Theorem erelem3 7263

Description: Lemma for ereALT 7273.

Hypotheses

Ref	Expression
erelem1.1	|- F = {<.x, y>. | (x e. NN /\ y = (2 x. ((1 / 2)^x)))}
erelem1.2	|- G = {<.x, y>. | (x e. NN /\ y = (1 / (!` x)))}

Assertion

Ref	Expression
erelem3	|- (z e. NN -> (0 <_ (G` z) /\ (G` z) <_ (F` z)))

Distinct variable groups:   x,y,z   z,F   z,G

Proof of Theorem erelem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 5412	. . . . 5 |- 0 e. RR
2		ltlet 5493	. . . . 5 |- ((0 e. RR /\ (1 / (!` z)) e. RR) -> (0 < (1 / (!` z)) -> 0 <_ (1 / (!` z))))
3	1, 2	mpan 693	. . . 4 |- ((1 / (!` z)) e. RR -> (0 < (1 / (!` z)) -> 0 <_ (1 / (!` z))))
4		rerecclt 5759	. . . . 5 |- (((!` z) e. RR /\ (!` z) =/= 0) -> (1 / (!` z)) e. RR)
5		nnnn0t 6053	. . . . . . 7 |- (z e. NN -> z e. NN0)
6		facclt 6877	. . . . . . 7 |- (z e. NN0 -> (!` z) e. NN)
7	5, 6	syl 10	. . . . . 6 |- (z e. NN -> (!` z) e. NN)
8		nnret 5877	. . . . . 6 |- ((!` z) e. NN -> (!` z) e. RR)
9	7, 8	syl 10	. . . . 5 |- (z e. NN -> (!` z) e. RR)
10		nnne0t 5897	. . . . . 6 |- ((!` z) e. NN -> (!` z) =/= 0)
11	7, 10	syl 10	. . . . 5 |- (z e. NN -> (!` z) =/= 0)
12	4, 9, 11	sylanc 471	. . . 4 |- (z e. NN -> (1 / (!` z)) e. RR)
13		recgt0t 5815	. . . . 5 |- (((!` z) e. RR /\ 0 < (!` z)) -> 0 < (1 / (!` z)))
14		nngt0t 5894	. . . . . 6 |- ((!` z) e. NN -> 0 < (!` z))
15	7, 14	syl 10	. . . . 5 |- (z e. NN -> 0 < (!` z))
16	13, 9, 15	sylanc 471	. . . 4 |- (z e. NN -> 0 < (1 / (!` z)))
17	3, 12, 16	sylc 68	. . 3 |- (z e. NN -> 0 <_ (1 / (!` z)))
18		fveq2 3709	. . . . 5 |- (x = z -> (!` x) = (!` z))
19	18	opreq2d 3961	. . . 4 |- (x = z -> (1 / (!` x)) = (1 / (!` z)))
20		erelem1.2	. . . 4 |- G = {<.x, y>. | (x e. NN /\ y = (1 / (!` x)))}
21		oprex 3968	. . . 4 |- (1 / (!` z)) e. V
22	19, 20, 21	fvopab4 3765	. . 3 |- (z e. NN -> (G` z) = (1 / (!` z)))
23	17, 22	breqtrrd 2631	. 2 |- (z e. NN -> 0 <_ (G` z))
24		faclbnd2 6883	. . . . . 6 |- (z e. NN0 -> ((2^z) / 2) <_ (!` z))
25	5, 24	syl 10	. . . . 5 |- (z e. NN -> ((2^z) / 2) <_ (!` z))
26		lerect 5833	. . . . . 6 |- (((((2^z) / 2) e. RR /\ 0 < ((2^z) / 2)) /\ ((!` z) e. RR /\ 0 < (!` z))) -> (((2^z) / 2) <_ (!` z) <-> (1 / (!` z)) <_ (1 / ((2^z) / 2))))
27		2re 5926	. . . . . . . 8 |- 2 e. RR
28		reexpclt 6512	. . . . . . . . 9 |- ((2 e. RR /\ z e. NN0) -> (2^z) e. RR)
29	28, 5	sylan2 451	. . . . . . . 8 |- ((2 e. RR /\ z e. NN) -> (2^z) e. RR)
30	27, 29	mpan 693	. . . . . . 7 |- (z e. NN -> (2^z) e. RR)
31		rehalfclt 5981	. . . . . . 7 |- ((2^z) e. RR -> ((2^z) / 2) e. RR)
32	30, 31	syl 10	. . . . . 6 |- (z e. NN -> ((2^z) / 2) e. RR)
33		2pos 5936	. . . . . . . . 9 |- 0 < 2
34	27, 33	pm3.2i 285	. . . . . . . 8 |- (2 e. RR /\ 0 < 2)
35		divgt0t 5809	. . . . . . . 8 |- ((((2^z) e. RR /\ 0 < (2^z)) /\ (2 e. RR /\ 0 < 2)) -> 0 < ((2^z) / 2))
36	34, 35	mpan2 694	. . . . . . 7 |- (((2^z) e. RR /\ 0 < (2^z)) -> 0 < ((2^z) / 2))
37		expgt0t 6520	. . . . . . . . 9 |- ((2 e. RR /\ z e. NN0 /\ 0 < 2) -> 0 < (2^z))
38	37, 5	syl3an2 858	. . . . . . . 8 |- ((2 e. RR /\ z e. NN /\ 0 < 2) -> 0 < (2^z))
