Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  esumpinfval Unicode version

Theorem esumpinfval 24259
Description: The value of the extended sum of non-negative terms, with at least one infinite term. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
esumpinfval.0  |-  F/ k
ph
esumpinfval.1  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
esumpinfval.2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
esumpinfval.3  |-  ( ph  ->  E. k  e.  A  B  =  +oo )
Assertion
Ref Expression
esumpinfval  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  A B  = 
+oo )
Distinct variable groups:    A, k    k, V
Allowed substitution hints:    ph( k)    B( k)

Proof of Theorem esumpinfval
StepHypRef Expression
1 iccssxr 10925 . . 3  |-  ( 0 [,]  +oo )  C_  RR*
2 esumpinfval.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
3 esumpinfval.0 . . . . 5  |-  F/ k
ph
4 esumpinfval.2 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
54ex 424 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  ->  B  e.  ( 0 [,]  +oo ) ) )
63, 5ralrimi 2730 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. k  e.  A  B  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
7 nfcv 2523 . . . . 5  |-  F/_ k A
87esumcl 24223 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. k  e.  A  B  e.  ( 0 [,]  +oo ) )  -> Σ* k  e.  A B  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
92, 6, 8syl2anc 643 . . 3  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  A B  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
101, 9sseldi 3289 . 2  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  A B  e. 
RR* )
11 nfrab1 2831 . . . . 5  |-  F/_ k { k  e.  A  |  B  =  +oo }
12 ssrab2 3371 . . . . . 6  |-  { k  e.  A  |  B  =  +oo }  C_  A
1312a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  { k  e.  A  |  B  =  +oo } 
C_  A )
14 0xr 9064 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR*
15 pnfxr 10645 . . . . . . . 8  |-  +oo  e.  RR*
16 pnfge 10659 . . . . . . . . 9  |-  ( 0  e.  RR*  ->  0  <_  +oo )
1714, 16ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  0  <_  +oo
18 ubicc2 10946 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  +oo  e.  RR*  /\  0  <_  +oo )  ->  +oo  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
1914, 15, 17, 18mp3an 1279 . . . . . . 7  |-  +oo  e.  ( 0 [,]  +oo )
2019a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  B  =  +oo )  ->  +oo  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
21 lbicc2 10945 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  +oo  e.  RR*  /\  0  <_  +oo )  ->  0  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
2214, 15, 17, 21mp3an 1279 . . . . . . 7  |-  0  e.  ( 0 [,]  +oo )
2322a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  -.  B  =  +oo )  -> 
0  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
2420, 23ifclda 3709 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  if ( B  =  +oo , 
+oo ,  0 )  e.  ( 0 [,] 
+oo ) )
25 eldif 3273 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( A  \  { k  e.  A  |  B  =  +oo } )  <->  ( k  e.  A  /\  -.  k  e.  { k  e.  A  |  B  =  +oo } ) )
26 rabid 2827 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  { k  e.  A  |  B  = 
