HomeHome Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version

Theorem expcnv 9429
Description: A sequence of powers of a complex number A with absolute value smaller than 1 converges to zero.
Hypothesis
Ref Expression
expcnv.1 |- F e. _V
Assertion
Ref Expression
expcnv |- ((A e. CC /\ A.k e. NN (F` k) = (A^k) /\ (abs` A) < 1) -> F ~~> 0)
Distinct variable groups:   A,k   k,F

Proof of Theorem expcnv
StepHypRef Expression
1 abscl 8981 . . . . . . . . . 10 |- (A e. CC -> (abs` A) e. RR)
21adantr 516 . . . . . . . . 9 |- ((A e. CC /\ (abs` A) < 1) -> (abs`
A) e. RR)
3 absge0 9002 . . . . . . . . . 10 |- (A e. CC -> 0 <_ (abs` A))
43adantr 516 . . . . . . . . 9 |- ((A e. CC /\ (abs` A) < 1) -> 0 <_ (abs` A))
5 simpr 511 . . . . . . . . 9 |- ((A e. CC /\ (abs` A) < 1) -> (abs`
A) < 1)
62, 4, 53jca 1229 . . . . . . . 8 |- ((A e. CC /\ (abs` A) < 1) -> ((abs` A) e. RR /\ 0 <_ (abs` A) /\ (abs` A) < 1))
7 expcnvlem6 9428 . . . . . . . 8 |- ((((abs`
A) e. RR /\ 0 <_ (abs` A) /\ (abs` A) < 1) /\ (x e. RR /\ 0 < x)) -> E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> ((abs` A)^k) < x))
86, 7sylan 523 . . . . . . 7 |- (((A e. CC /\ (abs`
A) < 1) /\ (x e. RR /\ 0 < x)) -> E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> ((abs` A)^k) < x))
98adantllr 816 . . . . . 6 |- ((((A e. CC /\ A.k e. NN (F` k) = (A^k)) /\ (abs` A) < 1) /\ (x e. RR /\ 0 < x)) -> E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> ((abs` A)^k) < x))
10 fveq2 4816 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((F` k) = (A^k) -> (abs` (F` k)) = (abs` (A^k)))
11 nnnn0 8011 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (k e. NN -> k e. NN0)
12 absexp 9016 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((A e. CC /\ k e. NN0) -> (abs` (A^k)) = ((abs` A)^k))
1311, 12sylan2 526 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((A e. CC /\ k e. NN) -> (abs`
(A^k)) = ((abs` A)^k))
1410, 13sylan9eqr 2150 . . . . . . . . . . . . . 14 |- (((A e. CC /\ k e. NN) /\ (F` k) = (A^k)) -> (abs` (F` k)) = ((abs` A)^k))
1514breq1d 3519 . . . . . . . . . . . . 13 |- (((A e. CC /\ k e. NN) /\ (F` k) = (A^k)) -> ((abs` (F` k)) < x <-> ((abs` A)^k) < x))
1615imbi2d 359 . . . . . . . . . . . 12 |- (((A e. CC /\ k e. NN) /\ (F` k) = (A^k)) -> ((j <_ k -> (abs` (F` k)) < x) <-> (j <_ k -> ((abs` A)^k) < x)))
1716ex 485 . . . . . . . . . . 11 |- ((A e. CC /\ k e. NN) -> ((F` k) = (A^k) -> ((j <_ k -> (abs` (F` k)) < x) <-> (j <_ k -> ((abs` A)^k) < x))))
1817ralimdva 2376 . . . . . . . . . 10 |- (A e. CC -> (A.k e. NN (F` k) = (A^k) -> A.k e. NN ((j <_ k -> (abs`
(F` k)) < x) <-> (j <_ k -> ((abs` A)^k) < x))))
1918imp 480 . . . . . . . . 9 |- ((A e. CC /\ A.k e. NN (F` k) = (A^k)) -> A.k e. NN ((j <_ k -> (abs` (F` k)) < x) <-> (j <_ k -> ((abs` A)^k) < x)))
