Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  esumpinfval Unicode version

Theorem esumpinfval 23443
Description: The value of the extended sum of non-negative terms, with at least one infinite term. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
esumpinfval.0  |-  F/ k
ph
esumpinfval.1  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
esumpinfval.2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
esumpinfval.3  |-  ( ph  ->  E. k  e.  A  B  =  +oo )
Assertion
Ref Expression
esumpinfval  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  A B  = 
+oo )
Distinct variable groups:    A, k    k, V
Allowed substitution hints:    ph( k)    B( k)

Proof of Theorem esumpinfval
StepHypRef Expression
1 iccssxr 10734 . . 3  |-  ( 0 [,]  +oo )  C_  RR*
2 esumpinfval.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
3 esumpinfval.0 . . . . 5  |-  F/ k
ph
4 esumpinfval.2 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
54ex 423 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  ->  B  e.  ( 0 [,]  +oo ) ) )
63, 5ralrimi 2626 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. k  e.  A  B  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
7 nfcv 2421 . . . . 5  |-  F/_ k A
87esumcl 23415 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. k  e.  A  B  e.  ( 0 [,]  +oo ) )  -> Σ* k  e.  A B  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
92, 6, 8syl2anc 642 . . 3  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  A B  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
101, 9sseldi 3180 . 2  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  A B  e. 
RR* )
11 nfrab1 2722 . . . . 5  |-  F/_ k { k  e.  A  |  B  =  +oo }
12 ssrab2 3260 . . . . . 6  |-  { k  e.  A  |  B  =  +oo }  C_  A
1312a1i 10 . . . . 5  |-  ( ph  ->  { k  e.  A  |  B  =  +oo } 
C_  A )
14 0xr 8880 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR*
15 pnfxr 10457 . . . . . . . 8  |-  +oo  e.  RR*
16 pnfge 10471 . . . . . . . . 9  |-  ( 0  e.  RR*  ->  0  <_  +oo )
1714, 16ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  0  <_  +oo
18 ubicc2 10755 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  +oo  e.  RR*  /\  0  <_  +oo )  ->  +oo  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
1914, 15, 17, 18mp3an 1277 . . . . . . 7  |-  +oo  e.  ( 0 [,]  +oo )
2019a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  B  =  +oo )  ->  +oo  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
21 lbicc2 10754 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  +oo  e.  RR*  /\  0  <_  +oo )  ->  0  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
2214, 15, 17, 21mp3an 1277 . . . . . . 7  |-  0  e.  ( 0 [,]  +oo )
2322a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  -.  B  =  +oo )  -> 
0  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
2420, 23ifclda 3594 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  if ( B  =  +oo , 
+oo ,  0 )  e.  ( 0 [,] 
+oo ) )
25 eldif 3164 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( A  \  { k  e.  A  |  B  =  +oo } )  <->  ( k  e.  A  /\  -.  k  e.  { k  e.  A  |  B  =  +oo } ) )
2625biimpi 186 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( A  \  { k  e.  A  |  B  =  +oo } )  ->  ( k  e.  A  /\  -.  k  e.  { k  e.  A  |  B  =  +oo } ) )
27 rabid 2718 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  { k  e.  A  |  B  = 
+oo }  <->  ( k  e.  A  /\  B  = 
+oo ) )
2827biimpri 197 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( k  e.  A  /\  B  =  +oo )  -> 
k  e.  { k  e.  A  |  B  =  +oo } )
2928ex 423 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  A  ->  ( B  =  +oo  ->  k  e.  { k  e.  A  |  B  =  +oo } ) )
3029con3and 428 . . . . . . . 8  |-  ( ( k  e.  A  /\  -.  k  e.  { k  e.  A  |  B  =  +oo } )  ->  -.  B  =  +oo )
3126, 30syl 15 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( A  \  { k  e.  A  |  B  =  +oo } )  ->  -.  B  =  +oo )
3231adantl 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( A  \  { k  e.  A  |  B  =  +oo } ) )  ->  -.  B  =  +oo )
33 iffalse 3574 . . . . . 6  |-  ( -.  B  =  +oo  ->  if ( B  =  +oo , 
+oo ,  0 )  =  0 )
3432, 33syl 15 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( A  \  { k  e.  A  |  B  =  +oo } ) )  ->  if ( B  =  +oo ,  +oo ,  0 )  =  0 )
353, 11, 7, 13, 2, 24, 34esumss 23442 . . . 4  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  { k  e.  A  |  B  = 
+oo } if ( B  =  +oo ,  +oo ,  0 )  = Σ* k  e.  A if ( B  =  +oo ,  +oo ,  0 ) )
36 eqidd 2286 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { k  e.  A  |  B  =  +oo }  =  { k  e.  A  |  B  = 
+oo } )
3727simprbi 450 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  { k  e.  A  |  B  = 
+oo }  ->  B  = 
+oo )
38 iftrue 3573 . . . . . . . 8  |-  ( B  =  +oo  ->  if ( B  =  +oo , 
+oo ,  0 )  =  +oo )
3937, 38syl 15 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  { k  e.  A  |  B  = 
+oo }  ->  if ( B  =  +oo ,  +oo ,  0 )  = 
+oo )
4039adantl 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  { k  e.  A  |  B  =  +oo } )  ->  if ( B  =  +oo ,  +oo ,  0 )  =  +oo )
413, 36, 40esumeq12dvaf 23416 . . . . 5  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  { k  e.  A  |  B  = 
+oo } if ( B  =  +oo ,  +oo ,  0 )  = Σ* k  e. 
