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Theorem expcnv 12158
Description: A sequence of powers of a complex number  A with absolute value smaller than 1 converges to zero. (Contributed by NM, 8-May-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 26-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
expcnv.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
expcnv.2  |-  ( ph  ->  ( abs `  A
)  <  1 )
Assertion
Ref Expression
expcnv  |-  ( ph  ->  ( n  e.  NN0  |->  ( A ^ n ) )  ~~>  0 )
Distinct variable group:    A, n
Allowed substitution hint:    ph( n)

Proof of Theorem expcnv
StepHypRef Expression
1 nnuz 10109 . . 3  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2 1z 9899 . . . 4  |-  1  e.  ZZ
32a1i 12 . . 3  |-  ( (
ph  /\  A  = 
0 )  ->  1  e.  ZZ )
4 nn0ex 9817 . . . . 5  |-  NN0  e.  _V
54mptex 5595 . . . 4  |-  ( n  e.  NN0  |->  ( A ^ n ) )  e.  _V
65a1i 12 . . 3  |-  ( (
ph  /\  A  = 
0 )  ->  (
n  e.  NN0  |->  ( A ^ n ) )  e.  _V )
7 0cn 8708 . . . 4  |-  0  e.  CC
87a1i 12 . . 3  |-  ( (
ph  /\  A  = 
0 )  ->  0  e.  CC )
9 nnnn0 9818 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  NN0 )
10 oveq2 5715 . . . . . . 7  |-  ( n  =  k  ->  ( A ^ n )  =  ( A ^ k
) )
11 eqid 2253 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN0  |->  ( A ^ n ) )  =  ( n  e. 
NN0  |->  ( A ^
n ) )
12 ovex 5732 . . . . . . 7  |-  ( A ^ k )  e. 
_V
1310, 11, 12fvmpt 5451 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( n  e.  NN0  |->  ( A ^ n ) ) `
 k )  =  ( A ^ k
) )
149, 13syl 17 . . . . 5  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN0  |->  ( A ^ n ) ) `  k )  =  ( A ^
k ) )
15 simpr 449 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A  = 
0 )  ->  A  =  0 )
1615oveq1d 5722 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A  = 
0 )  ->  ( A ^ k )  =  ( 0 ^ k
) )
1714, 16sylan9eqr 2307 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  A  =  0 )  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e. 
NN0  |->  ( A ^
n ) ) `  k )  =  ( 0 ^ k ) )
18 0exp 10980 . . . . 5  |-  ( k  e.  NN  ->  (
0 ^ k )  =  0 )
1918adantl 454 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  A  =  0 )  /\  k  e.  NN )  ->  ( 0 ^ k
)  =  0 )
2017, 19eqtrd 2285 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  A  =  0 )  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e. 
NN0  |->  ( A ^
n ) ) `  k )  =  0 )
211, 3, 6, 8, 20climconst 11856 . 2  |-  ( (
ph  /\  A  = 
0 )  ->  (
n  e.  NN0  |->  ( A ^ n ) )  ~~>  0 )
222a1i 12 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  1  e.  ZZ )
23 expcnv.2 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( abs `  A
)  <  1 )
2423adantr 453 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  ( abs `  A )  <  1 )
25 expcnv.1 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
26 absrpcl 11614 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( abs `  A
)  e.  RR+ )
2725, 26sylan 459 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  ( abs `  A )  e.  RR+ )
2827reclt1d 10249 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  (
( abs `  A
)  <  1  <->  1  <  ( 1  /  ( abs `  A ) ) ) )
2924, 28mpbid 203 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  1  <  ( 1  /  ( abs `  A ) ) )
30 1re 8714 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  RR
3127rpreccld 10246 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  (
1  /  ( abs `  A ) )  e.  RR+ )
