MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eulerth Unicode version

Theorem eulerth 12778
Description: Euler's theorem, a generalization of Fermat's little theorem. If  A and  N are coprime, then  A ^ phi ( N )  ==  1, mod  N. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Feb-2014.)
Assertion
Ref Expression
eulerth  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  ->  (
( A ^ ( phi `  N ) )  mod  N )  =  ( 1  mod  N
) )

Proof of Theorem eulerth
StepHypRef Expression
1 phicl 12764 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  ( phi `  N )  e.  NN )
21nnnn0d 9950 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  ( phi `  N )  e. 
NN0 )
3 hashfz1 11276 . . . . . . 7  |-  ( ( phi `  N )  e.  NN0  ->  ( # `  ( 1 ... ( phi `  N ) ) )  =  ( phi `  N ) )
42, 3syl 17 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  ( # `
 ( 1 ... ( phi `  N
) ) )  =  ( phi `  N
) )
5 dfphi2 12769 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  ( phi `  N )  =  ( # `  {
k  e.  ( 0..^ N )  |  ( k  gcd  N )  =  1 } ) )
64, 5eqtrd 2288 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  ( # `
 ( 1 ... ( phi `  N
) ) )  =  ( # `  {
k  e.  ( 0..^ N )  |  ( k  gcd  N )  =  1 } ) )
763ad2ant1 981 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  ->  ( # `
 ( 1 ... ( phi `  N
) ) )  =  ( # `  {
k  e.  ( 0..^ N )  |  ( k  gcd  N )  =  1 } ) )
8 fzfi 10965 . . . . 5  |-  ( 1 ... ( phi `  N ) )  e. 
Fin
9 fzofi 10967 . . . . . 6  |-  ( 0..^ N )  e.  Fin
10 ssrab2 3200 . . . . . 6  |-  { k  e.  ( 0..^ N )  |  ( k  gcd  N )  =  1 }  C_  (
0..^ N )
11 ssfi 7016 . . . . . 6  |-  ( ( ( 0..^ N )  e.  Fin  /\  {
k  e.  ( 0..^ N )  |  ( k  gcd  N )  =  1 }  C_  ( 0..^ N ) )  ->  { k  e.  ( 0..^ N )  |  ( k  gcd 
N )  =  1 }  e.  Fin )
129, 10, 11mp2an 656 . . . . 5  |-  { k  e.  ( 0..^ N )  |  ( k  gcd  N )  =  1 }  e.  Fin
13 hashen 11277 . . . . 5  |-  ( ( ( 1 ... ( phi `  N ) )  e.  Fin  /\  {
k  e.  ( 0..^ N )  |  ( k  gcd  N )  =  1 }  e.  Fin )  ->  ( (
# `  ( 1 ... ( phi `  N
) ) )  =  ( # `  {
k  e.  ( 0..^ N )  |  ( k  gcd  N )  =  1 } )  <-> 
( 1 ... ( phi `  N ) ) 
~~  { k  e.  ( 0..^ N )  |  ( k  gcd 
N )  =  1 } ) )
148, 12, 13mp2an 656 . . . 4  |-  ( (
# `  ( 1 ... ( phi `  N
) ) )  =  ( # `  {
k  e.  ( 0..^ N )  |  ( k  gcd  N )  =  1 } )  <-> 
( 1 ... ( phi `  N ) ) 
~~  { k  e.  ( 0..^ N )  |  ( k  gcd 
N )  =  1 } )
157, 14sylib 190 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  ->  (
1 ... ( phi `  N ) )  ~~  { k  e.  ( 0..^ N )  |  ( k  gcd  N )  =  1 } )
16 bren 6804 . . 3  |-  ( ( 1 ... ( phi `  N ) )  ~~  { k  e.  ( 0..^ N )  |  ( k  gcd  N )  =  1 }  <->  E. f 
f : ( 1 ... ( phi `  N ) ) -1-1-onto-> { k  e.  ( 0..^ N )  |  ( k  gcd  N )  =  1 } )
1715, 16sylib 190 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  ->  E. f 
f : ( 1 ... ( phi `  N ) ) -1-1-onto-> { k  e.  ( 0..^ N )  |  ( k  gcd  N )  =  1 } )
18 simpl 445 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  f : ( 1 ... ( phi `  N
) ) -1-1-onto-> { k  e.  ( 0..^ N )  |  ( k  gcd  N
)  =  1 } )  ->  ( N  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 ) )
19 oveq1 5764 . . . . . . 7  |-  ( k  =  y  ->  (
k  gcd  N )  =  ( y  gcd 
N ) )
2019eqeq1d 2264 . . . . . 6  |-  ( k  =  y  ->  (
( k  gcd  N
)  =  1  <->  (
y  gcd  N )  =  1 ) )
2120cbvrabv 2739 . . . . 5  |-  { k  e.  ( 0..^ N )  |  ( k  gcd  N )  =  1 }  =  {
y  e.  ( 0..^ N )  |  ( y  gcd  N )  =  1 }
22 eqid 2256 . . . . 5  |-  ( 1 ... ( phi `  N ) )  =  ( 1 ... ( phi `  N ) )
23 simpr 449 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  f : ( 1 ... ( phi `  N
) ) -1-1-onto-> { k  e.  ( 0..^ N )  |  ( k  gcd  N
)  =  1 } )  ->  f :
( 1 ... ( phi `  N ) ) -1-1-onto-> { k  e.  ( 0..^ N )  |  ( k  gcd  N )  =  1 } )