{ k  e.  A  |  B  =  +oo } 
+oo )
42 ssexg 4162 . . . . . . 7  |-  ( ( { k  e.  A  |  B  =  +oo } 
C_  A  /\  A  e.  V )  ->  { k  e.  A  |  B  =  +oo }  e.  _V )
4313, 2, 42syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { k  e.  A  |  B  =  +oo }  e.  _V )
44 nfcv 2421 . . . . . . 7  |-  F/_ k  +oo
4511, 44esumcst 23438 . . . . . 6  |-  ( ( { k  e.  A  |  B  =  +oo }  e.  _V  /\  +oo  e.  ( 0 [,]  +oo ) )  -> Σ* k  e.  {
k  e.  A  |  B  =  +oo }  +oo  =  ( ( # `  { k  e.  A  |  B  =  +oo } ) x e  +oo ) )
4643, 19, 45sylancl 643 . . . . 5  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  { k  e.  A  |  B  = 
+oo }  +oo  =  ( ( # `  {
k  e.  A  |  B  =  +oo } ) x e  +oo )
)
47 hashxrcl 11353 . . . . . . 7  |-  ( { k  e.  A  |  B  =  +oo }  e.  _V  ->  ( # `  {
k  e.  A  |  B  =  +oo } )  e.  RR* )
4843, 47syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( # `  {
k  e.  A  |  B  =  +oo } )  e.  RR* )
49 esumpinfval.3 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  E. k  e.  A  B  =  +oo )
50 rabn0 3476 . . . . . . . 8  |-  ( { k  e.  A  |  B  =  +oo }  =/=  (/)  <->  E. k  e.  A  B  =  +oo )
5149, 50sylibr 203 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  { k  e.  A  |  B  =  +oo }  =/=  (/) )
52 hashgt0 23389 . . . . . . 7  |-  ( ( { k  e.  A  |  B  =  +oo }  e.  _V  /\  {
k  e.  A  |  B  =  +oo }  =/=  (/) )  ->  0  <  (
# `  { k  e.  A  |  B  =  +oo } ) )
5343, 51, 52syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  <  ( # `  { k  e.  A  |  B  =  +oo } ) )
54 xmulpnf1 10596 . . . . . 6  |-  ( ( ( # `  {
k  e.  A  |  B  =  +oo } )  e.  RR*  /\  0  <  ( # `  {
k  e.  A  |  B  =  +oo } ) )  ->  ( ( # `
 { k  e.  A  |  B  = 
+oo } ) x e 
+oo )  =  +oo )
5548, 53, 54syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( # `  {
k  e.  A  |  B  =  +oo } ) x e  +oo )  =  +oo )
5641, 46, 553eqtrd 2321 . . . 4  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  { k  e.  A  |  B  = 
+oo } if ( B  =  +oo ,  +oo ,  0 )  =  +oo )
5735, 56eqtr3d 2319 . . 3  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  A if ( B  =  +oo ,  +oo ,  0 )  = 
+oo )
58 breq1 4028 . . . . 5  |-  (  +oo  =  if ( B  = 
+oo ,  +oo ,  0 )  ->  (  +oo  <_  B  <->  if ( B  = 
+oo ,  +oo ,  0 )  <_  B )
)
59 breq1 4028 . . . . 5  |-  ( 0  =  if ( B  =  +oo ,  +oo ,  0 )  ->  (
0  <_  B  <->  if ( B  =  +oo ,  +oo ,  0 )  <_  B
) )
60 pnfge 10471 . . . . . . . 8  |-  (  +oo  e.  RR*  ->  +oo  <_  +oo )
6115, 60ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  +oo  <_  +oo
62 breq2 4029 . . . . . . 7  |-  ( B  =  +oo  ->  (  +oo  <_  B  <->  +oo  <_  +oo )
)
6361, 62mpbiri 224 . . . . . 6  |-  ( B  =  +oo  ->  +oo  <_  B )
6463adantl 452 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  B  =  +oo )  ->  +oo  <_  B )
654adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  -.  B  =  +oo )  ->  B  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
66 iccgelb 23268 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  +oo  e.  RR*  /\  B  e.  ( 0 [,]  +oo ) )  ->  0  <_  B )
6714, 15, 66mp3an12 1267 . . . . . 6  |-  ( B  e.  ( 0 [,] 
+oo )  ->  0  <_  B )
6865, 67syl 15 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  -.  B  =  +oo )  -> 
0  <_  B )
6958, 59, 64, 68ifbothda 3597 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  if ( B  =  +oo , 
+oo ,  0 )  <_  B )
703, 7, 2, 24, 4, 69esumlef 23437 . . 3  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  A if ( B  =  +oo ,  +oo ,  0 )  <_ Σ* k  e.  A B )
7157, 70eqbrtrrd 4047 . 2  |-  ( ph  ->  +oo  <_ Σ* k  e.  A B )
72 xgtpnf 23116 . . 3  |-  (Σ* k  e.  A B  e.  RR*  ->  (  +oo  <_ Σ* k  e.  A B 
<-> Σ* k  e.  A B  = 
+oo ) )
7372biimpd 198 . 2  |-  (Σ* k  e.  A B  e.  RR*  ->  (  +oo  <_ Σ* k  e.  A B  -> Σ* k  e.  A B  =  +oo ) )
7410, 71, 73sylc 56 1  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  A B  = 
+oo )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358   F/wnf 1533    = wceq 1625    e. wcel 1686    =/= wne 2448   A.wral 2545   E.wrex 2546   {crab 2549   _Vcvv 2790    \ cdif 3151    C_ wss 3154   (/)c0 3457   ifcif 3567   class class class wbr 4025   ` cfv 5257  (class class class)co 5860   0cc0 8739    +oocpnf 8866   RR*cxr 8868    < clt 8869    <_ cle 8870   x ecxmu 10453   [,]cicc 10661   #chash 11339  Σ*cesum 23412
This theorem is referenced by:  hasheuni  23455  esumcvg  23456
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1535  ax-5 1546  ax-17 1605  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1688  ax-14 1690  ax-6 1705  ax-7 1710  ax-11 1717  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-rep 4133  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4190  ax-pr 4216  ax-un 4514  ax-inf2 7344  ax-cnex 8795  ax-resscn 8796  ax-1cn 8797  ax-icn 8798  ax-addcl 8799  ax-addrcl 8800  ax-mulcl 8801  ax-mulrcl 8802  ax-mulcom 8803  ax-addass 8804  ax-mulass 8805  ax-distr 8806  ax-i2m1 8807  ax-1ne0 8808  ax-1rid 8809  ax-rnegex 8810  ax-rrecex 8811  ax-cnre 8812  ax-pre-lttri 8813  ax-pre-lttrn 8814  ax-pre-ltadd 8815  ax-pre-mulgt0 8816  ax-pre-sup 8817  ax-addf 8818  ax-mulf 8819
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1531  df-nf 1534  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-nel 2451  df-ral 2550  df-rex 2551  df-reu 2552  df-rmo 2553  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-csb 3084  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-pss 3170  df-nul 3458  df-if 3568  df-pw 3629  df-sn 3648  df-pr 3649  df-tp 3650  df-op 3651  df-uni 3830  df-int 3865  df-iun 3909  df-iin 3910  df-br 4026  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4116  df-eprel 4307  df-id 4311  df-po 