3231rpred 10236 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  (
1  /  ( abs `  A ) )  e.  RR )
33 difrp 10233 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( 1  /  ( abs `  A ) )  e.  RR )  -> 
( 1  <  (
1  /  ( abs `  A ) )  <->  ( (
1  /  ( abs `  A ) )  - 
1 )  e.  RR+ ) )
3430, 32, 33sylancr 647 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  (
1  <  ( 1  /  ( abs `  A
) )  <->  ( (
1  /  ( abs `  A ) )  - 
1 )  e.  RR+ ) )
3529, 34mpbid 203 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  (
( 1  /  ( abs `  A ) )  -  1 )  e.  RR+ )
3635rpreccld 10246 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  (
1  /  ( ( 1  /  ( abs `  A ) )  - 
1 ) )  e.  RR+ )
3736rpcnd 10238 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  (
1  /  ( ( 1  /  ( abs `  A ) )  - 
1 ) )  e.  CC )
38 divcnv 12148 . . . . 5  |-  ( ( 1  /  ( ( 1  /  ( abs `  A ) )  - 
1 ) )  e.  CC  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( 1  /  ( ( 1  /  ( abs `  A
) )  -  1 ) )  /  n
) )  ~~>  0 )
3937, 38syl 17 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  (
n  e.  NN  |->  ( ( 1  /  (
( 1  /  ( abs `  A ) )  -  1 ) )  /  n ) )  ~~>  0 )
40 nnex 9600 . . . . . 6  |-  NN  e.  _V
4140mptex 5595 . . . . 5  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( abs `  A ) ^ n ) )  e.  _V
4241a1i 12 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  (
n  e.  NN  |->  ( ( abs `  A
) ^ n ) )  e.  _V )
43 oveq2 5715 . . . . . . 7  |-  ( n  =  k  ->  (
( 1  /  (
( 1  /  ( abs `  A ) )  -  1 ) )  /  n )  =  ( ( 1  / 
( ( 1  / 
( abs `  A
) )  -  1 ) )  /  k
) )
44 eqid 2253 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( 1  /  ( ( 1  /  ( abs `  A ) )  - 
1 ) )  /  n ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( 1  / 
( ( 1  / 
( abs `  A
) )  -  1 ) )  /  n
) )
45 ovex 5732 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  /  ( ( 1  /  ( abs `  A ) )  - 
1 ) )  / 
k )  e.  _V
4643, 44, 45fvmpt 5451 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( 1  / 
( ( 1  / 
( abs `  A
) )  -  1 ) )  /  n
) ) `  k
)  =  ( ( 1  /  ( ( 1  /  ( abs `  A ) )  - 
1 ) )  / 
k ) )
4746adantl 454 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A  =/=  0 )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( 1  / 
( ( 1  / 
( abs `  A
) )  -  1 ) )  /  n
) ) `  k
)  =  ( ( 1  /  ( ( 1  /  ( abs `  A ) )  - 
1 ) )  / 
k ) )
4836rpred 10236 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  (
1  /  ( ( 1  /  ( abs `  A ) )  - 
1 ) )  e.  RR )
49 nndivre 9629 . . . . . 6  |-  ( ( ( 1  /  (
( 1  /  ( abs `  A ) )  -  1 ) )  e.  RR  /\  k  e.  NN )  ->  (
( 1  /  (
( 1  /  ( abs `  A ) )  -  1 ) )  /  k )  e.  RR )
5048, 49sylan 459 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A  =/=  0 )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( 1  /  (
( 1  /  ( abs `  A ) )  -  1 ) )  /  k )  e.  RR )
5147, 50eqeltrd 2327 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  A  =/=  0 )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( 1  / 
( ( 1  / 
( abs `  A
) )  -  1 ) )  /  n
) ) `  k
)  e.  RR )
52 oveq2 5715 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  k  ->  (
( abs `  A
) ^ n )  =  ( ( abs `  A ) ^ k
) )
53 eqid 2253 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( abs `  A ) ^ n ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( abs `  A ) ^ n
) )
54 ovex 5732 . . . . . . . 8  |-  ( ( abs `  A ) ^ k )  e. 
