Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  esumpinfval Structured version   Unicode version

Theorem esumpinfval 24455
Description: The value of the extended sum of non-negative terms, with at least one infinite term. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
esumpinfval.0  |-  F/ k
ph
esumpinfval.1  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
esumpinfval.2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
esumpinfval.3  |-  ( ph  ->  E. k  e.  A  B  =  +oo )
Assertion
Ref Expression
esumpinfval  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  A B  = 
+oo )
Distinct variable groups:    A, k    k, V
Allowed substitution hints:    ph( k)    B( k)

Proof of Theorem esumpinfval
StepHypRef Expression
1 iccssxr 10985 . . 3  |-  ( 0 [,]  +oo )  C_  RR*
2 esumpinfval.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
3 esumpinfval.0 . . . . 5  |-  F/ k
ph
4 esumpinfval.2 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
54ex 424 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  ->  B  e.  ( 0 [,]  +oo ) ) )
63, 5ralrimi 2779 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. k  e.  A  B  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
7 nfcv 2571 . . . . 5  |-  F/_ k A
87esumcl 24419 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. k  e.  A  B  e.  ( 0 [,]  +oo ) )  -> Σ* k  e.  A B  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
92, 6, 8syl2anc 643 . . 3  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  A B  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
101, 9sseldi 3338 . 2  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  A B  e. 
RR* )
11 nfrab1 2880 . . . . 5  |-  F/_ k { k  e.  A  |  B  =  +oo }
12 ssrab2 3420 . . . . . 6  |-  { k  e.  A  |  B  =  +oo }  C_  A
1312a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  { k  e.  A  |  B  =  +oo } 
C_  A )
14 0xr 9123 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR*
15 pnfxr 10705 . . . . . . . 8  |-  +oo  e.  RR*
16 pnfge 10719 . . . . . . . . 9  |-  ( 0  e.  RR*  ->  0  <_  +oo )
1714, 16ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  0  <_  +oo
18 ubicc2 11006 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  +oo  e.  RR*  /\  0  <_  +oo )  ->  +oo  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
1914, 15, 17, 18mp3an 1279 . . . . . . 7  |-  +oo  e.  ( 0 [,]  +oo )
2019a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  B  =  +oo )  ->  +oo  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
21 lbicc2 11005 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  +oo  e.  RR*  /\  0  <_  +oo )  ->  0  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
2214, 15, 17, 21mp3an 1279 . . . . . . 7  |-  0  e.  ( 0 [,]  +oo )
2322a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  -.  B  =  +oo )  -> 
0  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
2420, 23ifclda 3758 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  if ( B  =  +oo , 
+oo ,  0 )  e.  ( 0 [,] 
+oo ) )
25 eldif 3322 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( A  \  { k  e.  A  |  B  =  +oo } )  <->  ( k  e.  A  /\  -.  k  e.  { k  e.  A  |  B  =  +oo } ) )
26 rabid 2876 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  { k  e.  A  |  B  = 
+oo }  <->  ( k  e.  A  /\  B  = 
+oo ) )
2726simplbi2 609 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  A  ->  ( B  =  +oo  ->  k  e.  { k  e.  A  |  B  =  +oo } ) )
2827con3and 429 . . . . . . . 8  |-  ( ( k  e.  A  /\  -.  k  e.  { k  e.  A  |  B  =  +oo } )  ->  -.  B  =  +oo )
2925, 28sylbi 188 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( A  \  { k  e.  A  |  B  =  +oo } )  ->  -.  B  =  +oo )
3029adantl 453 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( A  \  { k  e.  A  |  B  =  +oo } ) )  ->  -.  B  =  +oo )
31 iffalse 3738 . . . . . 6  |-  ( -.  B  =  +oo  ->  if ( B  =  +oo , 
+oo ,  0 )  =  0 )
3230, 31syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( A  \  { k  e.  A  |  B  =  +oo } ) )  ->  if ( B  =  +oo ,  +oo ,  0 )  =  0 )
333, 11, 7, 13, 2, 24, 32esumss 24454 . . . 4  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  { k  e.  A  |  B  = 
+oo } if ( B  =  +oo ,  +oo ,  0 )  = Σ* k  e.  A if ( B  =  +oo ,  +oo ,  0 ) )
34 eqidd 2436 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { k  e.  A  |  B  =  +oo }  =  { k  e.  A  |  B  = 
+oo } )
3526simprbi 451 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  { k  e.  A  |  B  = 
+oo }  ->  B  = 
+oo )
36 iftrue 3737 . . . . . . . 8  |-  ( B  =  +oo  ->  if ( B  =  +oo , 
+oo ,  0 )  =  +oo )
3735, 36syl 16 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  { k  e.  A  |  B  = 
+oo }  ->  if ( B  =  +oo ,  +oo ,  0 )  = 
+oo )
3837adantl 453 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  { k  e.  A  |  B  =  +oo } )  ->  if ( B  =  +oo ,  +oo ,  0 )  =  +oo )
393, 34, 38esumeq12dvaf 24420 . . . . 5  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  { k  e.  A  |  B  = 
+oo } if ( B  =  +oo ,  +oo ,  0 )  = Σ* k  e. 
