Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  evlslem4 Structured version   Unicode version

Theorem evlslem4 16566
 Description: The support of a tensor product of ring element families is contained in the product of the supports. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
evlslem4.b
evlslem4.z
evlslem4.t
evlslem4.r
evlslem4.x
evlslem4.y
Assertion
Ref Expression
evlslem4
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,   ,,   , ,   ,
Allowed substitution hints:   (,)   ()   ()   (,)

Proof of Theorem evlslem4
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfcv 2574 . . . . . . 7
2 nfcv 2574 . . . . . . 7
3 nffvmpt1 5738 . . . . . . . 8
4 nfcv 2574 . . . . . . . 8
5 nfcv 2574 . . . . . . . 8
63, 4, 5nfov 6106 . . . . . . 7
7 nfcv 2574 . . . . . . . 8
8 nfcv 2574 . . . . . . . 8
9 nffvmpt1 5738 . . . . . . . 8
107, 8, 9nfov 6106 . . . . . . 7
11 fveq2 5730 . . . . . . . 8
12 fveq2 5730 . . . . . . . 8
1311, 12oveqan12d 6102 . . . . . . 7
141, 2, 6, 10, 13cbvmpt2 6153 . . . . . 6
15 vex 2961 . . . . . . . . 9
16 vex 2961 . . . . . . . . 9
1715, 16eqop2 6392 . . . . . . . 8
18 fveq2 5730 . . . . . . . . . 10
19 fveq2 5730 . . . . . . . . . 10
2018, 19oveqan12d 6102 . . . . . . . . 9
2120adantl 454 . . . . . . . 8
2217, 21sylbi 189 . . . . . . 7
2322mpt2mpt 6167 . . . . . 6
2414, 23eqtr4i 2461 . . . . 5
25 simp2 959 . . . . . . . 8
26 evlslem4.x . . . . . . . . 9
27263adant3 978 . . . . . . . 8
28 eqid 2438 . . . . . . . . 9
2928fvmpt2 5814 . . . . . . . 8
3025, 27, 29syl2anc 644 . . . . . . 7
31 simp3 960 . . . . . . . 8
32 evlslem4.y . . . . . . . . 9
33323adant2 977 . . . . . . . 8
34 eqid 2438 . . . . . . . . 9
3534fvmpt2 5814 . . . . . . . 8
3631, 33, 35syl2anc 644 . . . . . . 7
3730, 36oveq12d 6101 . . . . . 6
3837mpt2eq3dva 6140 . . . . 5
3924, 38syl5reqr 2485 . . . 4
4039cnveqd 5050 . . 3
4140imaeq1d 5204 . 2
42 difxp 6382 . . . . . 6
4342eleq2i 2502 . . . . 5
44 elun 3490 . . . . 5
4543, 44bitri 242 . . . 4
4626, 28fmptd 5895 . . . . . . . 8
47 xp1st 6378 . . . . . . . 8
48 id 21 . . . . . . . . 9
49 ssid 3369 . . . . . . . . . 10
5049a1i 11 . . . . . . . . 9
5148, 50suppssr 5866 . . . . . . . 8
5246, 47, 51syl2an 465 . . . . . . 7
5352oveq1d 6098 . . . . . 6
54 evlslem4.r . . . . . . . 8
5554adantr 453 . . . . . . 7
5632, 34fmptd 5895 . . . . . . . 8
57 xp2nd 6379 . . . . . . . 8
58 ffvelrn 5870 . . . . . . . 8
5956, 57, 58syl2an 465 . . . . . . 7
60 evlslem4.b . . . . . . . 8
61 evlslem4.t . . . . . . . 8
62 evlslem4.z . . . . . . . 8
6360, 61, 62rnglz 15702 . . . . . . 7
6455, 59, 63syl2anc 644 . . . . . 6
6553, 64eqtrd 2470 . . . . 5
66 xp2nd 6379 . . . . . . . 8
67 id 21 . . . . . . . . 9
68 ssid 3369 . . . . . . . . . 10
6968a1i 11 . . . . . . . . 9
7067, 69suppssr 5866 . . . . . . . 8
7156, 66, 70syl2an 465 . . . . . . 7
7271oveq2d 6099 . . . . . 6
7354adantr 453 . . . . . . 7
74 xp1st 6378 . . . . . . . 8
75 ffvelrn 5870 . . . . . . . 8
7646, 74, 75syl2an 465 . . . . . . 7
7760, 61, 62rngrz 15703 . . . . . . 7
7873, 76, 77syl2anc 644 . . . . . 6
7972, 78eqtrd 2470 . . . . 5
8065, 79jaodan 762 . . . 4
8145, 80sylan2b 463 . . 3
8281suppss2 6302 . 2
8341, 82eqsstrd 3384 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wo 359   wa 360   w3a 937   wceq 1653   wcel 1726  cvv 2958   cdif 3319   cun 3320   wss 3322  csn 3816  cop 3819   cmpt 4268   cxp 4878  ccnv 4879  cima 4883  wf 5452  cfv 5456  (class class class)co 6083   cmpt2 6085  c1st 6349  c2nd 6350  cbs 13471  cmulr 13532  c0g 13725  crg 15662 This theorem is referenced by:  evlslem2  16570 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-er 6907  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-nn 10003  df-2 10060  df-ndx 13474  df-slot 13475  df-base 13476  df-sets 13477  df-plusg 13544  df-0g 13729  df-mnd 14692  df-grp 14814  df-minusg 14815  df-mgp 15651  df-rng 15665
 Copyright terms: Public domain W3C validator