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Theorem evlslem4 16261
Description: The support of a tensor product of ring element families is contained in the product of the supports. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
evlslem4.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
evlslem4.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
evlslem4.t  |-  .x.  =  ( .r `  R )
evlslem4.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
evlslem4.x  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  X  e.  B )
evlslem4.y  |-  ( (
ph  /\  y  e.  J )  ->  Y  e.  B )
Assertion
Ref Expression
evlslem4  |-  ( ph  ->  ( `' ( x  e.  I ,  y  e.  J  |->  ( X 
.x.  Y ) )
" ( _V  \  {  .0.  } ) ) 
C_  ( ( `' ( x  e.  I  |->  X ) " ( _V  \  {  .0.  }
) )  X.  ( `' ( y  e.  J  |->  Y ) "
( _V  \  {  .0.  } ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, I    x, J, y    ph, x, y    y, X    x, B, y    x,  .x. , y    x, Y
Allowed substitution hints:    R( x, y)    X( x)    Y( y)    .0. ( x, y)

Proof of Theorem evlslem4
Dummy variables  i 
j  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfcv 2432 . . . . . . 7  |-  F/_ i
( ( ( x  e.  I  |->  X ) `
 x )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  y ) )
2 nfcv 2432 . . . . . . 7  |-  F/_ j
( ( ( x  e.  I  |->  X ) `
 x )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  y ) )
3 nfmpt1 4125 . . . . . . . . 9  |-  F/_ x
( x  e.  I  |->  X )
4 nfcv 2432 . . . . . . . . 9  |-  F/_ x
i
53, 4nffv 5548 . . . . . . . 8  |-  F/_ x
( ( x  e.  I  |->  X ) `  i )
6 nfcv 2432 . . . . . . . 8  |-  F/_ x  .x.
7 nfcv 2432 . . . . . . . 8  |-  F/_ x
( ( y  e.  J  |->  Y ) `  j )
85, 6, 7nfov 5897 . . . . . . 7  |-  F/_ x
( ( ( x  e.  I  |->  X ) `
 i )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  j ) )
9 nfcv 2432 . . . . . . . 8  |-  F/_ y
( ( x  e.  I  |->  X ) `  i )
10 nfcv 2432 . . . . . . . 8  |-  F/_ y  .x.
11 nfmpt1 4125 . . . . . . . . 9  |-  F/_ y
( y  e.  J  |->  Y )
12 nfcv 2432 . . . . . . . . 9  |-  F/_ y
j
1311, 12nffv 5548 . . . . . . . 8  |-  F/_ y
( ( y  e.  J  |->  Y ) `  j )
149, 10, 13nfov 5897 . . . . . . 7  |-  F/_ y
( ( ( x  e.  I  |->  X ) `
 i )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  j ) )
15 fveq2 5541 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  i  ->  (
( x  e.  I  |->  X ) `  x
)  =  ( ( x  e.  I  |->  X ) `  i ) )
16 fveq2 5541 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  j  ->  (
( y  e.  J  |->  Y ) `  y
)  =  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  j ) )
1715, 16oveqan12d 5893 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  i  /\  y  =  j )  ->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `
 x )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  y ) )  =  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `
 i )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  j ) ) )
181, 2, 8, 14, 17cbvmpt2 5941 . . . . . 6  |-  ( x  e.  I ,  y  e.  J  |->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `  x
)  .x.  ( (
y  e.  J  |->  Y ) `  y ) ) )  =  ( i  e.  I ,  j  e.  J  |->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `  i )  .x.  (
( y  e.  J  |->  Y ) `  j
) ) )
19 vex 2804 . . . . . . . . 9  |-  i  e. 
_V
20 vex 2804 . . . . . . . . 9  |-  j  e. 
_V
2119, 20eqop2 6179 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  <. i ,  j
>. 