+oo }  <->  ( k  e.  A  /\  B  = 
+oo ) )
2726simplbi2 609 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  A  ->  ( B  =  +oo  ->  k  e.  { k  e.  A  |  B  =  +oo } ) )
2827con3and 429 . . . . . . . 8  |-  ( ( k  e.  A  /\  -.  k  e.  { k  e.  A  |  B  =  +oo } )  ->  -.  B  =  +oo )
2925, 28sylbi 188 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( A  \  { k  e.  A  |  B  =  +oo } )  ->  -.  B  =  +oo )
3029adantl 453 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( A  \  { k  e.  A  |  B  =  +oo } ) )  ->  -.  B  =  +oo )
31 iffalse 3689 . . . . . 6  |-  ( -.  B  =  +oo  ->  if ( B  =  +oo , 
+oo ,  0 )  =  0 )
3230, 31syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( A  \  { k  e.  A  |  B  =  +oo } ) )  ->  if ( B  =  +oo ,  +oo ,  0 )  =  0 )
333, 11, 7, 13, 2, 24, 32esumss 24258 . . . 4  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  { k  e.  A  |  B  = 
+oo } if ( B  =  +oo ,  +oo ,  0 )  = Σ* k  e.  A if ( B  =  +oo ,  +oo ,  0 ) )
34 eqidd 2388 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { k  e.  A  |  B  =  +oo }  =  { k  e.  A  |  B  = 
+oo } )
3526simprbi 451 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  { k  e.  A  |  B  = 
+oo }  ->  B  = 
+oo )
36 iftrue 3688 . . . . . . . 8  |-  ( B  =  +oo  ->  if ( B  =  +oo , 
+oo ,  0 )  =  +oo )
3735, 36syl 16 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  { k  e.  A  |  B  = 
+oo }  ->  if ( B  =  +oo ,  +oo ,  0 )  = 
+oo )
3837adantl 453 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  { k  e.  A  |  B  =  +oo } )  ->  if ( B  =  +oo ,  +oo ,  0 )  =  +oo )
393, 34, 38esumeq12dvaf 24224 . . . . 5  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  { k  e.  A  |  B  = 
+oo } if ( B  =  +oo ,  +oo ,  0 )  = Σ* k  e. 
{ k  e.  A  |  B  =  +oo } 
+oo )
402, 13ssexd 4291 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { k  e.  A  |  B  =  +oo }  e.  _V )
41 nfcv 2523 . . . . . . 7  |-  F/_ k  +oo
4211, 41esumcst 24251 . . . . . 6  |-  ( ( { k  e.  A  |  B  =  +oo }  e.  _V  /\  +oo  e.  ( 0 [,]  +oo ) )  -> Σ* k  e.  {
k  e.  A  |  B  =  +oo }  +oo  =  ( ( # `  { k  e.  A  |  B  =  +oo } ) x e  +oo ) )
4340, 19, 42sylancl 644 . . . . 5  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  { k  e.  A  |  B  = 
+oo }  +oo  =  ( ( # `  {
k  e.  A  |  B  =  +oo } ) x e  +oo )
)
44 hashxrcl 11567 . . . . . . 7  |-  ( { k  e.  A  |  B  =  +oo }  e.  _V  ->  ( # `  {
k  e.  A  |  B  =  +oo } )  e.  RR* )
4540, 44syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( # `  {
k  e.  A  |  B  =  +oo } )  e.  RR* )
46 esumpinfval.3 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  E. k  e.  A  B  =  +oo )
47 rabn0 3590 . . . . . . . 8  |-  ( { k  e.  A  |  B  =  +oo }  =/=  (/)  <->  E. k  e.  A  B  =  +oo )
4846, 47sylibr 204 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  { k  e.  A  |  B  =  +oo }  =/=  (/) )
49 hashgt0 11589 . . . . . . 7  |-  ( ( { k  e.  A  |  B  =  +oo }  e.  _V  /\  {
k  e.  A  |  B  =  +oo }  =/=  (/) )  ->  0  <  (
# `  { k  e.  A  |  B  =  +oo } ) )
5040, 48, 49syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  <  ( # `  { k  e.  A  |  B  =  +oo } ) )
51 xmulpnf1 10785 . . . . . 6  |-  ( ( ( # `  {
