HomeHome Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version

Theorem expcnv 9414
Description: A sequence of powers of a complex number A with absolute value smaller than 1 converges to zero.
Hypothesis
Ref Expression
expcnv.1 |- F e. _V
Assertion
Ref Expression
expcnv |- ((A e. CC /\ A.k e. NN (F` k) = (A^k) /\ (abs` A) < 1) -> F ~~> 0)
Distinct variable groups:   A,k   k,F

Proof of Theorem expcnv
StepHypRef Expression
1 abscl 8966 . . . . . . . . . 10 |- (A e. CC -> (abs` A) e. RR)
21adantr 505 . . . . . . . . 9 |- ((A e. CC /\ (abs` A) < 1) -> (abs`
A) e. RR)
3 absge0 8987 . . . . . . . . . 10 |- (A e. CC -> 0 <_ (abs` A))
43adantr 505 . . . . . . . . 9 |- ((A e. CC /\ (abs` A) < 1) -> 0 <_ (abs` A))
5 simpr 500 . . . . . . . . 9 |- ((A e. CC /\ (abs` A) < 1) -> (abs`
A) < 1)
62, 4, 53jca 1210 . . . . . . . 8 |- ((A e. CC /\ (abs` A) < 1) -> ((abs` A) e. RR /\ 0 <_ (abs` A) /\ (abs` A) < 1))
7 expcnvlem6 9413 . . . . . . . 8 |- ((((abs`
A) e. RR /\ 0 <_ (abs` A) /\ (abs` A) < 1) /\ (x e. RR /\ 0 < x)) -> E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> ((abs` A)^k) < x))
86, 7sylan 512 . . . . . . 7 |- (((A e. CC /\ (abs`
A) < 1) /\ (x e. RR /\ 0 < x)) -> E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> ((abs` A)^k) < x))
98adantllr 797 . . . . . 6 |- ((((A e. CC /\ A.k e. NN (F` k) = (A^k)) /\ (abs` A) < 1) /\ (x e. RR /\ 0 < x)) -> E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> ((abs` A)^k) < x))
10 fveq2 4799 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((F` k) = (A^k) -> (abs` (F` k)) = (abs` (A^k)))
11 nnnn0 7995 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (k e. NN -> k e. NN0)
12 absexp 9001 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((A e. CC /\ k e. NN0) -> (abs` (A^k)) = ((abs` A)^k))
1311, 12sylan2 515 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((A e. CC /\ k e. NN) -> (abs`
(A^k)) = ((abs` A)^k))
1410, 13sylan9eqr 2133 . . . . . . . . . . . . . 14 |- (((A e. CC /\ k e. NN) /\ (F` k) = (A^k)) -> (abs` (F` k)) = ((abs` A)^k))
1514breq1d 3502 . . . . . . . . . . . . 13 |- (((A e. CC /\ k e. NN) /\ (F` k) = (A^k)) -> ((abs` (F` k)) < x <-> ((abs` A)^k) < x))
1615imbi2d 353 . . . . . . . . . . . 12 |- (((A e. CC /\ k e. NN) /\ (F` k) = (A^k)) -> ((j <_ k -> (abs` (F` k)) < x) <-> (j <_ k -> ((abs` A)^k) < x)))
1716ex 479 . . . . . . . . . . 11 |- ((A e. CC /\ k e. NN) -> ((F` k) = (A^k) -> ((j <_ k -> (abs` (F` k)) < x) <-> (j <_ k -> ((abs` A)^k) < x))))
1817ralimdva 2359 . . . . . . . . . 10 |- (A e. CC -> (A.k e. NN (F` k) = (A^k) -> A.k e. NN ((j <_ k -> (abs`
(F` k)) < x) <-> (j <_ k -> ((abs` A)^k) < x))))
1918imp 474 . . . . . . . . 9 |- ((A e. CC /\ A.k e. NN (F` k) = (A^k)) -> A.k e. NN ((j <_ k -> (abs` (F` k)) < x) <-> (j <_ k -> ((abs` A)^k) < x)))