_V
5552, 53, 54fvmpt 5451 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( abs `  A
) ^ n ) ) `  k )  =  ( ( abs `  A ) ^ k
) )
5655adantl 454 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A  =/=  0 )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( abs `  A
) ^ n ) ) `  k )  =  ( ( abs `  A ) ^ k
) )
57 nnz 9891 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  ZZ )
58 rpexpcl 10965 . . . . . . 7  |-  ( ( ( abs `  A
)  e.  RR+  /\  k  e.  ZZ )  ->  (
( abs `  A
) ^ k )  e.  RR+ )
5927, 57, 58syl2an 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A  =/=  0 )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( abs `  A
) ^ k )  e.  RR+ )
6056, 59eqeltrd 2327 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A  =/=  0 )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( abs `  A
) ^ n ) ) `  k )  e.  RR+ )
6160rpred 10236 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  A  =/=  0 )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( abs `  A
) ^ n ) ) `  k )  e.  RR )
62 nnrp 10209 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  RR+ )
63 rpmulcl 10221 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( 1  / 
( abs `  A
) )  -  1 )  e.  RR+  /\  k  e.  RR+ )  ->  (
( ( 1  / 
( abs `  A
) )  -  1 )  x.  k )  e.  RR+ )
6435, 62, 63syl2an 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A  =/=  0 )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( ( 1  / 
( abs `  A
) )  -  1 )  x.  k )  e.  RR+ )
6564rpred 10236 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  A  =/=  0 )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( ( 1  / 
( abs `  A
) )  -  1 )  x.  k )  e.  RR )
66 peano2re 8861 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( 1  / 
( abs `  A
) )  -  1 )  x.  k )  e.  RR  ->  (
( ( ( 1  /  ( abs `  A
) )  -  1 )  x.  k )  +  1 )  e.  RR )
6765, 66syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  A  =/=  0 )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( ( ( 1  /  ( abs `  A
) )  -  1 )  x.  k )  +  1 )  e.  RR )
68 rpexpcl 10965 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 1  /  ( abs `  A ) )  e.  RR+  /\  k  e.  ZZ )  ->  (
( 1  /  ( abs `  A ) ) ^ k )  e.  RR+ )
6931, 57, 68syl2an 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  A  =/=  0 )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( 1  /  ( abs `  A ) ) ^ k )  e.  RR+ )
7069rpred 10236 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  A  =/=  0 )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( 1  /  ( abs `  A ) ) ^ k )  e.  RR )
7165lep1d 9536 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  A  =/=  0 )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( ( 1  / 
( abs `  A
) )  -  1 )  x.  k )  <_  ( ( ( ( 1  /  ( abs `  A ) )  -  1 )  x.  k )  +  1 ) )
7232adantr 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  A  =/=  0 )  /\  k  e.  NN )  ->  (
1  /  ( abs `  A ) )  e.  RR )
739adantl 454 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  A  =/=  0 )  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  NN0 )
7431rpge0d 10240 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  0  <_  ( 1  /  ( abs `  A ) ) )
7574adantr 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  A  =/=  0 )  /\  k  e.  NN )  ->  0  <_  ( 1  /  ( abs `  A ) ) )
76 bernneq2 11070 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 1  /  ( abs `  A ) )  e.  RR  /\  k  e.  NN0  /\  0  <_ 
( 1  /  ( abs `  A ) ) )  ->  ( (
( ( 1  / 
( abs `  A
) )  -  1 )  x.  k )  +  1 )  <_ 
( ( 1  / 
( abs `  A
) ) ^ k
) )
7772, 73, 75, 76syl3anc 1187 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  A  =/=  0 )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( ( ( 1  /  ( abs `  A
) )  -  1 )  x.  k )  +  1 )  <_ 
( ( 1  / 
( abs `  A
) ) ^ k
) )
7865, 67, 70, 71, 77letrd 8849 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  A  =/=  0 )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( ( 1  / 
( abs `  A
) )  -  1 )  x.  k )  <_  ( ( 1  /  ( abs `  A
) ) ^ k
) )
7927rpcnne0d 10245 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  (
( abs `  A
)  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =/=  0 ) )
80 exprec 10986 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( abs `  A
)  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =/=  0  /\  k  e.  ZZ )  ->  (