24 fveq2 5423 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  x  ->  (
f `  k )  =  ( f `  x ) )
2524oveq2d 5773 . . . . . . 7  |-  ( k  =  x  ->  ( A  x.  ( f `  k ) )  =  ( A  x.  (
f `  x )
) )
2625oveq1d 5772 . . . . . 6  |-  ( k  =  x  ->  (
( A  x.  (
f `  k )
)  mod  N )  =  ( ( A  x.  ( f `  x ) )  mod 
N ) )
2726cbvmptv 4051 . . . . 5  |-  ( k  e.  ( 1 ... ( phi `  N
) )  |->  ( ( A  x.  ( f `
 k ) )  mod  N ) )  =  ( x  e.  ( 1 ... ( phi `  N ) ) 
|->  ( ( A  x.  ( f `  x
) )  mod  N
) )
2818, 21, 22, 23, 27eulerthlem2 12777 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  f : ( 1 ... ( phi `  N
) ) -1-1-onto-> { k  e.  ( 0..^ N )  |  ( k  gcd  N
)  =  1 } )  ->  ( ( A ^ ( phi `  N ) )  mod 
N )  =  ( 1  mod  N ) )
2928ex 425 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  ->  (
f : ( 1 ... ( phi `  N ) ) -1-1-onto-> { k  e.  ( 0..^ N )  |  ( k  gcd  N )  =  1 }  ->  (
( A ^ ( phi `  N ) )  mod  N )  =  ( 1  mod  N
) ) )
3029exlimdv 1933 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  ->  ( E. f  f :
( 1 ... ( phi `  N ) ) -1-1-onto-> { k  e.  ( 0..^ N )  |  ( k  gcd  N )  =  1 }  ->  ( ( A ^ ( phi `  N ) )  mod  N )  =  ( 1  mod  N
) ) )
3117, 30mpd 16 1  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  ->  (
( A ^ ( phi `  N ) )  mod  N )  =  ( 1  mod  N
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 939   E.wex 1537    = wceq 1619    e. wcel 1621   {crab 2519    C_ wss 3094   class class class wbr 3963    e. cmpt 4017   -1-1-onto->wf1o 4637   ` cfv 4638  (class class class)co 5757    ~~ cen 6793   Fincfn 6796   0cc0 8670   1c1 8671    x. cmul 8675   NNcn 9679   NN0cn0 9897   ZZcz 9956   ...cfz 10713  ..^cfzo 10801    mod cmo 10904   ^cexp 11035   #chash 11268    gcd cgcd 12612   phicphi 12759
This theorem is referenced by:  fermltl  12779  prmdiv  12780  odzcllem  12784  odzphi  12788  lgslem1  20462  lgsqrlem2  20508
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-rep 4071  ax-sep 4081  ax-nul 4089  ax-pow 4126  ax-pr 4152  ax-un 4449  ax-cnex 8726  ax-resscn 8727  ax-1cn 8728  ax-icn 8729  ax-addcl 8730  ax-addrcl 8731  ax-mulcl 8732  ax-mulrcl 8733  ax-mulcom 8734  ax-addass 8735  ax-mulass 8736  ax-distr 8737  ax-i2m1 8738  ax-1ne0 8739  ax-1rid 8740  ax-rnegex 8741  ax-rrecex 8742  ax-cnre 8743  ax-pre-lttri 8744  ax-pre-lttrn 8745  ax-pre-ltadd 8746  ax-pre-mulgt0 8747  ax-pre-sup 8748
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2422  df-ral 2520  df-rex 2521  df-reu 2522  df-rab 2523  df-v 2742  df-sbc 2936  df-csb 3024  df-dif 3097  df-un 3099  df-in 3101  df-ss 3108  df-pss 3110  df-nul 3398  df-if 3507  df-pw 3568  df-sn 3587  df-pr 3588  df-tp 3589  df-op 3590  df-uni 3769  df-int 3804  df-iun 3848  df-br 3964  df-opab 4018  df-mpt 4019  df-tr 4054  df-eprel 4242  df-id 4246  df-po 4251  df-so 4252  df-fr 4289  df-we 4291  df-ord 4332  df-on 4333  df-lim 4334  df-suc 4335  df-om 4594  df-xp 4640  df-rel 4641  df-cnv 4642  df-co 4643  df-dm 4644  df-rn 4645  df-res 4646  df-ima 4647  df-fun 4648  df-fn 4649  df-f 4650  df-f1 4651  df-fo 4652  df-f1o 4653  df-fv 4654  df-ov 5760  df-oprab 5761  df-mpt2 5762  df-1st 6021  df-2nd 6022  df-iota 6190  df-riota 6237  df-recs 6321  df-rdg 6356  df-1o 6412  df-oadd 6416  df-er 6593  df-map 6707  df-en 6797  df-dom 6798  df-sdom 6799  df-fin 6800  df-sup 7127  df-card 7505  df-pnf 8802  df-mnf 8803  df-xr 8804  df-ltxr 8805  df-le 8806  df-sub 8972  df-neg 8973  df-div 9357  df-n 9680  df-2 9737  df-3 9738  df-n0 9898  df-z 9957  df-uz 10163  df-rp 10287  df-fz 10714  df-fzo 10802  df-fl 10856  df-mod 10905  df-seq 10978  df-exp 11036  df-hash 11269  df-cj 11514  df-re 11515  df-im 11516  df-sqr 11650  df-abs 11651  df-divides 12459  df-gcd 12613  df-phi 12761
  Copyright terms: Public domain W3C validator