k  e.  A  |  B  =  +oo } )  e.  RR*  /\  0  <  ( # `  {
k  e.  A  |  B  =  +oo } ) )  ->  ( ( # `
 { k  e.  A  |  B  = 
+oo } ) x e 
+oo )  =  +oo )
5245, 50, 51syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( # `  {
k  e.  A  |  B  =  +oo } ) x e  +oo )  =  +oo )
5339, 43, 523eqtrd 2423 . . . 4  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  { k  e.  A  |  B  = 
+oo } if ( B  =  +oo ,  +oo ,  0 )  =  +oo )
5433, 53eqtr3d 2421 . . 3  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  A if ( B  =  +oo ,  +oo ,  0 )  = 
+oo )
55 breq1 4156 . . . . 5  |-  (  +oo  =  if ( B  = 
+oo ,  +oo ,  0 )  ->  (  +oo  <_  B  <->  if ( B  = 
+oo ,  +oo ,  0 )  <_  B )
)
56 breq1 4156 . . . . 5  |-  ( 0  =  if ( B  =  +oo ,  +oo ,  0 )  ->  (
0  <_  B  <->  if ( B  =  +oo ,  +oo ,  0 )  <_  B
) )
57 pnfge 10659 . . . . . . . 8  |-  (  +oo  e.  RR*  ->  +oo  <_  +oo )
5815, 57ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  +oo  <_  +oo
59 breq2 4157 . . . . . . 7  |-  ( B  =  +oo  ->  (  +oo  <_  B  <->  +oo  <_  +oo )
)
6058, 59mpbiri 225 . . . . . 6  |-  ( B  =  +oo  ->  +oo  <_  B )
6160adantl 453 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  B  =  +oo )  ->  +oo  <_  B )
624adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  -.  B  =  +oo )  ->  B  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
63 iccgelb 23972 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  +oo  e.  RR*  /\  B  e.  ( 0 [,]  +oo ) )  ->  0  <_  B )
6414, 15, 63mp3an12 1269 . . . . . 6  |-  ( B  e.  ( 0 [,] 
+oo )  ->  0  <_  B )
6562, 64syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  -.  B  =  +oo )  -> 
0  <_  B )
6655, 56, 61, 65ifbothda 3712 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  if ( B  =  +oo , 
+oo ,  0 )  <_  B )
673, 7, 2, 24, 4, 66esumlef 24250 . . 3  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  A if ( B  =  +oo ,  +oo ,  0 )  <_ Σ* k  e.  A B )
6854, 67eqbrtrrd 4175 . 2  |-  ( ph  ->  +oo  <_ Σ* k  e.  A B )
69 xgtpnf 24015 . . 3  |-  (Σ* k  e.  A B  e.  RR*  ->  (  +oo  <_ Σ* k  e.  A B 
<-> Σ* k  e.  A B  = 
+oo ) )
7069biimpd 199 . 2  |-  (Σ* k  e.  A B  e.  RR*  ->  (  +oo  <_ Σ* k  e.  A B  -> Σ* k  e.  A B  =  +oo ) )
7110, 68, 70sylc 58 1  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  A B  = 
+oo )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359   F/wnf 1550    = wceq 1649    e. wcel 1717    =/= wne 2550   A.wral 2649   E.wrex 2650   {crab 2653   _Vcvv 2899    \ cdif 3260    C_ wss 3263   (/)c0 3571   ifcif 3682   class class class wbr 4153   ` cfv 5394  (class class class)co 6020   0cc0 8923    +oocpnf 9050   RR*cxr 9052    < clt 9053    <_ cle 9054   x ecxmu 10641   [,]cicc 10851   #chash 11545  Σ*cesum 24220
This theorem is referenced by:  hasheuni  24271  esumcvg  24272  voliune  24379  volfiniune  24380
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-rep 4261  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-inf2 7529  ax-cnex 8979  ax-resscn 8980  ax-1cn 8981  ax-icn 8982  ax-addcl 8983  ax-addrcl 8984  ax-mulcl 8985  ax-mulrcl 8986  ax-mulcom 8987  ax-addass 8988  ax-mulass 8989  ax-distr 8990  ax-i2m1 8991  ax-1ne0 8992  ax-1rid 8993  ax-rnegex 8994  ax-rrecex 8995  ax-cnre 8996  ax-pre-lttri 8997  ax-pre-lttrn 8998  ax-pre-ltadd 8999  ax-pre-mulgt0 9000  ax-pre-sup 9001  ax-addf 9002  ax-mulf 9003
