eqlkr2 Unicode version

Theorem eqlkr2 29912
Description: Two functionals with the same kernel are the same up to a constant. (Contributed by NM, 10-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
eqlkr.d  |-  D  =  (Scalar `  W )
eqlkr.k  |-  K  =  ( Base `  D
)
eqlkr.t  |-  .x.  =  ( .r `  D )
eqlkr.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
eqlkr.f  |-  F  =  (LFnl `  W )
eqlkr.l  |-  L  =  (LKer `  W )
Assertion
Ref Expression
eqlkr2  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F )  /\  ( L `  G
)  =  ( L `
 H ) )  ->  E. r  e.  K  H  =  ( G  o F  .x.  ( V  X.  { r } ) ) )
Distinct variable groups:    D, r    G, r    H, r    V, r    K, r    .x. , r    F, r    L, r    W, r

Proof of Theorem eqlkr2
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqlkr.d . . 3  |-  D  =  (Scalar `  W )
2 eqlkr.k . . 3  |-  K  =  ( Base `  D
)
3 eqlkr.t . . 3  |-  .x.  =  ( .r `  D )
4 eqlkr.v . . 3  |-  V  =  ( Base `  W
)
5 eqlkr.f . . 3  |-  F  =  (LFnl `  W )
6 eqlkr.l . . 3  |-  L  =  (LKer `  W )
71, 2, 3, 4, 5, 6eqlkr 29911 . 2  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F )  /\  ( L `  G
)  =  ( L `
 H ) )  ->  E. r  e.  K  A. x  e.  V  ( H `  x )  =  ( ( G `
 x )  .x.  r ) )
8 fvex 5555 . . . . . 6  |-  ( Base `  W )  e.  _V
94, 8eqeltri 2366 . . . . 5  |-  V  e. 
_V
109a1i 10 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  r  e.  K )  ->  V  e.  _V )
11 simpl1 958 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  r  e.  K )  ->  W  e.  LVec )
12 simpl2l 1008 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  r  e.  K )  ->  G  e.  F )
131, 2, 4, 5lflf 29875 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  G  e.  F )  ->  G : V --> K )
1411, 12, 13syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  r  e.  K )  ->  G : V --> K )
15 ffn 5405 . . . . 5  |-  ( G : V --> K  ->  G  Fn  V )
1614, 15syl 15 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  r  e.  K )  ->  G  Fn  V )
17 vex 2804 . . . . 5  |-  r  e. 
_V
18 fnconstg 5445 . . . . 5  |-  ( r  e.  _V  ->  ( V  X.  { r } )  Fn  V )
1917, 18mp1i 11 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  r  e.  K )  ->  ( V  X.  { r } )  Fn  V )
20 simpl2r 1009 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  r  e.  K )  ->  H  e.  F )
211, 2, 4, 5lflf 29875 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  H  e.  F )  ->  H : V --> K )
2211, 20, 21syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  r  e.  K )  ->  H : V --> K )
23 ffn 5405 . . . . 5  |-  ( H : V --> K  ->  H  Fn  V )
2422, 23syl 15 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  r  e.  K )  ->  H  Fn  V )
25 eqidd 2297 . . . 4  |-  ( ( ( ( W  e. 
LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F )  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  r  e.  K )  /\  x  e.  V
)  ->  ( G `  x )  =  ( G `  x ) )
2617fvconst2 5745 . . . . 5  |-  ( x  e.  V  ->  (
( V  X.  {
r } ) `  x )  =  r )
2726adantl 452 . . . 4  |-  ( ( ( ( W  e. 
LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F )  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  r  e.  K )  /\  x  e.  V
)  ->  ( ( V  X.  { r } ) `  x )  =  r )
2810, 16, 19, 24, 25, 27offveqb 6115 . . 3  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F
)  /\  ( L `  G )  =  ( L `  H ) )  /\  r  e.  K )  ->  ( H  =  ( G  o F  .x.  ( V  X.  { r } ) )  <->  A. x  e.  V  ( H `  x )  =  ( ( G `  x
)  .x.  r )
) )
2928rexbidva 2573 . 2  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F )  /\  ( L `  G
)  =  ( L `
 H ) )  ->  ( E. r  e.  K  H  =  ( G  o F  .x.  ( V  X.  {
r } ) )  <->  E. r  e.  K  A. x  e.  V  ( H `  x )  =  ( ( G `
 x )  .x.  r ) ) )
307, 29mpbird 223 1  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  ( G  e.  F  /\  H  e.  F )  /\  ( L `  G
)  =  ( L `
 H ) )  ->  E. r  e.  K  H  =  ( G  o F  .x.  ( V  X.  { r } ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   E.wrex 2557   _Vcvv 2801   {csn 3653    X. cxp 4703    Fn wfn 5266   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    o Fcof 6092   Basecbs 13164   .rcmulr 13225  Scalarcsca 13227   LVecclvec 15871  LFnlclfn 29869  LKerclk 29897
This theorem is referenced by:  lfl1dim  29933  lfl1dim2N  29934  eqlkr4  29977
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-tpos 6250  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-0g 13420  df-mnd 14383  df-grp 14505  df-minusg 14506  df-sbg 14507  df-cmn 15107  df-abl 15108  df-mgp 15342  df-rng 15356  df-ur 15358  df-oppr 15421  df-dvdsr 15439  df-unit 15440  df-invr 15470  df-drng 15530  df-lmod 15645  df-lvec 15872  df-lfl 29870  df-lkr 29898
  Copyright terms: Public domain W3C validator