Theorem erelem6 7324

Description: Lemma for ereALT 7331.

Hypotheses

Ref	Expression
erelem1.1	|- F = {<.x, y>. | (x e. NN /\ y = (2 x. ((1 / 2)^x)))}
erelem1.2	|- G = {<.x, y>. | (x e. NN /\ y = (1 / (!` x)))}

Assertion

Ref	Expression
erelem6	|- e = (1 + sup(ran ( + seq1 G), RR, < ))

Distinct variable group:   x,y

Proof of Theorem erelem6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eval 7309	. 2 |- e = sum_x e. NN0 (1 / (!` x))
2		ax1cn 5281	. . . 4 |- 1 e. CC
3	2	dfef2 7307	. . 3 |- sum_x e. NN0 ((1^x) / (!` x)) = (1 + sum_x e. NN ({<.z, y>. | (z e. NN /\ y = ((1^z) / (!` z)))}` x))
4		1expt 6585	. . . . 5 |- (x e. NN0 -> (1^x) = 1)
5	4	opreq1d 3981	. . . 4 |- (x e. NN0 -> ((1^x) / (!` x)) = (1 / (!` x)))
6	5	sumeq2i 6988	. . 3 |- sum_x e. NN0 ((1^x) / (!` x)) = sum_x e. NN0 (1 / (!` x))
7		nnuz 6440	. . . . 5 |- NN = (ZZ>` 1)
8		opreq2 3975	. . . . . . . 8 |- (z = x -> (1^z) = (1^x))
9		fveq2 3730	. . . . . . . 8 |- (z = x -> (!` z) = (!` x))
10	8, 9	opreq12d 3984	. . . . . . 7 |- (z = x -> ((1^z) / (!` z)) = ((1^x) / (!` x)))
11		eqid 1478	. . . . . . 7 |- {<.z, y>. | (z e. NN /\ y = ((1^z) / (!` z)))} = {<.z, y>. | (z e. NN /\ y = ((1^z) / (!` z)))}
12		oprex 3989	. . . . . . 7 |- ((1^x) / (!` x)) e. V
13	10, 11, 12	fvopab4 3786	. . . . . 6 |- (x e. NN -> ({<.z, y>. | (z e. NN /\ y = ((1^z) / (!` z)))}` x) = ((1^x) / (!` x)))
14		nnnn0t 6108	. . . . . . 7 |- (x e. NN -> x e. NN0)
15	14, 5	syl 10	. . . . . 6 |- (x e. NN -> ((1^x) / (!` x)) = (1 / (!` x)))
16	13, 15	eqtrd 1510	. . . . 5 |- (x e. NN -> ({<.z, y>. | (z e. NN /\ y = ((1^z) / (!` z)))}` x) = (1 / (!` x)))
17	7, 16	sumeq12i 6989	. . . 4 |- sum_x e. NN ({<.z, y>. | (z e. NN /\ y = ((1^z) / (!` z)))}` x) = sum_x e. (ZZ>` 1)(1 / (!` x))
18	17	opreq2i 3978	. . 3 |- (1 + sum_x e. NN ({<.z, y>. | (z e. NN /\ y = ((1^z) / (!` z)))}` x)) = (1 + sum_x e. (ZZ>` 1)(1 / (!` x)))
19	3, 6, 18	3eqtr3 1506	. 2 |- sum_x e. NN0 (1 / (!` x)) = (1 + sum_x e. (ZZ>` 1)(1 / (!` x)))
20		1z 6161	. . . 4 |- 1 e. ZZ
21		addex 5329	. . . . . 6 |- + e. V
22		nnex 5935	. . . . . . 7 |- NN e. V
23		erelem1.2	. . . . . . 7 |- G = {<.x, y>. | (x e. NN /\ y = (1 / (!` x)))}
24	22, 23	fopabex2 3618	. . . . . 6 |- G e. V
25	21, 24	seq1seqz 6542	. . . . 5 |- ( + seq1 G) = (<.1, + >. seq G)
26		erelem1.1	. . . . . 6 |- F = {<.x, y>. | (x e. NN /\ y = (2 x. ((1 / 2)^x)))}
27	26, 23	erelem4 7322	. . . . 5 |- ( + seq1 G) ~~> sup(ran ( + seq1 G), RR, < )
28	25, 27	eqbrtrr 2641	. . . 4 |- (<.1, + >. seq G) ~~> sup(ran ( + seq1 G), RR, < )
29		oprex 3989	. . . . 5 |- (1 / (!` x)) e. V
30		elnnuz 6441	. . . . . . . 8 |- (x e. NN <-> x e. (ZZ>` 1))
31	30	anbi1i 483	. . . . . . 7 |- ((x e. NN /\ y = (1 / (!` x))) <-> (x e. (ZZ>` 1) /\ y = (1 / (!` x))))
32	31	opabbii 2676	. . . . . 6 |- {<.x, y>. | (x e. NN /\ y = (1 / (!` x)))} = {<.x, y>. | (x e. (ZZ>` 1) /\ y = (1 / (!` x)))}
33	23, 32	eqtr 1498	. . . . 5 |- G = {<.x, y>. | (x e. (ZZ>` 1) /\ y = (1 / (!` x)))}
34		ltso 5524	. . . . . 6 |- < Or RR
35	34	supex 4586	. . . . 5 |- sup(ran ( + seq1 G), RR, < ) e. V
36	29, 33, 35	isumclim4t 7201	. . . 4 |- ((1 e. ZZ /\ (<.1, + >. seq G) ~~> sup(ran ( + seq1 G), RR, < )) -> sum_x e. (ZZ>` 1)(1 / (!` x)) = sup(ran ( + seq1 G), RR, < ))
37	20, 28, 36	mp2an 699	. . 3 |- sum_x e. (ZZ>` 1)(1 / (!` x)) = sup(ran ( + seq1 G), RR, < )
38	37	opreq2i 3978	. 2 |- (1 + sum_x e. (ZZ>` 1)(1 / (!` x))) = (1 + sup(ran ( + seq1 G), RR, < ))
39	1, 19, 38	3eqtr 1502	1 |- e = (1 + sup(ran ( + seq1 G), RR, < ))

