Theorem eqneg 5770

Description: A number equal to its negative is zero.

Hypothesis

Ref	Expression
eqneg.1	|- A e. CC

Assertion

Ref	Expression
eqneg	|- (A = -uA <-> A = 0)

Proof of Theorem eqneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 5418	. . . . . 6 |- 1 e. RR
2	1, 1	readdcl 5317	. . . . 5 |- (1 + 1) e. RR
3		lt01 5663	. . . . . 6 |- 0 < 1
4	1, 1, 3, 3	addgt0i 5585	. . . . 5 |- 0 < (1 + 1)
5	2, 4	gt0ne0i 5601	. . . 4 |- (1 + 1) =/= 0
6		df-ne 1585	. . . 4 |- ((1 + 1) =/= 0 <-> -. (1 + 1) = 0)
7	5, 6	mpbi 189	. . 3 |- -. (1 + 1) = 0
8		opreq2 3964	. . . . . 6 |- (A = -uA -> (A + A) = (A + -uA))
9		eqneg.1	. . . . . . 7 |- A e. CC
10	9	1p1times 5416	. . . . . 6 |- ((1 + 1) x. A) = (A + A)
11	9	negid 5363	. . . . . . 7 |- (A + -uA) = 0
12	11	eqcomi 1477	. . . . . 6 |- 0 = (A + -uA)
13	8, 10, 12	3eqtr4g 1529	. . . . 5 |- (A = -uA -> ((1 + 1) x. A) = 0)
14	2	recn 5297	. . . . . 6 |- (1 + 1) e. CC
15	14, 9	mul0or 5673	. . . . 5 |- (((1 + 1) x. A) = 0 <-> ((1 + 1) = 0 \/ A = 0))
16	13, 15	sylib 198	. . . 4 |- (A = -uA -> ((1 + 1) = 0 \/ A = 0))
17	16	ord 232	. . 3 |- (A = -uA -> (-. (1 + 1) = 0 -> A = 0))
18	7, 17	mpi 44	. 2 |- (A = -uA -> A = 0)
19		df-neg 5341	. . . 4 |- -u0 = (0 - 0)
20		0cn 5311	. . . . 5 |- 0 e. CC
21	20	subid 5374	. . . 4 |- (0 - 0) = 0
22	19, 21	eqtr2 1494	. . 3 |- 0 = -u0
23		id 59	. . 3 |- (A = 0 -> A = 0)
24		negeq 5342	. . 3 |- (A = 0 -> -uA = -u0)
25	22, 23, 24	3eqtr4a 1530	. 2 |- (A = 0 -> A = -uA)
26	18, 25	impbi 157	1 |- (A = -uA <-> A = 0)

Syntax hints:  -. wn 2   <-> wb 146   \/ wo 222   = wceq 955   e. wcel 957   =/= wne 1583  (class class class)co 3958  CCcc 5215  0cc0 5217  1c1 5218   + caddc 5220   x. cmul 5222   - cmin 5275  -ucneg 5276

This theorem is referenced by:  eqnegt 5771  cjreb 6731  sin0ALT 7404  efif1lem5 8684

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-9 964  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1209  ax-11o 1217  ax-ext 1458  ax-rep 2689  ax-sep 2699  ax-nul 2706  ax-pow 2738  ax-pr 2775  ax-un 2862  ax-inf2 4608

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 980  df-sb 1171  df-eu 1381  df-mo 1382  df-clab 1463  df-cleq 1468  df-clel 1471  df-ne 1585  df-nel 1586  df-ral 1647  df-rex 1648  df-reu 1649  df-rab 1650  df-v 1809  df-sbc 1939  df-csb 1999  df-dif 2046  df-un 2047  df-in 2048  df-ss 2050  df-pss 2052  df-nul 2278  df-if 2359  df-pw 2399  df-sn 2409  df-pr 2410  df-tp 2412  df-op 2413  df-uni 2500  df-int 2530  df-iun 2564  df-br 2616  df-opab 2663  df-tr 2677  df-eprel 2828  df-id 2831  df-po 2836  df-so 2846  df-fr 2913  df-we 2930  df-ord 2947  df-on 2948  df-lim 2949  df-suc 2950  df-om 3128  df-xp 3180  df-rel 3181  df-cnv 3182  df-co 3183  df-dm 3184  df-rn 3185  df-res 3186  df-ima 3187  df-fun 3188  df-fn 3189  df-f 3190  df-f1 3191  df-fo 3192  df-f1o 3193  df-fv 3194  df-rdg 3927  df-opr 3960  df-oprab 3961  df-1st 4072  df-2nd 4073  df-1o 4126  df-oadd 4128  df-omul 4129  df-er 4254  df-ec 4256  df-qs 4259  df-en 4360  df-dom 4361  df-sdom 4362  df-ni 4983  df-pli 4984  df-mi 4985  df-lti 4986  df-plpq 5018  df-mpq 5019  df-enq 5020  df-nq 5021  df-plq 5022  df-mq 5023  df-rq 5024  df-ltq 5025  df-1q 5026  df-np 5069  df-1p 5070  df-plp 5071  df-mp 5072  df-ltp 5073  df-plpr 5147  df-mpr 5148  df-enr 5149  df-nr 5150  df-plr 5151  df-mr 5152  df-ltr 5153  df-0r 5154  df-1r 5155  df-m1r 5156  df-c 5223  df-0 5224  df-1 5225  df-i 5226  df-r 5227  df-plus 5228  df-mul 5229  df-lt 5230  df-sub 5339  df-neg 5341  df-pnf 5470  df-mnf 5471  df-xr 5472  df-ltxr 5473  df-le 5474

Copyright terms: Public domain