39	27, 33, 38	mp3an13 904	. . . . . . 7 |- (z e. NN -> 0 < (2^z))
40	36, 30, 39	sylanc 471	. . . . . 6 |- (z e. NN -> 0 < ((2^z) / 2))
41	26, 32, 40, 9, 15	syl2anc 472	. . . . 5 |- (z e. NN -> (((2^z) / 2) <_ (!` z) <-> (1 / (!` z)) <_ (1 / ((2^z) / 2))))
42	25, 41	mpbid 195	. . . 4 |- (z e. NN -> (1 / (!` z)) <_ (1 / ((2^z) / 2)))
43		2cn 5927	. . . . . . 7 |- 2 e. CC
44		divrect 5702	. . . . . . 7 |- ((2 e. CC /\ (2^z) e. CC /\ (2^z) =/= 0) -> (2 / (2^z)) = (2 x. (1 / (2^z))))
45	43, 44	mp3an1 900	. . . . . 6 |- (((2^z) e. CC /\ (2^z) =/= 0) -> (2 / (2^z)) = (2 x. (1 / (2^z))))
46	30	recnd 5287	. . . . . 6 |- (z e. NN -> (2^z) e. CC)
47		gt0ne0t 5592	. . . . . . 7 |- (((2^z) e. RR /\ 0 < (2^z)) -> (2^z) =/= 0)
48	47, 30, 39	sylanc 471	. . . . . 6 |- (z e. NN -> (2^z) =/= 0)
49	45, 46, 48	sylanc 471	. . . . 5 |- (z e. NN -> (2 / (2^z)) = (2 x. (1 / (2^z))))
50		2ne0 5937	. . . . . . . 8 |- 2 =/= 0
51	43, 50	pm3.2i 285	. . . . . . 7 |- (2 e. CC /\ 2 =/= 0)
52		recdivt 5746	. . . . . . 7 |- ((((2^z) e. CC /\ (2^z) =/= 0) /\ (2 e. CC /\ 2 =/= 0)) -> (1 / ((2^z) / 2)) = (2 / (2^z)))
53	51, 52	mpan2 694	. . . . . 6 |- (((2^z) e. CC /\ (2^z) =/= 0) -> (1 / ((2^z) / 2)) = (2 / (2^z)))
54	53, 46, 48	sylanc 471	. . . . 5 |- (z e. NN -> (1 / ((2^z) / 2)) = (2 / (2^z)))
55		recexpt 6526	. . . . . . . 8 |- ((2 e. CC /\ z e. NN0 /\ 2 =/= 0) -> ((1 / 2)^z) = (1 / (2^z)))
56	55, 5	syl3an2 858	. . . . . . 7 |- ((2 e. CC /\ z e. NN /\ 2 =/= 0) -> ((1 / 2)^z) = (1 / (2^z)))
57	43, 50, 56	mp3an13 904	. . . . . 6 |- (z e. NN -> ((1 / 2)^z) = (1 / (2^z)))
58	57	opreq2d 3961	. . . . 5 |- (z e. NN -> (2 x. ((1 / 2)^z)) = (2 x. (1 / (2^z))))
59	49, 54, 58	3eqtr4d 1509	. . . 4 |- (z e. NN -> (1 / ((2^z) / 2)) = (2 x. ((1 / 2)^z)))
60	42, 59	breqtrd 2629	. . 3 |- (z e. NN -> (1 / (!` z)) <_ (2 x. ((1 / 2)^z)))
61		opreq2 3954	. . . . 5 |- (x = z -> ((1 / 2)^x) = ((1 / 2)^z))
62	61	opreq2d 3961	. . . 4 |- (x = z -> (2 x. ((1 / 2)^x)) = (2 x. ((1 / 2)^z)))
63		erelem1.1	. . . 4 |- F = {<.x, y>. | (x e. NN /\ y = (2 x. ((1 / 2)^x)))}
64		oprex 3968	. . . 4 |- (2 x. ((1 / 2)^z)) e. V
65	62, 63, 64	fvopab4 3765	. . 3 |- (z e. NN -> (F` z) = (2 x. ((1 / 2)^z)))
66	60, 22, 65	3brtr4d 2635	. 2 |- (z e. NN -> (G` z) <_ (F` z))
67	23, 66	jca 288	1 |- (z e. NN -> (0 <_ (G` z) /\ (G` z) <_ (F` z)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 953   e. wcel 955   =/= wne 1577   class class class wbr 2609  {copab 2656  ` cfv 3172  (class class class)co 3948  CCcc 5204  RRcr 5205  0cc0 5206  1c1 5207   x. cmul 5211   / cdiv 5266   <_ cle 5267  NNcn 5268  NN0cn0 5269   < clt 5458  2c2 5908  ^cexp 6500  !cfa 6868

This theorem is referenced by:  erelem4 7264  ele3lem 7268  ege2le3lem1 7269  ege2le3lem2 7271

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-nel 1580  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-f1 3185  df-fo 3186  df-f1o 3187  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-en 4351  df-dom 4352  df-sdom 4353  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013  df-ltq 5014  df-1q