Theorem expcllem 6770

Description: Lemma for proving nonnegative integer exponentiation closure laws.

Hypotheses

Ref	Expression
expcllem.1	|- F (_ CC
expcllem.2	|- ((x e. F /\ y e. F) -> (x x. y) e. F)
expcllem.3	|- 1 e. F

Assertion

Ref	Expression
expcllem	|- ((A e. F /\ B e. NN0) -> (A^B) e. F)

Distinct variable groups:   x,y,A   x,F,y

Proof of Theorem expcllem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opreq2 4027	. . . . . . 7 |- (z = 1 -> (A^z) = (A^1))
2	1	eleq1d 1583	. . . . . 6 |- (z = 1 -> ((A^z) e. F <-> (A^1) e. F))
3	2	imbi2d 615	. . . . 5 |- (z = 1 -> ((A e. F -> (A^z) e. F) <-> (A e. F -> (A^1) e. F)))
4		opreq2 4027	. . . . . . 7 |- (z = w -> (A^z) = (A^w))
5	4	eleq1d 1583	. . . . . 6 |- (z = w -> ((A^z) e. F <-> (A^w) e. F))
6	5	imbi2d 615	. . . . 5 |- (z = w -> ((A e. F -> (A^z) e. F) <-> (A e. F -> (A^w) e. F)))
7		opreq2 4027	. . . . . . 7 |- (z = (w + 1) -> (A^z) = (A^(w + 1)))
8	7	eleq1d 1583	. . . . . 6 |- (z = (w + 1) -> ((A^z) e. F <-> (A^(w + 1)) e. F))
9	8	imbi2d 615	. . . . 5 |- (z = (w + 1) -> ((A e. F -> (A^z) e. F) <-> (A e. F -> (A^(w + 1)) e. F)))
10		opreq2 4027	. . . . . . 7 |- (z = B -> (A^z) = (A^B))
11	10	eleq1d 1583	. . . . . 6 |- (z = B -> ((A^z) e. F <-> (A^B) e. F))
12	11	imbi2d 615	. . . . 5 |- (z = B -> ((A e. F -> (A^z) e. F) <-> (A e. F -> (A^B) e. F)))
13		expcllem.1	. . . . . . . . 9 |- F (_ CC
14	13	sseli 2117	. . . . . . . 8 |- (A e. F -> A e. CC)
15		exp1 6768	. . . . . . . 8 |- (A e. CC -> (A^1) = A)
16	14, 15	syl 10	. . . . . . 7 |- (A e. F -> (A^1) = A)
17	16	eleq1d 1583	. . . . . 6 |- (A e. F -> ((A^1) e. F <-> A e. F))
18	17	ibir 596	. . . . 5 |- (A e. F -> (A^1) e. F)
19		opreq1 4026	. . . . . . . . . . . . 13 |- (x = (A^w) -> (x x. y) = ((A^w) x. y))
20	19	eleq1d 1583	. . . . . . . . . . . 12 |- (x = (A^w) -> ((x x. y) e. F <-> ((A^w) x. y) e. F))
21		opreq2 4027	. . . . . . . . . . . . 13 |- (y = A -> ((A^w) x. y) = ((A^w) x. A))
22	21	eleq1d 1583	. . . . . . . . . . . 12 |- (y = A -> (((A^w) x. y) e. F <-> ((A^w) x. A) e. F))
23		expcllem.2	. . . . . . . . . . . 12 |- ((x e. F /\ y e. F) -> (x x. y) e. F)
24	20, 22, 23	vtocl2ga 1899	. . . . . . . . . . 11 |- (((A^w) e. F /\ A e. F) -> ((A^w) x. A) e. F)
25	24	ancoms 438	. . . . . . . . . 10 |- ((A e. F /\ (A^w) e. F) -> ((A^w) x. A) e. F)
26	25	adantlr 393	. . . . . . . . 9 |- (((A e. F /\ w e. NN) /\ (A^w) e. F) -> ((A^w) x. A) e. F)
27		expp1 6769	. . . . . . . . . . . 12 |- ((A e. CC /\ w e. NN0) -> (A^(w + 1)) = ((A^w) x. A))
28		nnnn0 6274	. . . . . . . . . . . 12 |- (w e. NN -> w e. NN0)
29	27, 14, 28	syl2an 456	. . . . . . . . . . 11 |- ((A e. F /\ w e. NN) -> (A^(w + 1)) = ((A^w) x. A))
30	29	eleq1d 1583	. . . . . . . . . 10 |- ((A e. F /\ w e. NN) -> ((A^(w + 1)) e. F <-> ((A^w) x. A) e. F))
31	30	adantr 389	. . . . . . . . 9 |- (((A e. F /\ w e. NN) /\ (A^w) e. F) -> ((A^(w + 1)) e. F <-> ((A^w) x. A) e. F))
32	26, 31	mpbird 194	. . . . . . . 8 |- (((A e. F /\ w e. NN) /\ (A^w) e. F) -> (A^(w + 1)) e. F)
33	32	exp31 376	. . . . . . 7 |- (A e. F -> (w e. NN -> ((A^w) e. F -> (A^(w + 1)) e. F)))
34	33	com12 11	. . . . . 6 |- (w e. NN -> (A e. F -> ((A^w) e. F -> (A^(w + 1)) e. F)))
35	34	a2d 13	. . . . 5 |- (w e. NN -> ((A e. F -> (A^w) e. F) -> (A e. F -> (A^(w + 1)) e. F)))
36	3, 6, 9, 12, 18, 35	nnind 6082	. . . 4 |- (B e. NN -> (A e. F -> (A^B) e. F))
37	36	impcom 349	. . 3 |- ((A e. F /\ B e. NN) -> (A^B) e. F)
38		opreq2 4027	. . . . 5 |- (B = 0 -> (A^B) = (A^0))
39		exp0 6766	. . . . . 6 |- (A e. CC -> (A^0) = 1)
40	14, 39	syl 10	. . . . 5 |- (A e. F -> (A^0) = 1)
41	38, 40	sylan9eqr 1572	. . . 4 |- ((A e. F /\ B = 0) -> (A^B) = 1)
42		expcllem.3	. . . 4 |- 1 e. F
43	41, 42	syl6eqel 1599	. . 3 |- ((A e. F /\ B = 0) -> (A^B) e. F)
44	37, 43	jaodan 426	. 2 |- ((A e. F /\ (B e. NN \/ B = 0)) -> (A^B) e. F)
45		elnn0 6269	. 2 |- (B e. NN0 <-> (B e. NN \/ B = 0))
46	44, 45	sylan2b 454	1 |- ((A e. F /\ B e. NN0) -> (A^B) e. F)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 144   \/ wo 220   /\ wa 221   = wceq 992   e. wcel 994   (_ wss 2099  (class class class)co 4021  CCcc 5386  0cc0 5388  1c1 5389   + caddc 5391   x. cmul 5393  NNcn 5450  NN0cn0 5451  ^cexp 6763

