Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  evlslem4 Unicode version

Theorem evlslem4 16245
 Description: The support of a tensor product of ring element families is contained in the product of the supports. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
evlslem4.b
evlslem4.z
evlslem4.t
evlslem4.r
evlslem4.x
evlslem4.y
Assertion
Ref Expression
evlslem4
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,   ,,   , ,   ,
Allowed substitution hints:   (,)   ()   ()   (,)

Proof of Theorem evlslem4
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfcv 2419 . . . . . . 7
2 nfcv 2419 . . . . . . 7
3 nfmpt1 4109 . . . . . . . . 9
4 nfcv 2419 . . . . . . . . 9
53, 4nffv 5532 . . . . . . . 8
6 nfcv 2419 . . . . . . . 8
7 nfcv 2419 . . . . . . . 8
85, 6, 7nfov 5881 . . . . . . 7
9 nfcv 2419 . . . . . . . 8
10 nfcv 2419 . . . . . . . 8
11 nfmpt1 4109 . . . . . . . . 9
12 nfcv 2419 . . . . . . . . 9
1311, 12nffv 5532 . . . . . . . 8
149, 10, 13nfov 5881 . . . . . . 7
15 fveq2 5525 . . . . . . . 8
16 fveq2 5525 . . . . . . . 8
1715, 16oveqan12d 5877 . . . . . . 7
181, 2, 8, 14, 17cbvmpt2 5925 . . . . . 6
19 vex 2791 . . . . . . . . 9
20 vex 2791 . . . . . . . . 9
2119, 20eqop2 6163 . . . . . . . 8
22 fveq2 5525 . . . . . . . . . 10
23 fveq2 5525 . . . . . . . . . 10
2422, 23oveqan12d 5877 . . . . . . . . 9
2524adantl 452 . . . . . . . 8
2621, 25sylbi 187 . . . . . . 7
2726mpt2mpt 5939 . . . . . 6
2818, 27eqtr4i 2306 . . . . 5
29 simp2 956 . . . . . . . 8
30 evlslem4.x . . . . . . . . 9
31303adant3 975 . . . . . . . 8
32 eqid 2283 . . . . . . . . 9
3332fvmpt2 5608 . . . . . . . 8
3429, 31, 33syl2anc 642 . . . . . . 7
35 simp3 957 . . . . . . . 8
36 evlslem4.y . . . . . . . . 9
37363adant2 974 . . . . . . . 8
38 eqid 2283 . . . . . . . . 9
3938fvmpt2 5608 . . . . . . . 8
4035, 37, 39syl2anc 642 . . . . . . 7
4134, 40oveq12d 5876 . . . . . 6
4241mpt2eq3dva 5912 . . . . 5
4328, 42syl5reqr 2330 . . . 4
4443cnveqd 4857 . . 3
4544imaeq1d 5011 . 2
46 difxp 6153 . . . . . 6
4746eleq2i 2347 . . . . 5
48 elun 3316 . . . . 5
4947, 48bitri 240 . . . 4
5030, 32fmptd 5684 . . . . . . . 8
51 xp1st 6149 . . . . . . . 8
52 id 19 . . . . . . . . 9
53 ssid 3197 . . . . . . . . . 10
5453a1i 10 . . . . . . . . 9
5552, 54suppssr 5659 . . . . . . . 8
5650, 51, 55syl2an 463 . . . . . . 7
5756oveq1d 5873 . . . . . 6
58 evlslem4.r . . . . . . . 8
5958adantr 451 . . . . . . 7
6036, 38fmptd 5684 . . . . . . . 8
61 xp2nd 6150 . . . . . . . 8
62 ffvelrn 5663 . . . . . . . 8
6360, 61, 62syl2an 463 . . . . . . 7
64 evlslem4.b . . . . . . . 8
65 evlslem4.t . . . . . . . 8
66 evlslem4.z . . . . . . . 8
6764, 65, 66rnglz 15377 . . . . . . 7
6859, 63, 67syl2anc 642 . . . . . 6
6957, 68eqtrd 2315 . . . . 5
70 xp2nd 6150 . . . . . . . 8
71 id 19 . . . . . . . . 9
72 ssid 3197 . . . . . . . . . 10
7372a1i 10 . . . . . . . . 9
7471, 73suppssr 5659 . . . . . . . 8
7560, 70, 74syl2an 463 . . . . . . 7
7675oveq2d 5874 . . . . . 6
7758adantr 451 . . . . . . 7
78 xp1st 6149 . . . . . . . 8
79 ffvelrn 5663 . . . . . . . 8
8050, 78, 79syl2an 463 . . . . . . 7
8164, 65, 66rngrz 15378 . . . . . . 7
8277, 80, 81syl2anc 642 . . . . . 6
8376, 82eqtrd 2315 . . . . 5
8469, 83jaodan 760 . . . 4
8549, 84sylan2b 461 . . 3
8685suppss2 6073 . 2
8745, 86eqsstrd 3212 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wo 357   wa 358   w3a 934   wceq 1623   wcel 1684  cvv 2788   cdif 3149   cun 3150   wss 3152  csn 3640  cop 3643   cmpt 4077   cxp 4687  ccnv 4688  cima 4692  wf 5251  cfv 5255  (class class class)co 5858   cmpt2 5860  c1st 6120  c2nd 6121  cbs 13148  cmulr 13209  c0g 13400  crg 15337 This theorem is referenced by:  evlslem2  16249 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-plusg 13221  df-0g 13404  df-mnd 14367  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-mgp 15326  df-rng 15340
 Copyright terms: Public domain W3C validator