MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eqrel Unicode version

Theorem eqrel 4859
Description: Extensionality principle for relations. Theorem 3.2(ii) of [Monk1] p. 33. (Contributed by NM, 2-Aug-1994.)
Assertion
Ref Expression
eqrel  |-  ( ( Rel  A  /\  Rel  B )  ->  ( A  =  B  <->  A. x A. y
( <. x ,  y
>.  e.  A  <->  <. x ,  y >.  e.  B
) ) )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, B, y

Proof of Theorem eqrel
StepHypRef Expression
1 ssrel 4858 . . 3  |-  ( Rel 
A  ->  ( A  C_  B  <->  A. x A. y
( <. x ,  y
>.  e.  A  ->  <. x ,  y >.  e.  B
) ) )
2 ssrel 4858 . . 3  |-  ( Rel 
B  ->  ( B  C_  A  <->  A. x A. y
( <. x ,  y
>.  e.  B  ->  <. x ,  y >.  e.  A
) ) )
31, 2bi2anan9 843 . 2  |-  ( ( Rel  A  /\  Rel  B )  ->  ( ( A  C_  B  /\  B  C_  A )  <->  ( A. x A. y ( <.
x ,  y >.  e.  A  ->  <. x ,  y >.  e.  B
)  /\  A. x A. y ( <. x ,  y >.  e.  B  -> 
<. x ,  y >.  e.  A ) ) ) )
4 eqss 3270 . 2  |-  ( A  =  B  <->  ( A  C_  B  /\  B  C_  A ) )
5 2albiim 1612 . 2  |-  ( A. x A. y ( <.
x ,  y >.  e.  A  <->  <. x ,  y
>.  e.  B )  <->  ( A. x A. y ( <.
x ,  y >.  e.  A  ->  <. x ,  y >.  e.  B
)  /\  A. x A. y ( <. x ,  y >.  e.  B  -> 
<. x ,  y >.  e.  A ) ) )
63, 4, 53bitr4g 279 1  |-  ( ( Rel  A  /\  Rel  B )  ->  ( A  =  B  <->  A. x A. y
( <. x ,  y
>.  e.  A  <->  <. x ,  y >.  e.  B
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358   A.wal 1540    = wceq 1642    e. wcel 1710    C_ wss 3228   <.cop 3719   Rel wrel 4776
This theorem is referenced by:  eqrelriv  4862  eqrelrdv  4865  eqbrrdv  4866  eqrelrdv2  4868  opabid2  4897  reldm0  4978  iss  5080  asymref  5141  funssres  5376  fsn  5779  eqrelrdvOLD  26051  eqrelrdv2OLD  26052
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-sep 4222  ax-nul 4230  ax-pr 4295
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-v 2866  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-nul 3532  df-if 3642  df-sn 3722  df-pr 3723  df-op 3725  df-opab 4159  df-xp 4777  df-rel 4778
  Copyright terms: Public domain W3C validator