Theorem esnnei 10508

Description: The empty set is not a neighborhood of a non empty set.

Assertion

Ref	Expression
esnnei	|- ((J e. Top /\ S =/= (/)) -> -. (/) e. ((nei` J)` S))

Proof of Theorem esnnei

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssnei 7724	. . . . 5 |- ((J e. Top /\ (/) e. ((nei` J)` S)) -> S (_ (/))
2		ss0b 2302	. . . . 5 |- (S (_ (/) <-> S = (/))
3	1, 2	sylib 198	. . . 4 |- ((J e. Top /\ (/) e. ((nei` J)` S)) -> S = (/))
4	3	ex 373	. . 3 |- (J e. Top -> ((/) e. ((nei` J)` S) -> S = (/)))
5	4	necon3ad 1602	. 2 |- (J e. Top -> (S =/= (/) -> -. (/) e. ((nei` J)` S)))
6	5	imp 350	1 |- ((J e. Top /\ S =/= (/)) -> -. (/) e. ((nei` J)` S))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958   =/= wne 1585   (_ wss 2047  (/)c0 2280  ` cfv 3182  Topctop 7588  neicnei 7712

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-rab 1652  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-id 2835  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-fv 3198  df-nei 7713

Copyright terms: Public domain