MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ex-res Structured version   Unicode version

Theorem ex-res 21741
Description: Example for df-res 4882. Example by David A. Wheeler. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
ex-res  |-  ( ( F  =  { <. 2 ,  6 >. , 
<. 3 ,  9
>. }  /\  B  =  { 1 ,  2 } )  ->  ( F  |`  B )  =  { <. 2 ,  6
>. } )

Proof of Theorem ex-res
StepHypRef Expression
1 simpl 444 . . . . 5  |-  ( ( F  =  { <. 2 ,  6 >. , 
<. 3 ,  9
>. }  /\  B  =  { 1 ,  2 } )  ->  F  =  { <. 2 ,  6
>. ,  <. 3 ,  9 >. } )
2 df-pr 3813 . . . . 5  |-  { <. 2 ,  6 >. , 
<. 3 ,  9
>. }  =  ( {
<. 2 ,  6
>. }  u.  { <. 3 ,  9 >. } )
31, 2syl6eq 2483 . . . 4  |-  ( ( F  =  { <. 2 ,  6 >. , 
<. 3 ,  9
>. }  /\  B  =  { 1 ,  2 } )  ->  F  =  ( { <. 2 ,  6 >. }  u.  { <. 3 ,  9 >. } ) )
43reseq1d 5137 . . 3  |-  ( ( F  =  { <. 2 ,  6 >. , 
<. 3 ,  9
>. }  /\  B  =  { 1 ,  2 } )  ->  ( F  |`  B )  =  ( ( { <. 2 ,  6 >. }  u.  { <. 3 ,  9 >. } )  |`  B ) )
5 resundir 5153 . . 3  |-  ( ( { <. 2 ,  6
>. }  u.  { <. 3 ,  9 >. } )  |`  B )  =  ( ( {
<. 2 ,  6
>. }  |`  B )  u.  ( { <. 3 ,  9 >. }  |`  B ) )
64, 5syl6eq 2483 . 2  |-  ( ( F  =  { <. 2 ,  6 >. , 
<. 3 ,  9
>. }  /\  B  =  { 1 ,  2 } )  ->  ( F  |`  B )  =  ( ( { <. 2 ,  6 >. }  |`  B )  u.  ( { <. 3 ,  9
>. }  |`  B )
) )
7 2re 10061 . . . . . . 7  |-  2  e.  RR
87elexi 2957 . . . . . 6  |-  2  e.  _V
9 6re 10068 . . . . . . 7  |-  6  e.  RR
109elexi 2957 . . . . . 6  |-  6  e.  _V
118, 10relsnop 4972 . . . . 5  |-  Rel  { <. 2 ,  6 >. }
12 dmsnopss 5334 . . . . . 6  |-  dom  { <. 2 ,  6 >. }  C_  { 2 }
13 snsspr2 3940 . . . . . . 7  |-  { 2 }  C_  { 1 ,  2 }
14 simpr 448 . . . . . . 7  |-  ( ( F  =  { <. 2 ,  6 >. , 
<. 3 ,  9
>. }  /\  B  =  { 1 ,  2 } )  ->  B  =  { 1 ,  2 } )
1513, 14syl5sseqr 3389 . . . . . 6  |-  ( ( F  =  { <. 2 ,  6 >. , 
<. 3 ,  9
>. }  /\  B  =  { 1 ,  2 } )  ->  { 2 }  C_  B )
1612, 15syl5ss 3351 . . . . 5  |-  ( ( F  =  { <. 2 ,  6 >. , 
<. 3 ,  9
>. }  /\  B  =  { 1 ,  2 } )  ->  dom  {
<. 2 ,  6
>. }  C_  B )
17 relssres 5175 . . . . 5  |-  ( ( Rel  { <. 2 ,  6 >. }  /\  dom  { <. 2 ,  6
>. }  C_  B )  ->  ( { <. 2 ,  6 >. }  |`  B )  =  { <. 2 ,  6 >. } )
1811, 16, 17sylancr 645 . . . 4  |-  ( ( F  =  { <. 2 ,  6 >. , 
<. 3 ,  9
>. }  /\  B  =  { 1 ,  2 } )  ->  ( { <. 2 ,  6
>. }  |`  B )  =  { <. 2 ,  6
>. } )
19 1re 9082 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR
20 1lt3 10136 . . . . . . . 8  |-  1  <  3
2119, 20gtneii 9177 . . . . . . 7  |-  3  =/=  1
22 2lt3 10135 . . . . . . . 8  |-  2  <  3
237, 22gtneii 9177 . . . . . . 7  |-  3  =/=  2
2421, 23nelpri 3827 . . . . . 6  |-  -.  3  e.  { 1 ,  2 }
2514eleq2d 2502 . . . . . 6  |-  ( ( F  =  { <. 2 ,  6 >. , 
<. 3 ,  9
>. }  /\  B  =  { 1 ,  2 } )  ->  (
3  e.  B  <->  3  e.  { 1 ,  2 } ) )
2624, 25mtbiri 295 . . . . 5  |-  ( ( F  =  { <. 2 ,  6 >. , 
<. 3 ,  9
>. }  /\  B  =  { 1 ,  2 } )  ->  -.  3  e.  B )
27 ressnop0 5905 . . . . 5  |-  ( -.  3  e.  B  -> 
( { <. 3 ,  9 >. }  |`  B )  =  (/) )
2826, 27syl 16 . . . 4  |-  ( ( F  =  { <. 2 ,  6 >. , 
<. 3 ,  9
>. }  /\  B  =  { 1 ,  2 } )  ->  ( { <. 3 ,  9
>. }  |`  B )  =  (/) )
2918, 28uneq12d 3494 . . 3  |-  ( ( F  =  { <. 2 ,  6 >. , 
<. 3 ,  9
>. }  /\  B  =  { 1 ,  2 } )  ->  (
( { <. 2 ,  6 >. }  |`  B )  u.  ( { <. 3 ,  9 >. }  |`  B ) )  =  ( { <. 2 ,  6 >. }  u.  (/) ) )
30 un0 3644 . . 3  |-  ( {
<. 2 ,  6
>. }  u.  (/) )  =  { <. 2 ,  6
>. }
3129, 30syl6eq 2483 . 2  |-  ( ( F  =  { <. 2 ,  6 >. , 
<. 3 ,  9
>. }  /\  B  =  { 1 ,  2 } )  ->  (
( { <. 2 ,  6 >. }  |`  B )  u.  ( { <. 3 ,  9 >. }  |`  B ) )  =  { <. 2 ,  6
>. } )
326, 31eqtrd 2467 1  |-  ( ( F  =  { <. 2 ,  6 >. , 
<. 3 ,  9
>. }  /\  B  =  { 1 ,  2 } )  ->  ( F  |`  B )  =  { <. 2 ,  6
>. } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    u. cun 3310    C_ wss 3312   (/)c0 3620   {csn 3806   {cpr 3807   <.cop 3809   dom cdm 4870    |` cres 4872   Rel wrel 4875   RRcr 8981   1c1 8983   2c2 10041   3c3 10042   6c6 10045   9c9 10048
This theorem is referenced by:  ex-ima  21742
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-riota 6541  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-5 10053  df-6 10054
  Copyright terms: Public domain W3C validator