MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  evl1sca Structured version   Unicode version

Theorem evl1sca 19981
Description: Polynomial evaluation maps scalars to constant functions. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
evl1sca.o  |-  O  =  (eval1 `  R )
evl1sca.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
evl1sca.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
evl1sca.a  |-  A  =  (algSc `  P )
Assertion
Ref Expression
evl1sca  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  X  e.  B )  ->  ( O `  ( A `  X ) )  =  ( B  X.  { X } ) )

Proof of Theorem evl1sca
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 crngrng 15705 . . . . . 6  |-  ( R  e.  CRing  ->  R  e.  Ring )
21adantr 453 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  X  e.  B )  ->  R  e.  Ring )
3 evl1sca.p . . . . . 6  |-  P  =  (Poly1 `  R )
4 evl1sca.a . . . . . 6  |-  A  =  (algSc `  P )
5 evl1sca.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  R
)
6 eqid 2442 . . . . . 6  |-  ( Base `  P )  =  (
Base `  P )
73, 4, 5, 6ply1sclf 16708 . . . . 5  |-  ( R  e.  Ring  ->  A : B
--> ( Base `  P
) )
82, 7syl 16 . . . 4  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  X  e.  B )  ->  A : B --> ( Base `  P
) )
9 ffvelrn 5897 . . . 4  |-  ( ( A : B --> ( Base `  P )  /\  X  e.  B )  ->  ( A `  X )  e.  ( Base `  P
) )
108, 9sylancom 650 . . 3  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  X  e.  B )  ->  ( A `  X )  e.  ( Base `  P
) )
11 evl1sca.o . . . 4  |-  O  =  (eval1 `  R )
12 eqid 2442 . . . 4  |-  ( 1o eval  R )  =  ( 1o eval  R )
13 eqid 2442 . . . 4  |-  ( 1o mPoly  R )  =  ( 1o mPoly  R )
14 eqid 2442 . . . . 5  |-  (PwSer1 `  R
)  =  (PwSer1 `  R
)
153, 14, 6ply1bas 16624 . . . 4  |-  ( Base `  P )  =  (
Base `  ( 1o mPoly  R ) )
1611, 12, 5, 13, 15evl1val 19979 . . 3  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  ( A `  X )  e.  ( Base `  P
) )  ->  ( O `  ( A `  X ) )  =  ( ( ( 1o eval  R ) `  ( A `  X )
)  o.  ( y  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { y } ) ) ) )
1710, 16syldan 458 . 2  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  X  e.  B )  ->  ( O `  ( A `  X ) )  =  ( ( ( 1o eval  R ) `  ( A `  X )
)  o.  ( y  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { y } ) ) ) )
185ressid 13555 . . . . . . . . . 10  |-  ( R  e.  CRing  ->  ( Rs  B
)  =  R )
1918adantr 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  X  e.  B )  ->  ( Rs  B )  =  R )
2019oveq2d 6126 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  X  e.  B )  ->  ( 1o mPoly  ( Rs  B ) )  =  ( 1o mPoly  R )
)
2120fveq2d 5761 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  X  e.  B )  ->  (algSc `  ( 1o mPoly  ( Rs  B
) ) )  =  (algSc `  ( 1o mPoly  R ) ) )
223, 4ply1ascl 16682 . . . . . . 7  |-  A  =  (algSc `  ( 1o mPoly  R ) )
2321, 22syl6reqr 2493 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  X  e.  B )  ->  A  =  (algSc `  ( 1o mPoly  ( Rs  B ) ) ) )
2423fveq1d 5759 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  X  e.  B )  ->  ( A `  X )  =  ( (algSc `  ( 1o mPoly  ( Rs  B
) ) ) `  X ) )
2524fveq2d 5761 . . . 4  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  X  e.  B )  ->  (
( 1o eval  R ) `  ( A `  X
) )  =  ( ( 1o eval  R ) `
 ( (algSc `  ( 1o mPoly  ( Rs  B
) ) ) `  X ) ) )
2612, 5evlval 19976 . . . . 5  |-  ( 1o eval  R )  =  ( ( 1o evalSub  R ) `  B )
27 eqid 2442 . . . . 5  |-  ( 1o mPoly 
( Rs  B ) )  =  ( 1o mPoly  ( Rs  B
) )
28 eqid 2442 . . . . 5  |-  ( Rs  B )  =  ( Rs  B )
29 eqid 2442 . . . . 5  |-  (algSc `  ( 1o mPoly  ( Rs  B
) ) )  =  (algSc `  ( 1o mPoly  ( Rs  B ) ) )
30 1on 6760 . . . . . 6  |-  1o  e.  On
3130a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  X  e.  B )  ->  1o  e.  On )
32 simpl 445 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  X  e.  B )  ->  R  e.  CRing )
335subrgid 15901 . . . . . 6  |-  ( R  e.  Ring  ->  B  e.  (SubRing `  R )
)
342, 33syl 16 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  X  e.  B )  ->  B  e.  (SubRing `  R )
)
35 simpr 449 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  X  e.  B )  ->  X  e.  B )
3626, 27, 28, 5, 29, 31, 32, 34, 35evlssca 19974 . . . 4  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  X  e.  B )  ->  (
( 1o eval  R ) `  ( (algSc `  ( 1o mPoly  ( Rs  B ) ) ) `
 X ) )  =  ( ( B  ^m  1o )  X. 
