Theorem eqnegi 5944

Description: A number equal to its negative is zero.

Hypothesis

Ref	Expression
eqneg.1	|- A e. CC

Assertion

Ref	Expression
eqnegi	|- (A = -uA <-> A = 0)

Proof of Theorem eqnegi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 5589	. . . . . 6 |- 1 e. RR
2	1, 1	readdcli 5488	. . . . 5 |- (1 + 1) e. RR
3		lt01 5836	. . . . . 6 |- 0 < 1
4	1, 1, 3, 3	addgt0ii 5755	. . . . 5 |- 0 < (1 + 1)
5	2, 4	gt0ne0ii 5771	. . . 4 |- (1 + 1) =/= 0
6		df-ne 1630	. . . 4 |- ((1 + 1) =/= 0 <-> -. (1 + 1) = 0)
7	5, 6	mpbi 187	. . 3 |- -. (1 + 1) = 0
8		opreq2 4027	. . . . . 6 |- (A = -uA -> (A + A) = (A + -uA))
9		eqneg.1	. . . . . . 7 |- A e. CC
10	9	1p1timesi 5587	. . . . . 6 |- ((1 + 1) x. A) = (A + A)
11	9	negidi 5534	. . . . . . 7 |- (A + -uA) = 0
12	11	eqcomi 1522	. . . . . 6 |- 0 = (A + -uA)
13	8, 10, 12	3eqtr4g 1574	. . . . 5 |- (A = -uA -> ((1 + 1) x. A) = 0)
14	2	recni 5468	. . . . . 6 |- (1 + 1) e. CC
15	14, 9	mul0ori 5846	. . . . 5 |- (((1 + 1) x. A) = 0 <-> ((1 + 1) = 0 \/ A = 0))
16	13, 15	sylib 196	. . . 4 |- (A = -uA -> ((1 + 1) = 0 \/ A = 0))
17	16	ord 230	. . 3 |- (A = -uA -> (-. (1 + 1) = 0 -> A = 0))
18	7, 17	mpi 44	. 2 |- (A = -uA -> A = 0)
19		df-neg 5512	. . . 4 |- -u0 = (0 - 0)
20		0cn 5482	. . . . 5 |- 0 e. CC
21	20	subidi 5545	. . . 4 |- (0 - 0) = 0
22	19, 21	eqtr2i 1539	. . 3 |- 0 = -u0
23		id 59	. . 3 |- (A = 0 -> A = 0)
24		negeq 5513	. . 3 |- (A = 0 -> -uA = -u0)
25	22, 23, 24	3eqtr4a 1575	. 2 |- (A = 0 -> A = -uA)
26	18, 25	impbii 155	1 |- (A = -uA <-> A = 0)

Syntax hints:  -. wn 2   <-> wb 144   \/ wo 220   = wceq 992   e. wcel 994   =/= wne 1628  (class class class)co 4021  CCcc 5386  0cc0 5388  1c1 5389   + caddc 5391   x. cmul 5393   - cmin 5446  -ucneg 5447

This theorem is referenced by:  eqneg 5945  cjrebi 6982  sin0ALT 7653  efif1lem5 9006

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 998  ax-gen 999  ax-8 1000  ax-9 1001  ax-10 1002  ax-11 1003  ax-12 1004  ax-13 1005  ax-14 1006  ax-17 1007  ax-4 1009  ax-5o 1011  ax-6o 1014  ax-9o 1159  ax-10o 1177  ax-16 1247  ax-11o 1255  ax-ext 1500  ax-rep 2767  ax-sep 2777  ax-nul 2784  ax-pow 2818  ax-pr 2855  ax-un 3089  ax-inf2 4770

This theorem depends on definitions:  df-bi 145  df-or 222  df-an 223  df-3or 782  df-3an 783  df-ex 1017  df-sb 1209  df-eu 1421  df-mo 1422  df-clab 1506  df-cleq 1511  df-clel 1514  df-ne 1630  df-nel 1631  df-ral 1695  df-rex 1696  df-reu 1697  df-rab 1698  df-v 1858  df-sbc 1987  df-csb 2052  df-dif 2101  df-un 2102  df-in 2103  df-ss 2105  df-pss 2107  df-nul 2333  df-if 2416  df-pw 2459  df-sn 2470  df-pr 2471  df-tp 2473  df-op 2474  df-uni 2570  df-int 2601  df-iun 2635  df-br 2693  df-opab 2741  df-tr 2755  df-eprel 2910  df-id 2913  df-po 2918  df-so 2929  df-fr 2947  df-we 2962  df-ord 2978  df-on 2979  df-lim 2980  df-suc 2981  df-om 3219  df-xp 3265  df-rel 3266  df-cnv 3267  df-co 3268  df-dm 3269  df-rn 3270  df-res 3271  df-ima 3272  df-fun 3273  df-fn 3274  df-f 3275  df-f1 3276  df-fo 3277  df-f1o 3278  df-fv 3279  df-opr 4023  df-oprab 4024  df-1st 4140  df-2nd 4141  df-rdg 4233  df-1o 4269  df-oadd 4271  df-omul 4272  df-er 4401  df-ec 4403  df-qs 4406  df-en 4509  df-dom 4510  df-sdom 4511  df-ni 5154  df-pli 5155  df-mi 5156  df-lti 5157  df-plpq 5189  df-mpq 5190  df-enq 5191  df-nq 5192  df-plq 5193  df-mq 5194  df-rq 5195  df-ltq 5196  df-1q 5197  df-np 5240  df-1p 5241  df-plp 5242  df-mp 5243  df-ltp 5244  df-plpr 5318  df-mpr 5319  df-enr 5320  df-nr 5321  df-plr 5322  df-mr 5323  df-ltr 5324  df-0r 5325  df-1r 5326  df-m1r 5327  df-c 5394  df-0 5395  df-1 5396  df-i 5397  df-r 5398  df-plus 5399  df-mul 5400  df-lt 5401  df-sub 5510  df-neg 5512  df-pnf 5641  df-mnf 5642  df-xr 5643  df-ltxr 5644  df-le 5645

Copyright terms: Public domain