20 ralbi 2427 . . . . . . . . 9 |- (A.k e. NN ((j <_ k -> (abs`
(F` k)) < x) <-> (j <_ k -> ((abs` A)^k) < x)) -> (A.k e. NN (j <_ k -> (abs`
(F` k)) < x) <-> A.k e. NN (j <_ k -> ((abs` A)^k) < x)))
2119, 20syl 13 . . . . . . . 8 |- ((A e. CC /\ A.k e. NN (F` k) = (A^k)) -> (A.k e. NN (j <_ k -> (abs` (F` k)) < x) <-> A.k e. NN (j <_ k -> ((abs` A)^k) < x)))
2221rexbidv 2329 . . . . . . 7 |- ((A e. CC /\ A.k e. NN (F` k) = (A^k)) -> (E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> (abs` (F` k)) < x) <-> E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> ((abs` A)^k) < x)))
2322ad2antrr 823 . . . . . 6 |- ((((A e. CC /\ A.k e. NN (F` k) = (A^k)) /\ (abs` A) < 1) /\ (x e. RR /\ 0 < x)) -> (E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> (abs` (F` k)) < x) <-> E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> ((abs` A)^k) < x)))
249, 23mpbird 269 . . . . 5 |- ((((A e. CC /\ A.k e. NN (F` k) = (A^k)) /\ (abs` A) < 1) /\ (x e. RR /\ 0 < x)) -> E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> (abs` (F` k)) < x))
2524exp32 675 . . . 4 |- (((A e. CC /\ A.k e. NN (F` k) = (A^k)) /\ (abs` A) < 1) -> (x e. RR -> (0 < x -> E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> (abs` (F` k)) < x))))
26253impa 1241 . . 3 |- ((A e. CC /\ A.k e. NN (F` k) = (A^k) /\ (abs` A) < 1) -> (x e. RR -> (0 < x -> E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> (abs` (F` k)) < x))))
2726ralrimiv 2380 . 2 |- ((A e. CC /\ A.k e. NN (F` k) = (A^k) /\ (abs` A) < 1) -> A.x e. RR (0 < x -> E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> (abs` (F` k)) < x)))
28 expcl 8732 . . . . . . . 8 |- ((A e. CC /\ k e. NN0) -> (A^k) e. CC)
2911, 28sylan2 526 . . . . . . 7 |- ((A e. CC /\ k e. NN) -> (A^k) e. CC)
30 eleq1 2155 . . . . . . 7 |- ((F` k) = (A^k) -> ((F` k) e. CC <-> (A^k) e. CC))
3129, 30syl5ibrcom 255 . . . . . 6 |- ((A e. CC /\ k e. NN) -> ((F` k) = (A^k) -> (F` k) e. CC))
3231ralimdva 2376 . . . . 5 |- (A e. CC -> (A.k e. NN (F` k) = (A^k) -> A.k e. NN (F` k) e. CC))
3332imp 480 . . . 4 |- ((A e. CC /\ A.k e. NN (F` k) = (A^k)) -> A.k e. NN (F` k) e. CC)
34 1z 8069 . . . . 5 |- 1 e. ZZ
35 nnuz 8174 . . . . . 6 |- NN = (ZZ>=` 1)
3635eqimss2i 2875 . . . . 5 |- (ZZ>=` 1) C_ NN
37 nnssz 8059 . . . . 5 |- NN C_ ZZ
38 expcnv.1 . . . . 5 |- F e. _V
3934, 36, 37, 34, 36, 37, 38clm0i 9276 . . . 4 |- (A.k e. NN (F` k) e. CC -> (F ~~> 0 <-> A.x e. RR (0 < x -> E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> (abs` (F` k)) < x))))
4033, 39syl 13 . . 3 |- ((A e. CC /\ A.k e. NN (F` k) = (A^k)) -> (F ~~> 0 <-> A.x e. RR (0 < x -> E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> (abs` (F` k)) < x))))
