Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eucalgcvga Unicode version

Theorem eucalgcvga 12758
 Description: Once Euclid's Algorithm halts after steps, the second element of the state remains 0 . (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 29-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
eucalgval.1
eucalg.2
eucalgcvga.3
Assertion
Ref Expression
eucalgcvga
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,
Allowed substitution hints:   ()   (,)   (,)

Proof of Theorem eucalgcvga
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eucalgcvga.3 . . . . . . 7
2 xp2nd 6152 . . . . . . 7
31, 2syl5eqel 2369 . . . . . 6
4 eluznn0 10290 . . . . . 6
53, 4sylan 457 . . . . 5
6 nn0uz 10264 . . . . . . 7
7 eucalg.2 . . . . . . 7
8 0z 10037 . . . . . . . 8
98a1i 10 . . . . . . 7
10 id 19 . . . . . . 7
11 eucalgval.1 . . . . . . . . 9
1211eucalgf 12755 . . . . . . . 8
1312a1i 10 . . . . . . 7
146, 7, 9, 10, 13algrf 12745 . . . . . 6
15 ffvelrn 5665 . . . . . 6
1614, 15sylan 457 . . . . 5
175, 16syldan 456 . . . 4
18 fvres 5544 . . . 4
1917, 18syl 15 . . 3
20 simpl 443 . . . 4
21 fvres 5544 . . . . . . . 8
2221, 1syl6eqr 2335 . . . . . . 7
2322fveq2d 5531 . . . . . 6
2423eleq2d 2352 . . . . 5
2524biimpar 471 . . . 4
26 f2ndres 6144 . . . . 5
2711eucalglt 12757 . . . . . 6
2812ffvelrni 5666 . . . . . . . 8
29 fvres 5544 . . . . . . . 8
3028, 29syl 15 . . . . . . 7
3130neeq1d 2461 . . . . . 6
32 fvres 5544 . . . . . . 7
3330, 32breq12d 4038 . . . . . 6
3427, 31, 333imtr4d 259 . . . . 5
35 eqid 2285 . . . . 5
3612, 7, 26, 34, 35algcvga 12751 . . . 4
3720, 25, 36sylc 56 . . 3
3819, 37eqtr3d 2319 . 2
3938ex 423 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 358   wceq 1625   wcel 1686   wne 2448  cif 3567  csn 3642  cop 3645   class class class wbr 4025   cxp 4689   cres 4693   ccom 4695  wf 5253  cfv 5257  (class class class)co 5860   cmpt2 5862  c1st 6122  c2nd 6123  cc0 8739   clt 8869  cn0 9967  cz 10026  cuz 10232   cmo 10975   cseq 11048 This theorem is referenced by:  eucalg  12759 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1535  ax-5 1546  ax-17 1605  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1688  ax-14 1690  ax-6 1705  ax-7 1710  ax-11 1717  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4190  ax-pr 4216  ax-un 4514  ax-cnex 8795  ax-resscn 8796  ax-1cn 8797  ax-icn 8798  ax-addcl 8799  ax-addrcl 8800  ax-mulcl 8801  ax-mulrcl 8802  ax-mulcom 8803  ax-addass 8804  ax-mulass 8805  ax-distr 8806  ax-i2m1 8807  ax-1ne0 8808  ax-1rid 8809  ax-rnegex 8810  ax-rrecex 8811  ax-cnre 8812  ax-pre-lttri 8813  ax-pre-lttrn 8814  ax-pre-ltadd 8815  ax-pre-mulgt0 8816  ax-pre-sup 8817 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1531  df-nf 1534  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-nel 2451  df-ral 2550  df-rex 2551  df-reu 2552  df-rmo 2553  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-csb 3084  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-pss 3170  df-nul 3458  df-if 3568  df-pw 3629  df-sn 3648  df-pr 3649  df-tp 3650  df-op 3651  df-uni 3830  df-iun 3909  df-br 4026  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4116  df-eprel 4307  df-id 4311  df-po 4316  df-so 4317  df-fr 4354  df-we 4356  df-ord 4397  df-on 4398  df-lim 4399  df-suc 4400  df-om 4659  df-xp 4697  df-rel 4698  df-cnv 4699  df-co 4700  df-dm 4701  df-rn 4702  df-res 4703  df-ima 4704  df-iota 5221  df-fun 5259  df-fn 5260  df-f 5261  df-f1 5262  df-fo 5263  df-f1o 5264  df-fv 5265  df-ov 5863  df-oprab 5864  df-mpt2 5865  df-1st 6124  df-2nd 6125  df-riota 6306  df-recs 6390  df-rdg 6425  df-er 6662  df-en 6866  df-dom 6867  df-sdom 6868  df-sup 7196  df-pnf 8871  df-mnf 8872  df-xr 8873  df-ltxr 8874  df-le 8875  df-sub 9041  df-neg 9042  df-div 9426  df-nn 9749  df-n0 9968  df-z 10027  df-uz 10233  df-rp 10357  df-fz 10785  df-fl 10927  df-mod 10976  df-seq 11049
 Copyright terms: Public domain W3C validator