Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  erdsze Unicode version

Theorem erdsze 23735
 Description: The Erdős-Szekeres theorem. For any injective sequence on the reals of length at least , there is either a subsequence of length at least on which is increasing (i.e. a order isomorphism) or a subsequence of length at least on which is decreasing (i.e. a order isomorphism, recalling that is the greater-than relation). (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
erdsze.n
erdsze.f
erdsze.r
erdsze.s
erdsze.l
Assertion
Ref Expression
erdsze
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem erdsze
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 erdsze.n . 2
2 erdsze.f . 2
3 reseq2 4952 . . . . . . . . . 10
4 isoeq1 5818 . . . . . . . . . 10
53, 4syl 15 . . . . . . . . 9
6 isoeq4 5821 . . . . . . . . 9
7 imaeq2 5010 . . . . . . . . . 10
8 isoeq5 5822 . . . . . . . . . 10
97, 8syl 15 . . . . . . . . 9
105, 6, 93bitrd 270 . . . . . . . 8
11 elequ2 1691 . . . . . . . 8
1210, 11anbi12d 691 . . . . . . 7
1312cbvrabv 2789 . . . . . 6
14 oveq2 5868 . . . . . . . 8
1514pweqd 3632 . . . . . . 7
16 elequ1 1689 . . . . . . . 8
1716anbi2d 684 . . . . . . 7
1815, 17rabeqbidv 2785 . . . . . 6
1913, 18syl5eq 2329 . . . . 5
2019imaeq2d 5014 . . . 4
2120supeq1d 7201 . . 3
2221cbvmptv 4113 . 2
23 isoeq1 5818 . . . . . . . . . 10
243, 23syl 15 . . . . . . . . 9
25 isoeq4 5821 . . . . . . . . 9
26 isoeq5 5822 . . . . . . . . . 10
277, 26syl 15 . . . . . . . . 9
2824, 25, 273bitrd 270 . . . . . . . 8
2928, 11anbi12d 691 . . . . . . 7
3029cbvrabv 2789 . . . . . 6
3116anbi2d 684 . . . . . . 7
3215, 31rabeqbidv 2785 . . . . . 6
3330, 32syl5eq 2329 . . . . 5
3433imaeq2d 5014 . . . 4
3534supeq1d 7201 . . 3
3635cbvmptv 4113 . 2
37 eqid 2285 . 2
38 erdsze.r . 2
39 erdsze.s . 2
40 erdsze.l . 2
411, 2, 22, 36, 37, 38, 39, 40erdszelem11 23734 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 176   wo 357   wa 358   wceq 1625   wcel 1686  wrex 2546  crab 2549  cpw 3627  cop 3645   class class class wbr 4025   cmpt 4079  ccnv 4690   cres 4693  cima 4694  wf1 5254  cfv 5257   wiso 5258  (class class class)co 5860  csup 7195  cr 8738  c1 8740   cmul 8744   clt 8869   cle 8870   cmin 9039  cn 9748  cfz 10784  chash 11339 This theorem is referenced by:  erdsze2lem2  23737 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1535  ax-5 1546  ax-17 1605  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1688  ax-14 1690  ax-6 1705  ax-7 1710  ax-11 1717  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-rep 4133  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4190  ax-pr 4216  ax-un 4514  ax-cnex 8795  ax-resscn 8796  ax-1cn 8797  ax-icn 8798  ax-addcl 8799  ax-addrcl 8800  ax-mulcl 8801  ax-mulrcl 8802  ax-mulcom 8803  ax-addass 8804  ax-mulass 8805  ax-distr 8806  ax-i2m1 8807  ax-1ne0 8808  ax-1rid 8809  ax-rnegex 8810  ax-rrecex 8811  ax-cnre 8812  ax-pre-lttri 8813  ax-pre-lttrn 8814  ax-pre-ltadd 8815  ax-pre-mulgt0 8816  ax-pre-sup 8817 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1531  df-nf 1534  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-nel 2451  df-ral 2550  df-rex 2551  df-reu 2552  df-rmo 2553  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-csb 3084  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-pss 3170  df-nul 3458  df-if 3568  df-pw 3629  df-sn 3648  df-pr 3649  df-tp 3650  df-op 3651  df-uni 3830  df-int 3865  df-iun 3909  df-br 4026  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4116  df-eprel 4307  df-id 4311  df-po 4316  df-so 4317  df-fr 4354  df-we 4356  df-ord 4397  df-on 4398  df-lim 4399  df-suc 4400  df-om 4659  df-xp 4697  df-rel 4698  df-cnv 4699  df-co 4700  df-dm 4701  df-rn 4702  df-res 4703  df-ima 4704  df-iota 5221  df-fun 5259  df-fn 5260  df-f 5261  df-f1 5262  df-fo 5263  df-f1o 5264  df-fv 5265  df-isom 5266  df-ov 5863  df-oprab 5864  df-mpt2 5865  df-1st 6124  df-2nd 6125  df-riota 6306  df-recs 6390  df-rdg 6425  df-1o 6481  df-2o 6482  df-oadd 6485  df-er 6662  df-map 6776  df-en 6866  df-dom 6867  df-sdom 6868  df-fin 6869  df-sup 7196  df-card 7574  df-cda 7796  df-pnf 8871  df-mnf 8872  df-xr 8873  df-ltxr 8874  df-le 8875  df-sub 9041  df-neg 9042  df-nn 9749  df-n0 9968  df-z 10027  df-uz 10233  df-fz 10785  df-hash 11340
 Copyright terms: Public domain W3C validator