41403adant3 1075 . 2 |- ((A e. CC /\ A.k e. NN (F` k) = (A^k) /\ (abs` A) < 1) -> (F ~~> 0 <-> A.x e. RR (0 < x -> E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> (abs` (F` k)) < x))))
4227, 41mpbird 269 1 |- ((A e. CC /\ A.k e. NN (F` k) = (A^k) /\ (abs` A) < 1) -> F ~~> 0)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 209   /\ wa 418   /\ w3a 1037   = wceq 1592   e. wcel 1594  A.wral 2310  E.wrex 2311  _Vcvv 2499   class class class wbr 3509  ` cfv 4149  (class class class)co 5067  CCcc 7104  RRcr 7105  0cc0 7106  1c1 7107   <_ cle 7214   < clt 7218  NNcn 7331  NN0cn0 7332  ZZ>=cuz 8142  ^cexp 8720  abscabs 8925   ~~> cli 9162
This theorem is referenced by:  explecnv 9430  geolimilem 9432
This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-5 1516  ax-6 1517  ax-7 1518  ax-gen 1519  ax-8 1596  ax-10 1597  ax-11 1598  ax-12 1599  ax-13 1600  ax-14 1601  ax-17 1608  ax-9 1620  ax-4 1626  ax-16 1803  ax-15 1966  ax-ext 2074  ax-rep 3599  ax-sep 3609  ax-nul 3619  ax-pow 3655  ax-pr 3679  ax-un 3947  ax-inf2 6137  ax-resscn 7160  ax-1cn 7161  ax-icn 7162  ax-addcl 7163  ax-addrcl 7164  ax-mulcl 7165  ax-mulrcl 7166  ax-mulcom 7167  ax-addass 7168  ax-mulass 7169  ax-distr 7170  ax-i2m1 7171  ax-1ne0 7172  ax-1rid 7173  ax-rnegex 7174  ax-rrecex 7175  ax-cnre 7176  ax-pre-lttri 7177  ax-pre-lttrn 7178  ax-pre-ltadd 7179  ax-pre-mulgt0 7180  ax-pre-sup 7181
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-or 419  df-an 420  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1468  df-ex 1521  df-sb 1765  df-eu 1992  df-mo 1993  df-clab 2080  df-cleq 2085  df-clel 2088  df-ne 2220  df-nel 2221  df-ral 2314  df-rex 2315  df-reu 2316  df-rab 2317  df-v 2501  df-sbc 2671  df-csb 2745  df-dif 2804  df-un 2806  df-in 2808  df-ss 2810  df-pss 2812  df-nul 3066  df-if 3166  df-pw 3222  df-sn 3237  df-pr 3238  df-tp 3240  df-op 3241  df-uni 3365  df-int 3399  df-iun 3437  df-br 3510  df-opab 3568  df-tr 3583  df-eprel 3762  df-id 3765  df-po 3770  df-so 3782  df-fr 3800  df-we 3816  df-ord 3832  df-on 3833  df-lim 3834  df-suc 3835  df-om 4104  df-xp 4151  df-rel 4152  df-cnv 4153  df-co 4154  df-dm 4155  df-rn 4156  df-res 4157  df-ima 4158  df-fun 4159  df-fn 4160  df-f 4161  df-f1 4162  df-fo 4163  df-f1o 4164  df-fv 4165  df-opr 5069  df-oprab 5070  df-mpt 5202  df-mpt2 5203  df-1st 5268  df-2nd 5269  df-iota 5374  df-rdg 5460  df-er 5637  df-map 5705  df-en 5752  df-dom 5753  df-sdom 5754  df-riota 5896  df-sup 6059  df-pnf 7219  df-mnf 7220  df-xr 7221  df-ltxr 7222  df-le 7223  df-sub 7347  df-neg 7349  df-div 7564  df-n 7769  df-2 7816  df-3 7817  df-rp 7941  df-n0 8005  df-z 8044  df-uz 8143  df-q 8217  df-fl 8337  df-seq 8586  df-exp 8721  df-cj 8839  df-re 8840  df-im 8841  df-sqr 8926  df-abs 8927  df-clim 9163
Copyright terms: Public domain