{ X } ) )
3725, 36eqtrd 2474 . . 3  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  X  e.  B )  ->  (
( 1o eval  R ) `  ( A `  X
) )  =  ( ( B  ^m  1o )  X.  { X }
) )
3837coeq1d 5063 . 2  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  X  e.  B )  ->  (
( ( 1o eval  R
) `  ( A `  X ) )  o.  ( y  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
y } ) ) )  =  ( ( ( B  ^m  1o )  X.  { X }
)  o.  ( y  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { y } ) ) ) )
39 df1o2 6765 . . . . . . 7  |-  1o  =  { (/) }
40 fvex 5771 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  R )  e.  _V
415, 40eqeltri 2512 . . . . . . 7  |-  B  e. 
_V
42 0ex 4364 . . . . . . 7  |-  (/)  e.  _V
43 eqid 2442 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { y } ) )  =  ( y  e.  B  |->  ( 1o  X.  { y } ) )
4439, 41, 42, 43mapsnf1o3 7091 . . . . . 6  |-  ( y  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { y } ) ) : B -1-1-onto-> ( B  ^m  1o )
45 f1of 5703 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  B  |->  ( 1o  X.  { y } ) ) : B -1-1-onto-> ( B  ^m  1o )  ->  ( y  e.  B  |->  ( 1o  X.  { y } ) ) : B --> ( B  ^m  1o ) )
4644, 45mp1i 12 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  X  e.  B )  ->  (
y  e.  B  |->  ( 1o  X.  { y } ) ) : B --> ( B  ^m  1o ) )
4743fmpt 5919 . . . . 5  |-  ( A. y  e.  B  ( 1o  X.  { y } )  e.  ( B  ^m  1o )  <->  ( y  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { y } ) ) : B --> ( B  ^m  1o ) )
4846, 47sylibr 205 . . . 4  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  X  e.  B )  ->  A. y  e.  B  ( 1o  X.  { y } )  e.  ( B  ^m  1o ) )
49 eqidd 2443 . . . 4  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  X  e.  B )  ->  (
y  e.  B  |->  ( 1o  X.  { y } ) )  =  ( y  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
y } ) ) )
50 fconstmpt 4950 . . . . 5  |-  ( ( B  ^m  1o )  X.  { X }
)  =  ( x  e.  ( B  ^m  1o )  |->  X )
5150a1i 11 . . . 4  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  X  e.  B )  ->  (
( B  ^m  1o )  X.  { X }
)  =  ( x  e.  ( B  ^m  1o )  |->  X ) )
52 eqidd 2443 . . . 4  |-  ( x  =  ( 1o  X.  { y } )  ->  X  =  X )
5348, 49, 51, 52fmptcof 5931 . . 3  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  X  e.  B )  ->  (
( ( B  ^m  1o )  X.  { X } )  o.  (
y  e.  B  |->  ( 1o  X.  { y } ) ) )  =  ( y  e.  B  |->  X ) )
54 fconstmpt 4950 . . 3  |-  ( B  X.  { X }
)  =  ( y  e.  B  |->  X )
5553, 54syl6eqr 2492 . 2  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  X  e.  B )  ->  (
( ( B  ^m  1o )  X.  { X } )  o.  (
y  e.  B  |->  ( 1o  X.  { y } ) ) )  =  ( B  X.  { X } ) )
5617, 38, 553eqtrd 2478 1  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  X  e.  B )  ->  ( O `  ( A `  X ) )  =  ( B  X.  { X } ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1727   A.wral 2711   _Vcvv 2962   (/)c0 3613   {csn 3838    e. cmpt 4291   Oncon0 4610    X. cxp 4905    o. ccom 4911   -->wf 5479   -1-1-onto->wf1o 5482   ` cfv 5483  (class class class)co 6110   1oc1o 6746    ^m cmap 7047   Basecbs 13500   ↾s cress 13501   Ringcrg 15691   CRingccrg 15692  SubRingcsubrg 15895  algSccascl 16402   mPoly cmpl 16439   eval cevl 16441  PwSer1cps1 16600  Poly1cpl1 16602  eval1ce1 16604