( 1  /  ( abs `  A ) ) ^ k )  =  ( 1  /  (
( abs `  A
) ^ k ) ) )
81803expa 1156 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( abs `  A
)  e.  CC  /\  ( abs `  A )  =/=  0 )  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( ( 1  / 
( abs `  A
) ) ^ k
)  =  ( 1  /  ( ( abs `  A ) ^ k
) ) )
8279, 57, 81syl2an 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  A  =/=  0 )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( 1  /  ( abs `  A ) ) ^ k )  =  ( 1  /  (
( abs `  A
) ^ k ) ) )
8378, 82breqtrd 3941 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A  =/=  0 )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( ( 1  / 
( abs `  A
) )  -  1 )  x.  k )  <_  ( 1  / 
( ( abs `  A
) ^ k ) ) )
8464, 59, 83lerec2d 10257 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A  =/=  0 )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( abs `  A
) ^ k )  <_  ( 1  / 
( ( ( 1  /  ( abs `  A
) )  -  1 )  x.  k ) ) )
8535rpcnne0d 10245 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  (
( ( 1  / 
( abs `  A
) )  -  1 )  e.  CC  /\  ( ( 1  / 
( abs `  A
) )  -  1 )  =/=  0 ) )
86 nncn 9602 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  CC )
87 nnne0 9626 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  k  =/=  0 )
8886, 87jca 520 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN  ->  (
k  e.  CC  /\  k  =/=  0 ) )
89 recdiv2 9329 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( 1  /  ( abs `  A
) )  -  1 )  e.  CC  /\  ( ( 1  / 
( abs `  A
) )  -  1 )  =/=  0 )  /\  ( k  e.  CC  /\  k  =/=  0 ) )  -> 
( ( 1  / 
( ( 1  / 
( abs `  A
) )  -  1 ) )  /  k
)  =  ( 1  /  ( ( ( 1  /  ( abs `  A ) )  - 
1 )  x.  k
) ) )
9085, 88, 89syl2an 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A  =/=  0 )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( 1  /  (
( 1  /  ( abs `  A ) )  -  1 ) )  /  k )  =  ( 1  /  (
( ( 1  / 
( abs `  A
) )  -  1 )  x.  k ) ) )
9184, 90breqtrrd 3943 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A  =/=  0 )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( abs `  A
) ^ k )  <_  ( ( 1  /  ( ( 1  /  ( abs `  A
) )  -  1 ) )  /  k
) )
9291, 56, 473brtr4d 3947 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  A  =/=  0 )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( abs `  A
) ^ n ) ) `  k )  <_  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( 1  /  ( ( 1  /  ( abs `  A ) )  - 
1 ) )  /  n ) ) `  k ) )
9360rpge0d 10240 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  A  =/=  0 )  /\  k  e.  NN )  ->  0  <_  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( abs `  A ) ^ n
) ) `  k
) )
941, 22, 39, 42, 51, 61, 92, 93climsqz2 11954 . . 3  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  (
n  e.  NN  |->  ( ( abs `  A
) ^ n ) )  ~~>  0 )
952a1i 12 . . . . 5  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
965a1i 12 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( n  e.  NN0  |->  ( A ^ n ) )  e.  _V )
9741a1i 12 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( abs `  A
) ^ n ) )  e.  _V )
989adantl 454 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  k  e. 
NN0 )
9998, 13syl 17 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN0  |->  ( A ^ n ) ) `
 k )  =  ( A ^ k
) )
100 expcl 10964 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( A ^ k
)  e.  CC )
10125, 9, 100syl2an 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( A ^ k )  e.  CC )
10299, 101eqeltrd 2327 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN0  |->  ( A ^ n ) ) `
 k )  e.  CC )
103 absexp 11628 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( abs `  ( A ^ k ) )  =  ( ( abs `  A ) ^ k
) )
10425, 9, 103syl2an 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( abs `  ( A ^ k
) )  =  ( ( abs `  A
) ^ k ) )
10599fveq2d 5378 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( abs `  ( ( n  e. 
NN0  |->  ( A ^
n ) ) `  k ) )  =  ( abs `  ( A ^ k ) ) )
10655adantl 454 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( abs `  A
) ^ n ) ) `  k )  =  ( ( abs `  A ) ^ k
) )
107104, 105, 1063eqtr4rd 2296 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( abs `  A
) ^ n ) ) `  k )  =  ( abs `  (
( n  e.  NN0  |->  ( A ^ n ) ) `  k ) ) )
1081, 95, 96, 97, 102, 107climabs0 11898 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( n  e. 
