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Theorem eu2 2305
Description: An alternate way of defining existential uniqueness. Definition 6.10 of [TakeutiZaring] p. 26. (Contributed by NM, 8-Jul-1994.)
Hypothesis
Ref Expression
eu2.1  |-  F/ y
ph
Assertion
Ref Expression
eu2  |-  ( E! x ph  <->  ( E. x ph  /\  A. x A. y ( ( ph  /\ 
[ y  /  x ] ph )  ->  x  =  y ) ) )
Distinct variable group:    x, y
Allowed substitution hints:    ph( x, y)

Proof of Theorem eu2
StepHypRef Expression
1 euex 2303 . . 3  |-  ( E! x ph  ->  E. x ph )
2 eu2.1 . . . . 5  |-  F/ y
ph
32eumo0 2304 . . . 4  |-  ( E! x ph  ->  E. y A. x ( ph  ->  x  =  y ) )
42mo 2302 . . . 4  |-  ( E. y A. x (
ph  ->  x  =  y )  <->  A. x A. y
( ( ph  /\  [ y  /  x ] ph )  ->  x  =  y ) )
53, 4sylib 189 . . 3  |-  ( E! x ph  ->  A. x A. y ( ( ph  /\ 
[ y  /  x ] ph )  ->  x  =  y ) )
61, 5jca 519 . 2  |-  ( E! x ph  ->  ( E. x ph  /\  A. x A. y ( (
ph  /\  [ y  /  x ] ph )  ->  x  =  y ) ) )
7 19.29r 1607 . . . 4  |-  ( ( E. x ph  /\  A. x A. y ( ( ph  /\  [
y  /  x ] ph )  ->  x  =  y ) )  ->  E. x ( ph  /\  A. y ( ( ph  /\ 
[ y  /  x ] ph )  ->  x  =  y ) ) )
8 impexp 434 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  [
y  /  x ] ph )  ->  x  =  y )  <->  ( ph  ->  ( [ y  /  x ] ph  ->  x  =  y ) ) )
98albii 1575 . . . . . . . 8  |-  ( A. y ( ( ph  /\ 
[ y  /  x ] ph )  ->  x  =  y )  <->  A. y
( ph  ->  ( [ y  /  x ] ph  ->  x  =  y ) ) )
10219.21 1814 . . . . . . . 8  |-  ( A. y ( ph  ->  ( [ y  /  x ] ph  ->  x  =  y ) )  <->  ( ph  ->  A. y ( [ y  /  x ] ph  ->  x  =  y ) ) )
119, 10bitri 241 . . . . . . 7  |-  ( A. y ( ( ph  /\ 
[ y  /  x ] ph )  ->  x  =  y )  <->  ( ph  ->  A. y ( [ y  /  x ] ph  ->  x  =  y ) ) )
1211anbi2i 676 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A. y
( ( ph  /\  [ y  /  x ] ph )  ->  x  =  y ) )  <->  ( ph  /\  ( ph  ->  A. y
( [ y  /  x ] ph  ->  x  =  y ) ) ) )
13 abai 771 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A. y
( [ y  /  x ] ph  ->  x  =  y ) )  <-> 
( ph  /\  ( ph  ->  A. y ( [ y  /  x ] ph  ->  x  =  y ) ) ) )
1412, 13bitr4i 244 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A. y
( ( ph  /\  [ y  /  x ] ph )  ->  x  =  y ) )  <->  ( ph  /\ 
A. y ( [ y  /  x ] ph  ->  x  =  y ) ) )
1514exbii 1592 . . . 4  |-  ( E. x ( ph  /\  A. y ( ( ph  /\ 
[ y  /  x ] ph )  ->  x  =  y ) )  <->  E. x ( ph  /\  A. y ( [ y  /  x ] ph  ->  x  =  y ) ) )
167, 15sylib 189 . . 3  |-  ( ( E. x ph  /\  A. x A. y ( ( ph  /\  [
y  /  x ] ph )  ->  x  =  y ) )  ->  E. x ( ph  /\  A. y ( [ y  /  x ] ph  ->  x  =  y ) ) )
172eu1 2301 . . 3  |-  ( E! x ph  <->  E. x
( ph  /\  A. y
( [ y  /  x ] ph  ->  x  =  y ) ) )
1816, 17sylibr 204 . 2  |-  ( ( E. x ph  /\  A. x A. y ( ( ph  /\  [
y  /  x ] ph )  ->  x  =  y ) )  ->  E! x ph )
196, 18impbii 181 1  |-  ( E! x ph  <->  ( E. x ph  /\  A. x A. y ( ( ph  /\ 
[ y  /  x ] ph )  ->  x  =  y ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359   A.wal 1549   E.wex 1550   F/wnf 1553   [wsb 1658   E!weu 2280
This theorem is referenced by:  eu3  2306  bm1.1  2420  reu2  3114  bnj1321  29250
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284
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