This theorem is referenced by:  evl1scad  19982  pf1const  19997  pf1ind  20006  ply1rem  20117  fta1g  20121  fta1blem  20122  plypf1  20162
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1668  ax-8 1689  ax-13 1729  ax-14 1731  ax-6 1746  ax-7 1751  ax-11 1763  ax-12 1953  ax-ext 2423  ax-rep 4345  ax-sep 4355  ax-nul 4363  ax-pow 4406  ax-pr 4432  ax-un 4730  ax-inf2 7625  ax-cnex 9077  ax-resscn 9078  ax-1cn 9079  ax-icn 9080  ax-addcl 9081  ax-addrcl 9082  ax-mulcl 9083  ax-mulrcl 9084  ax-mulcom 9085  ax-addass 9086  ax-mulass 9087  ax-distr 9088  ax-i2m1 9089  ax-1ne0 9090  ax-1rid 9091  ax-rnegex 9092  ax-rrecex 9093  ax-cnre 9094  ax-pre-lttri 9095  ax-pre-lttrn 9096  ax-pre-ltadd 9097  ax-pre-mulgt0 9098
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2291  df-mo 2292  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2716  df-rex 2717  df-reu 2718  df-rmo 2719  df-rab 2720  df-v 2964  df-sbc 3168  df-csb 3268  df-dif 3309  df-un 3311  df-in 3313  df-ss 3320  df-pss 3322  df-nul 3614  df-if 3764  df-pw 3825  df-sn 3844  df-pr 3845  df-tp 3846  df-op 3847  df-uni 4040  df-int 4075  df-iun 4119  df-iin 4120  df-br 4238  df-opab 4292  df-mpt 4293  df-tr 4328  df-eprel 4523  df-id 4527  df-po 4532  df-so 4533  df-fr 4570  df-se 4571  df-we 4572  df-ord 4613  df-on 4614  df-lim 4615  df-suc 4616  df-om 4875  df-xp 4913  df-rel 4914  df-cnv 4915  df-co 4916  df-dm 4917  df-rn 4918  df-res 4919  df-ima 4920  df-iota 5447  df-fun 5485  df-fn 5486  df-f 5487  df-f1 5488  df-fo 5489  df-f1o 5490  df-fv 5491  df-isom 5492  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-of 6334  df-ofr 6335  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-riota 6578  df-recs 6662  df-rdg 6697  df-1o 6753  df-2o 6754  df-oadd 6757  df-er 6934  df-map 7049  df-pm 7050  df-ixp 7093  df-en 7139  df-dom 7140  df-sdom 7141  df-fin 7142  df-sup 7475  df-oi 7508  df-card 7857  df-pnf 9153  df-mnf 9154  df-xr 9155  df-ltxr 9156  df-le 9157  df-sub 9324  df-neg 9325  df-nn 10032  df-2 10089  df-3 10090  df-4 10091  df-5 10092  df-6 10093  df-7 10094  df-8 10095  df-9 10096  df-10 10097  df-n0 10253  df-z 10314  df-dec 10414  df-uz 10520  df-fz 11075  df-fzo 11167  df-seq 11355  df-hash 11650  df-struct 13502  df-ndx 13503  df-slot 13504  df-base 13505  df-sets 13506  df-ress 13507  df-plusg 13573  df-mulr 13574  df-sca 13576  df-vsca 13577  df-tset 13579  df-ple 13580  df-ds 13582  df-hom 13584  df-cco 13585  df-prds 13702  df-pws 13704  df-0g 13758  df-gsum 13759  df-mre 13842  df-mrc 13843  df-acs 13845  df-mnd 14721  df-mhm 14769  df-submnd 14770  df-grp 14843  df-minusg 14844  df-sbg 14845  df-mulg 14846  df-subg 14972  df-ghm 15035  df-cntz 15147  df-cmn 15445  df-abl 15446  df-mgp 15680  df-rng 15694  df-cring 15695  df-ur 15696  df-rnghom 15850  df-subrg 15897  df-lmod 15983  df-lss 16040  df-lsp 16079  df-assa 16403  df-asp 16404  df-ascl 16405  df-psr 16448  df-mvr 16449  df-mpl 16450  df-evls 16451  df-evl 16452  df-opsr 16456  df-psr1 16607  df-ply1 16609  df-evl1 16611
  Copyright terms: Public domain W3C validator