4316  df-so 4317  df-fr 4354  df-se 4355  df-we 4356  df-ord 4397  df-on 4398  df-lim 4399  df-suc 4400  df-om 4659  df-xp 4697  df-rel 4698  df-cnv 4699  df-co 4700  df-dm 4701  df-rn 4702  df-res 4703  df-ima 4704  df-iota 5221  df-fun 5259  df-fn 5260  df-f 5261  df-f1 5262  df-fo 5263  df-f1o 5264  df-fv 5265  df-isom 5266  df-ov 5863  df-oprab 5864  df-mpt2 5865  df-of 6080  df-1st 6124  df-2nd 6125  df-riota 6306  df-recs 6390  df-rdg 6425  df-1o 6481  df-2o 6482  df-oadd 6485  df-er 6662  df-map 6776  df-pm 6777  df-ixp 6820  df-en 6866  df-dom 6867  df-sdom 6868  df-fin 6869  df-fi 7167  df-sup 7196  df-oi 7227  df-card 7574  df-cda 7796  df-pnf 8871  df-mnf 8872  df-xr 8873  df-ltxr 8874  df-le 8875  df-sub 9041  df-neg 9042  df-div 9426  df-nn 9749  df-2 9806  df-3 9807  df-4 9808  df-5 9809  df-6 9810  df-7 9811  df-8 9812  df-9 9813  df-10 9814  df-n0 9968  df-z 10027  df-dec 10127  df-uz 10233  df-q 10319  df-rp 10357  df-xneg 10454  df-xadd 10455  df-xmul 10456  df-ioo 10662  df-ioc 10663  df-ico 10664  df-icc 10665  df-fz 10785  df-fzo 10873  df-fl 10927  df-mod 10976  df-seq 11049  df-exp 11107  df-fac 11291  df-bc 11318  df-hash 11340  df-shft 11564  df-cj 11586  df-re 11587  df-im 11588  df-sqr 11722  df-abs 11723  df-limsup 11947  df-clim 11964  df-rlim 11965  df-sum 12161  df-ef 12351  df-sin 12353  df-cos 12354  df-pi 12356  df-struct 13152  df-ndx 13153  df-slot 13154  df-base 13155  df-sets 13156  df-ress 13157  df-plusg 13223  df-mulr 13224  df-starv 13225  df-sca 13226  df-vsca 13227  df-tset 13229  df-ple 13230  df-ds 13232  df-hom 13234  df-cco 13235  df-rest 13329  df-topn 13330  df-topgen 13346  df-pt 13347  df-prds 13350  df-ordt 13404  df-xrs 13405  df-0g 13406  df-gsum 13407  df-qtop 13412  df-imas 13413  df-xps 13415  df-mre 13490  df-mrc 13491  df-acs 13493  df-ps 14308  df-tsr 14309  df-mnd 14369  df-plusf 14370  df-mhm 14417  df-submnd 14418  df-grp 14491  df-minusg 14492  df-sbg 14493  df-mulg 14494  df-subg 14620  df-cntz 14795  df-cmn 15093  df-abl 15094  df-mgp 15328  df-rng 15342  df-cring 15343  df-ur 15344  df-subrg 15545  df-abv 15584  df-lmod 15631  df-scaf 15632  df-sra 15927  df-rgmod 15928  df-xmet 16375  df-met 16376  df-bl 16377  df-mopn 16378  df-cnfld 16380  df-top 16638  df-bases 16640  df-topon 16641  df-topsp 16642  df-cld 16758  df-ntr 16759  df-cls 16760  df-nei 16837  df-lp 16870  df-perf 16871  df-cn 16959  df-cnp 16960  df-haus 17045  df-tx 17259  df-hmeo 17448  df-fbas 17522  df-fg 17523  df-fil 17543  df-fm 17635  df-flim 17636  df-flf 17637  df-tmd 17757  df-tgp 17758  df-tsms 17811  df-trg 17844  df-xms 17887  df-ms 17888  df-tms 17889  df-nm 18107  df-ngp 18108  df-nrg 18110  df-nlm 18111  df-ii 18383  df-cncf 18384  df-limc 19218  df-dv 19219  df-log 19916  df-esum 23413
  Copyright terms: Public domain W3C validator