20 ralbi 2410 . . . . . . . . 9 |- (A.k e. NN ((j <_ k -> (abs`
(F` k)) < x) <-> (j <_ k -> ((abs` A)^k) < x)) -> (A.k e. NN (j <_ k -> (abs`
(F` k)) < x) <-> A.k e. NN (j <_ k -> ((abs` A)^k) < x)))
2119, 20syl 13 . . . . . . . 8 |- ((A e. CC /\ A.k e. NN (F` k) = (A^k)) -> (A.k e. NN (j <_ k -> (abs` (F` k)) < x) <-> A.k e. NN (j <_ k -> ((abs` A)^k) < x)))
2221rexbidv 2312 . . . . . . 7 |- ((A e. CC /\ A.k e. NN (F` k) = (A^k)) -> (E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> (abs` (F` k)) < x) <-> E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> ((abs` A)^k) < x)))
2322ad2antrr 804 . . . . . 6 |- ((((A e. CC /\ A.k e. NN (F` k) = (A^k)) /\ (abs` A) < 1) /\ (x e. RR /\ 0 < x)) -> (E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> (abs` (F` k)) < x) <-> E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> ((abs` A)^k) < x)))
249, 23mpbird 263 . . . . 5 |- ((((A e. CC /\ A.k e. NN (F` k) = (A^k)) /\ (abs` A) < 1) /\ (x e. RR /\ 0 < x)) -> E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> (abs` (F` k)) < x))
2524exp32 658 . . . 4 |- (((A e. CC /\ A.k e. NN (F` k) = (A^k)) /\ (abs` A) < 1) -> (x e. RR -> (0 < x -> E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> (abs` (F` k)) < x))))
26253impa 1222 . . 3 |- ((A e. CC /\ A.k e. NN (F` k) = (A^k) /\ (abs` A) < 1) -> (x e. RR -> (0 < x -> E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> (abs` (F` k)) < x))))
2726ralrimiv 2363 . 2 |- ((A e. CC /\ A.k e. NN (F` k) = (A^k) /\ (abs` A) < 1) -> A.x e. RR (0 < x -> E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> (abs` (F` k)) < x)))
28 expcl 8717 . . . . . . . 8 |- ((A e. CC /\ k e. NN0) -> (A^k) e. CC)
2911, 28sylan2 515 . . . . . . 7 |- ((A e. CC /\ k e. NN) -> (A^k) e. CC)
30 eleq1 2138 . . . . . . 7 |- ((F` k) = (A^k) -> ((F` k) e. CC <-> (A^k) e. CC))
3129, 30syl5ibrcom 249 . . . . . 6 |- ((A e. CC /\ k e. NN) -> ((F` k) = (A^k) -> (F` k) e. CC))
3231ralimdva 2359 . . . . 5 |- (A e. CC -> (A.k e. NN (F` k) = (A^k) -> A.k e. NN (F` k) e. CC))
3332imp 474 . . . 4 |- ((A e. CC /\ A.k e. NN (F` k) = (A^k)) -> A.k e. NN (F` k) e. CC)
34 1z 8053 . . . . 5 |- 1 e. ZZ
35 nnuz 8158 . . . . . 6 |- NN = (ZZ>=` 1)
3635eqimss2i 2858 . . . . 5 |- (ZZ>=` 1) C_ NN
37 nnssz 8043 . . . . 5 |- NN C_ ZZ
38 expcnv.1 . . . . 5 |- F e. _V
3934, 36, 37, 34, 36, 37, 38clm0i 9261 . . . 4 |- (A.k e. NN (F` k) e. CC -> (F ~~> 0 <-> A.x e. RR (0 < x -> E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> (abs` (F` k)) < x))))
4033, 39syl 13 . . 3 |- ((A e. CC /\ A.k e. NN (F` k) = (A^k)) -> (F ~~> 0 <-> A.x e. RR (0 < x -> E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> (abs` (F` k)) < x))))