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rmo 2657  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-pss 3279  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-tp 3765  df-op 3766  df-uni 3958  df-int 3993  df-iun 4037  df-iin 4038  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-tr 4244  df-eprel 4435  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-fr 4482  df-se 4483  df-we 4484  df-ord 4525  df-on 4526  df-lim 4527  df-suc 4528  df-om 4786  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-isom 5403  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-of 6244  df-1st 6288  df-2nd 6289  df-riota 6485  df-recs 6569  df-rdg 6604  df-1o 6660  df-2o 6661  df-oadd 6664  df-er 6841  df-map 6956  df-pm 6957  df-ixp 7000  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-fin 7049  df-fi 7351  df-sup 7381  df-oi 7412  df-card 7759  df-cda 7981  df-pnf 9055  df-mnf 9056  df-xr 9057  df-ltxr 9058  df-le 9059  df-sub 9225  df-neg 9226  df-div 9610  df-nn 9933  df-2 9990  df-3 9991  df-4 9992  df-5 9993  df-6 9994  df-7 9995  df-8 9996  df-9 9997  df-10 9998  df-n0 10154  df-z 10215  df-dec 10315  df-uz 10421  df-q 10507  df-rp 10545  df-xneg 10642  df-xadd 10643  df-xmul 10644  df-ioo 10852  df-ioc 10853  df-ico 10854  df-icc 10855  df-fz 10976  df-fzo 11066  df-fl 11129  df-mod 11178  df-seq 11251  df-exp 11310  df-fac 11494  df-bc 11521  df-hash 11546  df-shft 11809  df-cj 11831  df-re 11832  df-im 11833  df-sqr 11967  df-abs 11968  df-limsup 12192  df-clim 12209  df-rlim 12210  df-sum 12407  df-ef 12597  df-sin 12599  df-cos 12600  df-pi 12602  df-struct 13398  df-ndx 13399  df-slot 13400  df-base 13401  df-sets 13402  df-ress 13403  df-plusg 13469  df-mulr 13470  df-starv 13471  df-sca 13472  df-vsca 13473  df-tset 13475  df-ple 13476  df-ds 13478  df-unif 13479  df-hom 13480  df-cco 13481  df-rest 13577  df-topn 13578  df-topgen 13594  df-pt 13595  df-prds 13598  df-ordt 13652  df-xrs 13653  df-0g 13654  df-gsum 13655  df-qtop 13660  df-imas 13661  df-xps 13663  df-mre 13738  df-mrc 13739  df-acs 13741  df-ps 14556  df-tsr 14557  df-mnd 14617  df-plusf 14618  df-mhm 14665  df-submnd 14666  df-grp 14739  df-minusg 14740  df-sbg 14741  df-mulg 14742  df-subg 14868  df-cntz 15043  df-cmn 15341  df-abl 15342  df-mgp 15576  df-rng 15590  df-cring 15591  df-ur 15592  df-subrg 15793  df-abv 15832  df-lmod 15879  df-scaf 15880  df-sra 16171  df-rgmod 16172  df-xmet 16619  df-met 16620  df-bl 16621  df-mopn 16622  df-fbas 16623  df-fg 16624  df-cnfld 16627  df-top 16886  df-bases 16888  df-topon 16889  df-topsp 16890  df-cld 17006  df-ntr 17007  df-cls 17008  df-nei 17085  df-lp 17123  df-perf 17124  df-cn 17213  df-cnp 17214  df-haus 17301  df-tx 17515  df-hmeo 17708  df-fil 17799  df-fm 17891  df-flim 17892  df-flf 17893  df-tmd 18023  df-tgp 18024  df-tsms 18077  df-trg 18110  df-xms 18259  df-ms 18260  df-tms 18261  df-nm 18501  df-ngp 18502  df-nrg 18504  df-nlm 18505  df-ii 18778  df-cncf 18779  df-limc 19620  df-dv 19621  df-log 20321  df-esum 24221
  Copyright terms: Public domain W3C validator