<->  ( z  e.  ( _V  X.  _V )  /\  ( ( 1st `  z
)  =  i  /\  ( 2nd `  z )  =  j ) ) )
22 fveq2 5541 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1st `  z )  =  i  ->  (
( x  e.  I  |->  X ) `  ( 1st `  z ) )  =  ( ( x  e.  I  |->  X ) `
 i ) )
23 fveq2 5541 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2nd `  z )  =  j  ->  (
( y  e.  J  |->  Y ) `  ( 2nd `  z ) )  =  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `
 j ) )
2422, 23oveqan12d 5893 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 1st `  z
)  =  i  /\  ( 2nd `  z )  =  j )  -> 
( ( ( x  e.  I  |->  X ) `
 ( 1st `  z
) )  .x.  (
( y  e.  J  |->  Y ) `  ( 2nd `  z ) ) )  =  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `  i
)  .x.  ( (
y  e.  J  |->  Y ) `  j ) ) )
2524adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  ( _V 
X.  _V )  /\  (
( 1st `  z
)  =  i  /\  ( 2nd `  z )  =  j ) )  ->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `  ( 1st `  z ) )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  ( 2nd `  z ) ) )  =  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `  i )  .x.  (
( y  e.  J  |->  Y ) `  j
) ) )
2621, 25sylbi 187 . . . . . . 7  |-  ( z  =  <. i ,  j
>.  ->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `  ( 1st `  z ) )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  ( 2nd `  z ) ) )  =  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `  i )  .x.  (
( y  e.  J  |->  Y ) `  j
) ) )
2726mpt2mpt 5955 . . . . . 6  |-  ( z  e.  ( I  X.  J )  |->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `  ( 1st `  z ) ) 
.x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `
 ( 2nd `  z
) ) ) )  =  ( i  e.  I ,  j  e.  J  |->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `  i ) 
.x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `
 j ) ) )
2818, 27eqtr4i 2319 . . . . 5  |-  ( x  e.  I ,  y  e.  J  |->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `  x
)  .x.  ( (
y  e.  J  |->  Y ) `  y ) ) )  =  ( z  e.  ( I  X.  J )  |->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `  ( 1st `  z ) )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  ( 2nd `  z ) ) ) )
29 simp2 956 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I  /\  y  e.  J
)  ->  x  e.  I )
30 evlslem4.x . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  X  e.  B )
31303adant3 975 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I  /\  y  e.  J
)  ->  X  e.  B )
32 eqid 2296 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  I  |->  X )  =  ( x  e.  I  |->  X )
3332fvmpt2 5624 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  I  /\  X  e.  B )  ->  ( ( x  e.  I  |->  X ) `  x )  =  X )
3429, 31, 33syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I  /\  y  e.  J
)  ->  ( (
x  e.  I  |->  X ) `  x )  =  X )
35 simp3 957 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I  /\  y  e.  J
)  ->  y  e.  J )
36 evlslem4.y . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  J )  ->  Y  e.  B )
37363adant2 974 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I  /\  y  e.  J
)  ->  Y  e.  B )
38 eqid 2296 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  J  |->  Y )  =  ( y  e.  J  |->  Y )
3938fvmpt2 5624 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  J  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  y )  =  Y )
4035, 37, 39syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I  /\  y  e.  J
)  ->  ( (
y  e.  J  |->  Y ) `  y )  =  Y )
4134, 40oveq12d 5892 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I  /\  y  e.  J
)  ->  ( (
( x  e.  I  |->  X ) `  x
)  .x.  ( (
y  e.  J  |->  Y ) `  y ) )  =  ( X 
.x.  Y ) )
4241mpt2eq3dva 5928 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  I ,  y  e.  J  |->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `
