MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ex-rn Unicode version

Theorem ex-rn 20933
Description: Example for df-rn 4779. Example by David A. Wheeler. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
ex-rn  |-  ( F  =  { <. 2 ,  6 >. ,  <. 3 ,  9 >. }  ->  ran  F  =  { 6 ,  9 } )

Proof of Theorem ex-rn
StepHypRef Expression
1 rneq 4983 . 2  |-  ( F  =  { <. 2 ,  6 >. ,  <. 3 ,  9 >. }  ->  ran  F  =  ran  { <. 2 ,  6
>. ,  <. 3 ,  9 >. } )
2 df-pr 3723 . . . 4  |-  { <. 2 ,  6 >. , 
<. 3 ,  9
>. }  =  ( {
<. 2 ,  6
>. }  u.  { <. 3 ,  9 >. } )
32rneqi 4984 . . 3  |-  ran  { <. 2 ,  6 >. ,  <. 3 ,  9
>. }  =  ran  ( { <. 2 ,  6
>. }  u.  { <. 3 ,  9 >. } )
4 rnun 5168 . . 3  |-  ran  ( { <. 2 ,  6
>. }  u.  { <. 3 ,  9 >. } )  =  ( ran 
{ <. 2 ,  6
>. }  u.  ran  { <. 3 ,  9 >. } )
5 2nn 9966 . . . . . . 7  |-  2  e.  NN
65elexi 2873 . . . . . 6  |-  2  e.  _V
76rnsnop 5232 . . . . 5  |-  ran  { <. 2 ,  6 >. }  =  { 6 }
8 3nn 9967 . . . . . . 7  |-  3  e.  NN
98elexi 2873 . . . . . 6  |-  3  e.  _V
109rnsnop 5232 . . . . 5  |-  ran  { <. 3 ,  9 >. }  =  { 9 }
117, 10uneq12i 3403 . . . 4  |-  ( ran 
{ <. 2 ,  6
>. }  u.  ran  { <. 3 ,  9 >. } )  =  ( { 6 }  u.  { 9 } )
12 df-pr 3723 . . . 4  |-  { 6 ,  9 }  =  ( { 6 }  u.  { 9 } )
1311, 12eqtr4i 2381 . . 3  |-  ( ran 
{ <. 2 ,  6
>. }  u.  ran  { <. 3 ,  9 >. } )  =  {
6 ,  9 }
143, 4, 133eqtri 2382 . 2  |-  ran  { <. 2 ,  6 >. ,  <. 3 ,  9
>. }  =  { 6 ,  9 }
151, 14syl6eq 2406 1  |-  ( F  =  { <. 2 ,  6 >. ,  <. 3 ,  9 >. }  ->  ran  F  =  { 6 ,  9 } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1642    u. cun 3226   {csn 3716   {cpr 3717   <.cop 3719   ran crn 4769   NNcn 9833   2c2 9882   3c3 9883   6c6 9886   9c9 9889
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-sep 4220  ax-nul 4228  ax-pow 4267  ax-pr 4293  ax-un 4591  ax-1cn 8882
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3907  df-iun 3986  df-br 4103  df-opab 4157  df-mpt 4158  df-tr 4193  df-eprel 4384  df-id 4388  df-po 4393  df-so 4394  df-fr 4431  df-we 4433  df-ord 4474  df-on 4475  df-lim 4476  df-suc 4477  df-om 4736  df-xp 4774  df-rel 4775  df-cnv 4776  df-co 4777  df-dm 4778  df-rn 4779  df-res 4780  df-ima 4781  df-iota 5298  df-fun 5336  df-fn 5337  df-f 5338  df-f1 5339  df-fo 5340  df-f1o 5341  df-fv 5342  df-ov 5945  df-recs 6472  df-rdg 6507  df-nn 9834  df-2 9891  df-3 9892
  Copyright terms: Public domain W3C validator