{ k  e.  A  |  B  =  +oo } 
+oo )
402, 13ssexd 4342 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { k  e.  A  |  B  =  +oo }  e.  _V )
41 nfcv 2571 . . . . . . 7  |-  F/_ k  +oo
4211, 41esumcst 24447 . . . . . 6  |-  ( ( { k  e.  A  |  B  =  +oo }  e.  _V  /\  +oo  e.  ( 0 [,]  +oo ) )  -> Σ* k  e.  {
k  e.  A  |  B  =  +oo }  +oo  =  ( ( # `  { k  e.  A  |  B  =  +oo } ) x e  +oo ) )
4340, 19, 42sylancl 644 . . . . 5  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  { k  e.  A  |  B  = 
+oo }  +oo  =  ( ( # `  {
k  e.  A  |  B  =  +oo } ) x e  +oo )
)
44 hashxrcl 11632 . . . . . . 7  |-  ( { k  e.  A  |  B  =  +oo }  e.  _V  ->  ( # `  {
k  e.  A  |  B  =  +oo } )  e.  RR* )
4540, 44syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( # `  {
k  e.  A  |  B  =  +oo } )  e.  RR* )
46 esumpinfval.3 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  E. k  e.  A  B  =  +oo )
47 rabn0 3639 . . . . . . . 8  |-  ( { k  e.  A  |  B  =  +oo }  =/=  (/)  <->  E. k  e.  A  B  =  +oo )
4846, 47sylibr 204 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  { k  e.  A  |  B  =  +oo }  =/=  (/) )
49 hashgt0 11654 . . . . . . 7  |-  ( ( { k  e.  A  |  B  =  +oo }  e.  _V  /\  {
k  e.  A  |  B  =  +oo }  =/=  (/) )  ->  0  <  (
# `  { k  e.  A  |  B  =  +oo } ) )
5040, 48, 49syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  <  ( # `  { k  e.  A  |  B  =  +oo } ) )
51 xmulpnf1 10845 . . . . . 6  |-  ( ( ( # `  {
k  e.  A  |  B  =  +oo } )  e.  RR*  /\  0  <  ( # `  {
k  e.  A  |  B  =  +oo } ) )  ->  ( ( # `
 { k  e.  A  |  B  = 
+oo } ) x e 
+oo )  =  +oo )
5245, 50, 51syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( # `  {
k  e.  A  |  B  =  +oo } ) x e  +oo )  =  +oo )
5339, 43, 523eqtrd 2471 . . . 4  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  { k  e.  A  |  B  = 
+oo } if ( B  =  +oo ,  +oo ,  0 )  =  +oo )
5433, 53eqtr3d 2469 . . 3  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  A if ( B  =  +oo ,  +oo ,  0 )  = 
+oo )
55 breq1 4207 . . . . 5  |-  (  +oo  =  if ( B  = 
+oo ,  +oo ,  0 )  ->  (  +oo  <_  B  <->  if ( B  = 
+oo ,  +oo ,  0 )  <_  B )
)
56 breq1 4207 . . . . 5  |-  ( 0  =  if ( B  =  +oo ,  +oo ,  0 )  ->  (
0  <_  B  <->  if ( B  =  +oo ,  +oo ,  0 )  <_  B
) )
57 pnfge 10719 . . . . . . . 8  |-  (  +oo  e.  RR*  ->  +oo  <_  +oo )
5815, 57ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  +oo  <_  +oo
59 breq2 4208 . . . . . . 7  |-  ( B  =  +oo  ->  (  +oo  <_  B  <->  +oo  <_  +oo )
)
6058, 59mpbiri 225 . . . . . 6  |-  ( B  =  +oo  ->  +oo  <_  B )
6160adantl 453 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  B  =  +oo )  ->  +oo  <_  B )
624adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  -.  B  =  +oo )  ->  B  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
63 iccgelb 24128 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  +oo  e.  RR*  /\  B  e.  ( 0 [,]  +oo ) )  ->  0  <_  B )
6414, 15, 63mp3an12 1269 . . . . . 6  |-  ( B  e.  ( 0 [,] 
+oo )  ->  0  <_  B )
6562, 64syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  -.  B  =  +oo )  -> 
0  <_  B )
6655, 56, 61, 65ifbothda 3761 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  if ( B  =  +oo , 
+oo ,  0 )  <_  B )
673, 7, 2, 24, 4, 66esumlef 24446 . . 3  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  A if ( B  =  +oo ,  +oo ,  0 )  <_ Σ* k  e.  A B )
6854, 67eqbrtrrd 4226 . 2  |-  ( ph  ->  +oo  <_ Σ* k  e.  A B )