 x )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  y ) ) )  =  ( x  e.  I ,  y  e.  J  |->  ( X  .x.  Y ) ) )
4328, 42syl5reqr 2343 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  I ,  y  e.  J  |->  ( X  .x.  Y
) )  =  ( z  e.  ( I  X.  J )  |->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `  ( 1st `  z ) )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  ( 2nd `  z ) ) ) ) )
4443cnveqd 4873 . . 3  |-  ( ph  ->  `' ( x  e.  I ,  y  e.  J  |->  ( X  .x.  Y ) )  =  `' ( z  e.  ( I  X.  J
)  |->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `  ( 1st `  z ) )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  ( 2nd `  z ) ) ) ) )
4544imaeq1d 5027 . 2  |-  ( ph  ->  ( `' ( x  e.  I ,  y  e.  J  |->  ( X 
.x.  Y ) )
" ( _V  \  {  .0.  } ) )  =  ( `' ( z  e.  ( I  X.  J )  |->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `  ( 1st `  z ) )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  ( 2nd `  z ) ) ) ) " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) )
46 difxp 6169 . . . . . 6  |-  ( ( I  X.  J ) 
\  ( ( `' ( x  e.  I  |->  X ) " ( _V  \  {  .0.  }
) )  X.  ( `' ( y  e.  J  |->  Y ) "
( _V  \  {  .0.  } ) ) ) )  =  ( ( ( I  \  ( `' ( x  e.  I  |->  X ) "
( _V  \  {  .0.  } ) ) )  X.  J )  u.  ( I  X.  ( J  \  ( `' ( y  e.  J  |->  Y ) " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) ) ) )
4746eleq2i 2360 . . . . 5  |-  ( z  e.  ( ( I  X.  J )  \ 
( ( `' ( x  e.  I  |->  X ) " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  X.  ( `' ( y  e.  J  |->  Y ) "
( _V  \  {  .0.  } ) ) ) )  <->  z  e.  ( ( ( I  \ 
( `' ( x  e.  I  |->  X )
" ( _V  \  {  .0.  } ) ) )  X.  J )  u.  ( I  X.  ( J  \  ( `' ( y  e.  J  |->  Y ) "
( _V  \  {  .0.  } ) ) ) ) ) )
48 elun 3329 . . . . 5  |-  ( z  e.  ( ( ( I  \  ( `' ( x  e.  I  |->  X ) " ( _V  \  {  .0.  }
) ) )  X.  J )  u.  (
I  X.  ( J 
\  ( `' ( y  e.  J  |->  Y ) " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) ) ) )  <->  ( z  e.  ( ( I  \ 
( `' ( x  e.  I  |->  X )
" ( _V  \  {  .0.  } ) ) )  X.  J )  \/  z  e.  ( I  X.  ( J 
\  ( `' ( y  e.  J  |->  Y ) " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) ) ) ) )
4947, 48bitri 240 . . . 4  |-  ( z  e.  ( ( I  X.  J )  \ 
( ( `' ( x  e.  I  |->  X ) " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  X.  ( `' ( y  e.  J  |->  Y ) "
( _V  \  {  .0.  } ) ) ) )  <->  ( z  e.  ( ( I  \ 
( `' ( x  e.  I  |->  X )
" ( _V  \  {  .0.  } ) ) )  X.  J )  \/  z  e.  ( I  X.  ( J 
\  ( `' ( y  e.  J  |->  Y ) " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) ) ) ) )
5030, 32fmptd 5700 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  I  |->  X ) : I --> B )
51 xp1st 6165 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  ( ( I 
\  ( `' ( x  e.  I  |->  X ) " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) )  X.  J )  ->  ( 1st `  z )  e.  ( I  \  ( `' ( x  e.  I  |->  X ) "
( _V  \  {  .0.  } ) ) ) )
52 id 19 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  I  |->  X ) : I --> B  -> 
( x  e.  I  |->  X ) : I --> B )
53 ssid 3210 . . . . . . . . . 10  |-  ( `' ( x  e.  I  |->  X ) " ( _V  \  {  .0.  }
) )  C_  ( `' ( x  e.  I  |->  X ) "
( _V  \  {  .0.  } ) )
5453a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  I  |->  X ) : I --> B  -> 
( `' ( x  e.  I  |->  X )
" ( _V  \  {  .0.  } ) ) 
C_  ( `' ( x  e.  I  |->  X ) " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) )
5552, 54suppssr 5675 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) : I --> B  /\  ( 1st `  z )  e.  ( I  \  ( `' ( x  e.  I  |->  X ) " ( _V  \  {  .0.  }
) ) ) )  ->  ( ( x  e.  I  |->  X ) `
 ( 1st `  z
) )  =  .0.  )
5650, 51, 55syl2an 463 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( I  \ 
