Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  eu2ndop1stv Structured version   Unicode version

Theorem eu2ndop1stv 27947
Description: If there is a unique second component in an ordered pair contained in a given set, the first component must be a set. (Contributed by Alexander van der Vekens, 29-Nov-2017.)
Assertion
Ref Expression
eu2ndop1stv  |-  ( E! y <. A ,  y
>.  e.  V  ->  A  e.  _V )
Distinct variable groups:    y, A    y, V

Proof of Theorem eu2ndop1stv
StepHypRef Expression
1 euex 2303 . 2  |-  ( E! y <. A ,  y
>.  e.  V  ->  E. y <. A ,  y >.  e.  V )
2 nfeu1 2290 . . . 4  |-  F/ y E! y <. A , 
y >.  e.  V
3 nfcv 2571 . . . . 5  |-  F/_ y A
43nfel1 2581 . . . 4  |-  F/ y  A  e.  _V
52, 4nfim 1832 . . 3  |-  F/ y ( E! y <. A ,  y >.  e.  V  ->  A  e.  _V )
6 opprc1 3998 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  <. A ,  y >.  =  (/) )
76eleq1d 2501 . . . . . . . 8  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  (
<. A ,  y >.  e.  V  <->  (/)  e.  V ) )
8 ax-17 1626 . . . . . . . . 9  |-  ( (/)  e.  V  ->  A. y (/) 
e.  V )
9 alneu 27946 . . . . . . . . 9  |-  ( A. y (/)  e.  V  ->  -.  E! y (/)  e.  V
)
108, 9syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (/)  e.  V  ->  -.  E! y (/)  e.  V )
117, 10syl6bi 220 . . . . . . 7  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  (
<. A ,  y >.  e.  V  ->  -.  E! y (/)  e.  V ) )
1211impcom 420 . . . . . 6  |-  ( (
<. A ,  y >.  e.  V  /\  -.  A  e.  _V )  ->  -.  E! y (/)  e.  V
)
137eubidv 2288 . . . . . . . 8  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  ( E! y <. A , 
y >.  e.  V  <->  E! y (/) 
e.  V ) )
1413notbid 286 . . . . . . 7  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  ( -.  E! y <. A ,  y >.  e.  V  <->  -.  E! y (/) 
e.  V ) )
1514adantl 453 . . . . . 6  |-  ( (
<. A ,  y >.  e.  V  /\  -.  A  e.  _V )  ->  ( -.  E! y <. A , 
y >.  e.  V  <->  -.  E! y (/)  e.  V ) )
1612, 15mpbird 224 . . . . 5  |-  ( (
<. A ,  y >.  e.  V  /\  -.  A  e.  _V )  ->  -.  E! y <. A ,  y
>.  e.  V )
1716ex 424 . . . 4  |-  ( <. A ,  y >.  e.  V  ->  ( -.  A  e.  _V  ->  -.  E! y <. A , 
y >.  e.  V ) )
1817con4d 99 . . 3  |-  ( <. A ,  y >.  e.  V  ->  ( E! y <. A ,  y
>.  e.  V  ->  A  e.  _V ) )
195, 18exlimi 1821 . 2  |-  ( E. y <. A ,  y
>.  e.  V  ->  ( E! y <. A ,  y
>.  e.  V  ->  A  e.  _V ) )
201, 19mpcom 34 1  |-  ( E! y <. A ,  y
>.  e.  V  ->  A  e.  _V )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359   A.wal 1549   E.wex 1550    e. wcel 1725   E!weu 2280   _Vcvv 2948   (/)c0 3620   <.cop 3809
This theorem is referenced by:  afveu  27984  tz6.12-afv  28004
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-nul 4330  ax-pow 4369
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-v 2950  df-dif 3315  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-op 3815
  Copyright terms: Public domain W3C validator