Syntax hints:   /\ wa 223   = wceq 958   e. wcel 960  <.cop 2415   class class class wbr 2624  {copab 2671  ran crn 3177  ` cfv 3188  (class class class)co 3969  supcsup 4582  RRcr 5245  1c1 5247   + caddc 5249   x. cmul 5251   / cdiv 5306  NNcn 5308  NN0cn0 5309  ZZcz 5310   < clt 5498  2c2 5963   seq1 cseq1 6308  ZZ>cuz 6418   seq cseqz 6532  ^cexp 6569  !cfa 6931   ~~> cli 6974  sum_csu 6979  eceu 7294

This theorem is referenced by:  erelem7 7325  ele3lem 7326  ege2lem2 7328  ege2le3lem2 7329

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-nel 1591  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-en 4374  df-dom 4375  df-sdom 4376  df-sup 4583  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-mp 5101  df-ltp 5102  df-plpr 5176  df-mpr 5177  df-enr 5178  df-nr 5179  df-plr 5180  df-mr 5181  df-ltr 5182  df-0r 5183  df-1r 5184  df-m1r 5185  df-c 5252  df-0 5253  df-1 5254  df-i 5255  df-r 5256  df-plus 5257  df-mul 5258  df-lt 5259  df-sub 5368  df-neg 5370  df-pnf 5499  df-mnf 5500  df-xr 5501  df-ltxr 5502  df-le 5503  df-div 5715  df-n 5927  df-2 5972  df-3 5973  df-4 5974  df-n0 6102  df-z 6138  df-fl 6226  df-seq1 6309  df-shft 6342  df-uz 6419  df-fz 6469  df-seqz 6534  df-seq0 6535  df-exp 6570  df-sqr 6671  df-re 6752  df-im 6753  df-cj 6754  df-abs 6755  df-fac 6932  df-clim 6975  df-sum 6980  df-ef 7298  df-e 7299

Copyright terms: Public domain