( `' ( x  e.  I  |->  X )
" ( _V  \  {  .0.  } ) ) )  X.  J ) )  ->  ( (
x  e.  I  |->  X ) `  ( 1st `  z ) )  =  .0.  )
5756oveq1d 5889 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( I  \ 
( `' ( x  e.  I  |->  X )
" ( _V  \  {  .0.  } ) ) )  X.  J ) )  ->  ( (
( x  e.  I  |->  X ) `  ( 1st `  z ) ) 
.x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `
 ( 2nd `  z
) ) )  =  (  .0.  .x.  (
( y  e.  J  |->  Y ) `  ( 2nd `  z ) ) ) )
58 evlslem4.r . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
5958adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( I  \ 
( `' ( x  e.  I  |->  X )
" ( _V  \  {  .0.  } ) ) )  X.  J ) )  ->  R  e.  Ring )
6036, 38fmptd 5700 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( y  e.  J  |->  Y ) : J --> B )
61 xp2nd 6166 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  ( ( I 
\  ( `' ( x  e.  I  |->  X ) " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) )  X.  J )  ->  ( 2nd `  z )  e.  J )
62 ffvelrn 5679 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  e.  J  |->  Y ) : J --> B  /\  ( 2nd `  z
)  e.  J )  ->  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `
 ( 2nd `  z
) )  e.  B
)
6360, 61, 62syl2an 463 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( I  \ 
( `' ( x  e.  I  |->  X )
" ( _V  \  {  .0.  } ) ) )  X.  J ) )  ->  ( (
y  e.  J  |->  Y ) `  ( 2nd `  z ) )  e.  B )
64 evlslem4.b . . . . . . . 8  |-  B  =  ( Base `  R
)
65 evlslem4.t . . . . . . . 8  |-  .x.  =  ( .r `  R )
66 evlslem4.z . . . . . . . 8  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
6764, 65, 66rnglz 15393 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
( y  e.  J  |->  Y ) `  ( 2nd `  z ) )  e.  B )  -> 
(  .0.  .x.  (
( y  e.  J  |->  Y ) `  ( 2nd `  z ) ) )  =  .0.  )
6859, 63, 67syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( I  \ 
( `' ( x  e.  I  |->  X )
" ( _V  \  {  .0.  } ) ) )  X.  J ) )  ->  (  .0.  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  ( 2nd `  z ) ) )  =  .0.  )
6957, 68eqtrd 2328 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( I  \ 
( `' ( x  e.  I  |->  X )
" ( _V  \  {  .0.  } ) ) )  X.  J ) )  ->  ( (
( x  e.  I  |->  X ) `  ( 1st `  z ) ) 
.x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `
 ( 2nd `  z
) ) )  =  .0.  )
70 xp2nd 6166 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  ( I  X.  ( J  \  ( `' ( y  e.  J  |->  Y ) "
( _V  \  {  .0.  } ) ) ) )  ->  ( 2nd `  z )  e.  ( J  \  ( `' ( y  e.  J  |->  Y ) " ( _V  \  {  .0.  }
) ) ) )
71 id 19 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  J  |->  Y ) : J --> B  -> 
( y  e.  J  |->  Y ) : J --> B )
72 ssid 3210 . . . . . . . . . 10  |-  ( `' ( y  e.  J  |->  Y ) " ( _V  \  {  .0.  }
) )  C_  ( `' ( y  e.  J  |->  Y ) "
( _V  \  {  .0.  } ) )
7372a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  J  |->  Y ) : J --> B  -> 
( `' ( y  e.  J  |->  Y )
" ( _V  \  {  .0.  } ) ) 
C_  ( `' ( y  e.  J  |->  Y ) " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) )
7471, 73suppssr 5675 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  e.  J  |->  Y ) : J --> B  /\  ( 2nd `  z
)  e.  ( J 
\  ( `' ( y  e.  J  |->  Y ) " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) ) )  ->  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `
 ( 2nd `  z
) )  =  .0.  )
7560, 70, 74syl2an 463 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( I  X.  ( J  \  ( `' ( y  e.  J  |->  Y ) " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) ) ) )  ->  ( (
y  e.  J  |->  Y ) `  ( 2nd `  z ) )  =  .0.  )
7675oveq2d 5890 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( I  X.  ( J  \  ( `' ( y  e.  J  |->  Y ) " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) ) ) )  ->  ( (