NN0  |->  ( A ^
n ) )  ~~>  0  <->  (
n  e.  NN  |->  ( ( abs `  A
) ^ n ) )  ~~>  0 ) )
109108biimpar 473 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN  |->  ( ( abs `  A ) ^ n
) )  ~~>  0 )  ->  ( n  e. 
NN0  |->  ( A ^
n ) )  ~~>  0 )
11094, 109syldan 458 . 2  |-  ( (
ph  /\  A  =/=  0 )  ->  (
n  e.  NN0  |->  ( A ^ n ) )  ~~>  0 )
11121, 110pm2.61dane 2488 1  |-  ( ph  ->  ( n  e.  NN0  |->  ( A ^ n ) )  ~~>  0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1619    e. wcel 1621    =/= wne 2412   _Vcvv 2725   class class class wbr 3917    e. cmpt 3971   ` cfv 4589  (class class class)co 5707   CCcc 8612   RRcr 8613   0cc0 8614   1c1 8615    + caddc 8617    x. cmul 8619    < clt 8744    <_ cle 8745    - cmin 8909    / cdiv 9279   NNcn 9594   NN0cn0 9811   ZZcz 9870   RR+crp 10200   ^cexp 10947   abscabs 11560    ~~> cli 11797
This theorem is referenced by:  explecnv  12159  geolim  12162  geo2lim  12167  iscmet3lem3  18510  mbfi1fseqlem6  18869  geomcau  25572
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-rep 4025  ax-sep 4035  ax-nul 4043  ax-pow 4079  ax-pr 4105  ax-un 4400  ax-cnex 8670  ax-resscn 8671  ax-1cn 8672  ax-icn 8673  ax-addcl 8674  ax-addrcl 8675  ax-mulcl 8676  ax-mulrcl 8677  ax-mulcom 8678  ax-addass 8679  ax-mulass 8680  ax-distr 8681  ax-i2m1 8682  ax-1ne0 8683  ax-1rid 8684  ax-rnegex 8685  ax-rrecex 8686  ax-cnre 8687  ax-pre-lttri 8688  ax-pre-lttrn 8689  ax-pre-ltadd 8690  ax-pre-mulgt0 8691  ax-pre-sup 8692
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-nel 2415  df-ral 2511  df-rex 2512  df-reu 2513  df-rab 2514  df-v 2727  df-sbc 2920  df-csb 3007  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3086  df-pss 3088  df-nul 3360  df-if 3468  df-pw 3529  df-sn 3547  df-pr 3548  df-tp 3549  df-op 3550  df-uni 3725  df-iun 3802  df-br 3918  df-opab 3972  df-mpt 3973  df-tr 4008  df-eprel 4195  df-id 4199  df-po 4204  df-so 4205  df-fr 4242  df-we 4244  df-ord 4285  df-on 4286  df-lim 4287  df-suc 4288  df-om 4545  df-xp 4591  df-rel 4592  df-cnv 4593  df-co 4594  df-dm 4595  df-rn 4596  df-res 4597  df-ima 4598  df-fun 4599  df-fn 4600  df-f 4601  df-f1 4602  df-fo 4603  df-f1o 4604  df-fv 4605  df-ov 5710  df-oprab 5711  df-mpt2 5712  df-2nd 5972  df-iota 6140  df-riota 6187  df-recs 6271  df-rdg 6306  df-er 6543  df-pm 6658  df-en 6747  df-dom 6748  df-sdom 6749  df-sup 7075  df-pnf 8746  df-mnf 8747  df-xr 8748  df-ltxr 8749  df-le 8750  df-sub 8911  df-neg 8912  df-div 9280  df-n 9595  df-2 9652  df-3 9653  df-n0 9812  df-z 9871  df-uz 10077  df-rp 10201  df-fl 10768  df-seq 10890  df-exp 10948  df-cj 11425  df-re 11426  df-im 11427  df-sqr 11561  df-abs 11562  df-clim 11801  df-rlim 11802
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