41403adant3 1056 . 2 |- ((A e. CC /\ A.k e. NN (F` k) = (A^k) /\ (abs` A) < 1) -> (F ~~> 0 <-> A.x e. RR (0 < x -> E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> (abs` (F` k)) < x))))
4227, 41mpbird 263 1 |- ((A e. CC /\ A.k e. NN (F` k) = (A^k) /\ (abs` A) < 1) -> F ~~> 0)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 203   /\ wa 412   /\ w3a 1018   = wceq 1573   e. wcel 1575  A.wral 2293  E.wrex 2294  _Vcvv 2482   class class class wbr 3492  ` cfv 4132  (class class class)co 5050  CCcc 7087  RRcr 7088  0cc0 7089  1c1 7090   <_ cle 7197   < clt 7201  NNcn 7314  NN0cn0 7315  ZZ>=cuz 8126  ^cexp 8705  abscabs 8910   ~~> cli 9147
This theorem is referenced by:  explecnv 9415  geolimilem 9417
This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-5 1497  ax-6 1498  ax-7 1499  ax-gen 1500  ax-8 1577  ax-10 1578  ax-11 1579  ax-12 1580  ax-13 1581  ax-14 1582  ax-17 1589  ax-9 1603  ax-4 1609  ax-16 1786  ax-15 1949  ax-ext 2057  ax-rep 3582  ax-sep 3592  ax-nul 3602  ax-pow 3638  ax-pr 3662  ax-un 3930  ax-inf2 6120  ax-resscn 7143  ax-1cn 7144  ax-icn 7145  ax-addcl 7146  ax-addrcl 7147  ax-mulcl 7148  ax-mulrcl 7149  ax-mulcom 7150  ax-addass 7151  ax-mulass 7152  ax-distr 7153  ax-i2m1 7154  ax-1ne0 7155  ax-1rid 7156  ax-rnegex 7157  ax-rrecex 7158  ax-cnre 7159  ax-pre-lttri 7160  ax-pre-lttrn 7161  ax-pre-ltadd 7162  ax-pre-mulgt0 7163  ax-pre-sup 7164
This theorem depends on definitions:  df-bi 204  df-or 413  df-an 414  df-3or 1019  df-3an 1020  df-tru 1449  df-ex 1502  df-sb 1748  df-eu 1975  df-mo 1976  df-clab 2063  df-cleq 2068  df-clel 2071  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2297  df-rex 2298  df-reu 2299  df-rab 2300  df-v 2484  df-sbc 2654  df-csb 2728  df-dif 2787  df-un 2789  df-in 2791  df-ss 2793  df-pss 2795  df-nul 3049  df-if 3149  df-pw 3205  df-sn 3220  df-pr 3221  df-tp 3223  df-op 3224  df-uni 3348  df-int 3382  df-iun 3420  df-br 3493  df-opab 3551  df-tr 3566  df-eprel 3745  df-id 3748  df-po 3753  df-so 3765  df-fr 3783  df-we 3799  df-ord 3815  df-on 3816  df-lim 3817  df-suc 3818  df-om 4087  df-xp 4134  df-rel 4135  df-cnv 4136  df-co 4137  df-dm 4138  df-rn 4139  df-res 4140  df-ima 4141  df-fun 4142  df-fn 4143  df-f 4144  df-f1 4145  df-fo 4146  df-f1o 4147  df-fv 4148  df-opr 5052  df-oprab 5053  df-mpt 5185  df-mpt2 5186  df-1st 5251  df-2nd 5252  df-iota 5357  df-rdg 5443  df-er 5620  df-map 5688  df-en 5735  df-dom 5736  df-sdom 5737  df-riota 5879  df-sup 6042  df-pnf 7202  df-mnf 7203  df-xr 7204  df-ltxr 7205  df-le 7206  df-sub 7330  df-neg 7332  df-div 7547  df-n 7753  df-2 7800  df-3 7801  df-rp 7925  df-n0 7989  df-z 8028  df-uz 8127  df-q 8201  df-fl 8321  df-seq 8571  df-exp 8706  df-cj 8824  df-re 8825  df-im 8826  df-sqr 8911  df-abs 8912  df-clim 9148
Copyright terms: Public domain