This theorem is referenced by:  nnexpcl 6771  nn0expcl 6772  zexpcl 6773  qexpcl 6774  reexpcl 6775  expcl 6776  rpexpcl 6777

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 998  ax-gen 999  ax-8 1000  ax-9 1001  ax-10 1002  ax-11 1003  ax-12 1004  ax-13 1005  ax-14 1006  ax-17 1007  ax-4 1009  ax-5o 1011  ax-6o 1014  ax-9o 1159  ax-10o 1177  ax-16 1247  ax-11o 1255  ax-ext 1500  ax-rep 2767  ax-sep 2777  ax-nul 2784  ax-pow 2818  ax-pr 2855  ax-un 3089  ax-inf2 4770

This theorem depends on definitions:  df-bi 145  df-or 222  df-an 223  df-3or 782  df-3an 783  df-ex 1017  df-sb 1209  df-eu 1421  df-mo 1422  df-clab 1506  df-cleq 1511  df-clel 1514  df-ne 1630  df-nel 1631  df-ral 1695  df-rex 1696  df-reu 1697  df-rab 1698  df-v 1858  df-sbc 1987  df-csb 2052  df-dif 2101  df-un 2102  df-in 2103  df-ss 2105  df-pss 2107  df-nul 2333  df-if 2416  df-pw 2459  df-sn 2470  df-pr 2471  df-tp 2473  df-op 2474  df-uni 2570  df-int 2601  df-iun 2635  df-br 2693  df-opab 2741  df-tr 2755  df-eprel 2910  df-id 2913  df-po 2918  df-so 2929  df-fr 2947  df-we 2962  df-ord 2978  df-on 2979  df-lim 2980  df-suc 2981  df-om 3219  df-xp 3265  df-rel 3266  df-cnv 3267  df-co 3268  df-dm 3269  df-rn 3270  df-res 3271  df-ima 3272  df-fun 3273  df-fn 3274  df-f 3275  df-f1 3276  df-fo 3277  df-f1o 3278  df-fv 3279  df-opr 4023  df-oprab 4024  df-1st 4140  df-2nd 4141  df-rdg 4233  df-1o 4269  df-oadd 4271  df-omul 4272  df-er 4401  df-ec 4403  df-qs 4406  df-en 4509  df-dom 4510  df-sdom 4511  df-ni 5154  df-pli 5155  df-mi 5156  df-lti 5157  df-plpq 5189  df-mpq 5190  df-enq 5191  df-nq 5192  df-plq 5193  df-mq 5194  df-rq 5195  df-ltq 5196  df-1q 5197  df-np 5240  df-1p 5241  df-plp 5242  df-mp 5243  df-ltp 5244  df-plpr 5318  df-mpr 5319  df-enr 5320  df-nr 5321  df-plr 5322  df-mr 5323  df-ltr 5324  df-0r 5325  df-1r 5326  df-m1r 5327  df-c 5394  df-0 5395  df-1 5396  df-i 5397  df-r 5398  df-plus 5399  df-mul 5400  df-lt 5401  df-sub 5510  df-neg 5512  df-pnf 5641  df-mnf 5642  df-xr 5643  df-ltxr 5644  df-le 5645  df-n 6070  df-n0 6268  df-z 6304  df-seq1 6673  df-exp 6764

Copyright terms: Public domain