69 xgepnf 24108 . . 3  |-  (Σ* k  e.  A B  e.  RR*  ->  (  +oo  <_ Σ* k  e.  A B 
<-> Σ* k  e.  A B  = 
+oo ) )
7069biimpd 199 . 2  |-  (Σ* k  e.  A B  e.  RR*  ->  (  +oo  <_ Σ* k  e.  A B  -> Σ* k  e.  A B  =  +oo ) )
7110, 68, 70sylc 58 1  |-  ( ph  -> Σ* k  e.  A B  = 
+oo )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359   F/wnf 1553    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2598   A.wral 2697   E.wrex 2698   {crab 2701   _Vcvv 2948    \ cdif 3309    C_ wss 3312   (/)c0 3620   ifcif 3731   class class class wbr 4204   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   0cc0 8982    +oocpnf 9109   RR*cxr 9111    < clt 9112    <_ cle 9113   x ecxmu 10701   [,]cicc 10911   #chash 11610  Σ*cesum 24416
This theorem is referenced by:  hasheuni  24467  esumcvg  24468  voliune  24577  volfiniune  24578
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7588  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060  ax-addf 9061  ax-mulf 9062
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-of 6297  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-2o 6717  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-pm 7013  df-ixp 7056  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-fi 7408  df-sup 7438  df-oi 7471  df-card 7818  df-cda 8040  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-5 10053  df-6 10054  df-7 10055  df-8 10056  df-9 10057  df-10 10058  df-n0 10214  df-z 10275  df-dec 10375  df-uz 10481  df-q 10567  df-rp 10605  df-xneg 10702  df-xadd 10703  df-xmul 10704  df-ioo 10912  df-ioc 10913  df-ico 10914  df-icc 10915  df-fz 11036  df-fzo 11128  df-fl 11194  df-mod 11243  df-seq 11316  df-exp 11375  df-fac 11559  df-bc 11586  df-hash 11611  df-shft 11874  df-cj 11896  df-re 11897  df-im 11898  df-sqr 12032  df-abs 12033  df-limsup 12257  df-clim 12274  df-rlim 12275  df-sum 12472  df-ef 12662  df-sin 12664  df-cos 12665  df-pi 12667  df-struct 13463  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-ress 13468  df-plusg 13534  df-mulr 13535  df-starv 13536  df-sca 13537  df-vsca 13538  df-tset 13540  df-ple 13541  df-ds 13543  df-unif 13544  df-hom 13545  df-cco 13546  df-rest 13642  df-topn 13643  df-topgen 13659  df-pt 13660  df-prds 13663  df-ordt 13717  df-xrs 13718  df-0g 13719  df-gsum 13720  df-qtop 13725  df-imas 13726  df-xps 13728  df-mre 13803  df-mrc 13804  df-acs 13806  df-ps 14621  df-tsr 14622  df-mnd 14682  df-plusf 14683  df-mhm 14730  df-submnd 14731  df-grp 14804  df-minusg 14805  df-sbg 14806  df-mulg 14807  df-subg 14933  df-cntz 15108  df-cmn 15406  df-abl 15407  df-mgp 15641  df-rng 15655  df-cring 15656  df-ur 15657  df-subrg 15858  df-abv 15897  df-lmod 15944  df-scaf 15945  df-sra 16236  df-rgmod 16237  df-psmet 16686  df-xmet 16687  df-met 16688  df-bl 16689  df-mopn 16690  df-fbas 16691  df-fg 16692  df-cnfld 16696  df-top 16955  df-bases 16957  df-topon 16958  df-topsp 16959  df-cld 17075  df-ntr 17076  df-cls 17077  df-nei 17154  df-lp 17192  df-perf 17193  df-cn 17283  df-cnp 17284  df-haus 17371  df-tx 17586  df-hmeo 17779  df-fil 17870  df-fm 17962  df-flim 17963  df-flf 17964  df-tmd 18094  df-tgp 18095  df-tsms 18148  df-trg 18181  df-xms 18342  df-ms 18343  df-tms 18344  df-nm 18622  df-ngp 18623  df-nrg 18625  df-nlm 18626  df-ii 18899  df-cncf 18900  df-limc 19745  df-dv 19746  df-log 20446  df-esum 24417
  Copyright terms: Public domain W3C validator