( x  e.  I  |->  X ) `  ( 1st `  z ) ) 
.x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `
 ( 2nd `  z
) ) )  =  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `
 ( 1st `  z
) )  .x.  .0.  ) )
7758adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( I  X.  ( J  \  ( `' ( y  e.  J  |->  Y ) " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) ) ) )  ->  R  e.  Ring )
78 xp1st 6165 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  ( I  X.  ( J  \  ( `' ( y  e.  J  |->  Y ) "
( _V  \  {  .0.  } ) ) ) )  ->  ( 1st `  z )  e.  I
)
79 ffvelrn 5679 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) : I --> B  /\  ( 1st `  z )  e.  I
)  ->  ( (
x  e.  I  |->  X ) `  ( 1st `  z ) )  e.  B )
8050, 78, 79syl2an 463 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( I  X.  ( J  \  ( `' ( y  e.  J  |->  Y ) " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) ) ) )  ->  ( (
x  e.  I  |->  X ) `  ( 1st `  z ) )  e.  B )
8164, 65, 66rngrz 15394 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
( x  e.  I  |->  X ) `  ( 1st `  z ) )  e.  B )  -> 
( ( ( x  e.  I  |->  X ) `
 ( 1st `  z
) )  .x.  .0.  )  =  .0.  )
8277, 80, 81syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( I  X.  ( J  \  ( `' ( y  e.  J  |->  Y ) " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) ) ) )  ->  ( (
( x  e.  I  |->  X ) `  ( 1st `  z ) ) 
.x.  .0.  )  =  .0.  )
8376, 82eqtrd 2328 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( I  X.  ( J  \  ( `' ( y  e.  J  |->  Y ) " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) ) ) )  ->  ( (
( x  e.  I  |->  X ) `  ( 1st `  z ) ) 
.x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `
 ( 2nd `  z
) ) )  =  .0.  )
8469, 83jaodan 760 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( ( I  \ 
( `' ( x  e.  I  |->  X )
" ( _V  \  {  .0.  } ) ) )  X.  J )  \/  z  e.  ( I  X.  ( J 
\  ( `' ( y  e.  J  |->  Y ) " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) ) ) ) )  ->  (
( ( x  e.  I  |->  X ) `  ( 1st `  z ) )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  ( 2nd `  z ) ) )  =  .0.  )
8549, 84sylan2b 461 . . 3  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( I  X.  J )  \  (
( `' ( x  e.  I  |->  X )
" ( _V  \  {  .0.  } ) )  X.  ( `' ( y  e.  J  |->  Y ) " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) ) ) )  ->  ( (
( x  e.  I  |->  X ) `  ( 1st `  z ) ) 
.x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `
 ( 2nd `  z
) ) )  =  .0.  )
8685suppss2 6089 . 2  |-  ( ph  ->  ( `' ( z  e.  ( I  X.  J )  |->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `  ( 1st `  z ) ) 
.x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `
 ( 2nd `  z
) ) ) )
" ( _V  \  {  .0.  } ) ) 
C_  ( ( `' ( x  e.  I  |->  X ) " ( _V  \  {  .0.  }
) )  X.  ( `' ( y  e.  J  |->  Y ) "
( _V  \  {  .0.  } ) ) ) )
8745, 86eqsstrd 3225 1  |-  ( ph  ->  ( `' ( x  e.  I ,  y  e.  J  |->  ( X 
.x.  Y ) )
" ( _V  \  {  .0.  } ) ) 
C_  ( ( `' ( x  e.  I  |->  X ) " ( _V  \  {  .0.  }
) )  X.  ( `' ( y  e.  J  |->  Y ) "
( _V  \  {  .0.  } ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 357    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   _Vcvv 2801    \ cdif 3162    u. cun 3163    C_ wss 3165   {csn 3653   <.cop 3656    e. cmpt 4093    X. cxp 4703   `'ccnv 4704   "cima 4708   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    e. cmpt2 5876   1stc1st 6136   2ndc2nd 6137   Basecbs 13164   .rcmulr 13225   0gc0g 13416   Ringcrg 15353
This theorem is referenced by:  evlslem2  16265
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-plusg 13237  df-0g 13420  df-mnd 14383  df-grp 14505  df-minusg 14506  df-mgp 15342  df-rng 15356
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