Theorem expcnvlem2 7180

Description: Lemma for expcnv 7185. Compute an upper bound for exponentiation using Bernoulli's inequality bernneq 6597.

Hypotheses

Ref	Expression
expcnvlem.1	|- (A e. RR /\ 0 < A /\ A < 1)
expcnvlem.2	|- (B e. RR /\ 0 < B)
expcnvlem.3	|- C e. NN

Assertion

Ref	Expression
expcnvlem2	|- ((((1 / B) - 1) / ((1 / A) - 1)) < C -> (A^C) < B)

Proof of Theorem expcnvlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		expcnvlem.2	. . . . . . 7 |- (B e. RR /\ 0 < B)
2	1	pm3.26i 320	. . . . . 6 |- B e. RR
3	1	pm3.27i 324	. . . . . . 7 |- 0 < B
4	2, 3	gt0ne0i 5601	. . . . . 6 |- B =/= 0
5	2, 4	rereccl 5767	. . . . 5 |- (1 / B) e. RR
6		1re 5418	. . . . 5 |- 1 e. RR
7	5, 6	resubcl 5422	. . . 4 |- ((1 / B) - 1) e. RR
8		expcnvlem.1	. . . . . . 7 |- (A e. RR /\ 0 < A /\ A < 1)
9	8	3simp1i 790	. . . . . 6 |- A e. RR
10	8	3simp2i 791	. . . . . . 7 |- 0 < A
11	9, 10	gt0ne0i 5601	. . . . . 6 |- A =/= 0
12	9, 11	rereccl 5767	. . . . 5 |- (1 / A) e. RR
13	12, 6	resubcl 5422	. . . 4 |- ((1 / A) - 1) e. RR
14		expcnvlem.3	. . . . 5 |- C e. NN
15	14	nnre 5889	. . . 4 |- C e. RR
16	8	3simp3i 792	. . . . . . 7 |- A < 1
17		reclt1t 5856	. . . . . . . 8 |- ((A e. RR /\ 0 < A) -> (A < 1 <-> 1 < (1 / A)))
18	9, 10, 17	mp2an 696	. . . . . . 7 |- (A < 1 <-> 1 < (1 / A))
19	16, 18	mpbi 189	. . . . . 6 |- 1 < (1 / A)
20	6, 12	posdif 5648	. . . . . 6 |- (1 < (1 / A) <-> 0 < ((1 / A) - 1))
21	19, 20	mpbi 189	. . . . 5 |- 0 < ((1 / A) - 1)
22		ltdivmult 5829	. . . . 5 |- (((((1 / B) - 1) e. RR /\ ((1 / A) - 1) e. RR /\ C e. RR) /\ 0 < ((1 / A) - 1)) -> ((((1 / B) - 1) / ((1 / A) - 1)) < C <-> ((1 / B) - 1) < (((1 / A) - 1) x. C)))
23	21, 22	mpan2 695	. . . 4 |- ((((1 / B) - 1) e. RR /\ ((1 / A) - 1) e. RR /\ C e. RR) -> ((((1 / B) - 1) / ((1 / A) - 1)) < C <-> ((1 / B) - 1) < (((1 / A) - 1) x. C)))
24	7, 13, 15, 23	mp3an 915	. . 3 |- ((((1 / B) - 1) / ((1 / A) - 1)) < C <-> ((1 / B) - 1) < (((1 / A) - 1) x. C))
25	13, 15	remulcl 5318	. . . 4 |- (((1 / A) - 1) x. C) e. RR
26	5, 6, 25	ltsubadd 5578	. . 3 |- (((1 / B) - 1) < (((1 / A) - 1) x. C) <-> (1 / B) < ((((1 / A) - 1) x. C) + 1))
27	25, 6	readdcl 5317	. . . 4 |- ((((1 / A) - 1) x. C) + 1) e. RR
28	14	nngt0 5908	. . . . . 6 |- 0 < C
29	13, 15, 21, 28	mulgt0i 5592	. . . . 5 |- 0 < (((1 / A) - 1) x. C)
30		lt01 5663	. . . . 5 |- 0 < 1
31	25, 6, 29, 30	addgt0i 5585	. . . 4 |- 0 < ((((1 / A) - 1) x. C) + 1)
32	6, 2, 27, 3, 31	ltdiv23i 5853	. . 3 |- ((1 / B) < ((((1 / A) - 1) x. C) + 1) <-> (1 / ((((1 / A) - 1) x. C) + 1)) < B)
33	24, 26, 32	3bitr 177	. 2 |- ((((1 / B) - 1) / ((1 / A) - 1)) < C <-> (1 / ((((1 / A) - 1) x. C) + 1)) < B)
34	14	nnnn0 6064	. . . . . 6 |- C e. NN0
35		0re 5423	. . . . . . 7 |- 0 e. RR
36	9, 10	recgt0i 5780	. . . . . . 7 |- 0 < (1 / A)
37	35, 12, 36	ltlei 5564	. . . . . 6 |- 0 <_ (1 / A)
38		bernneq2 6598	. . . . . 6 |- (((1 / A) e. RR /\ C e. NN0 /\ 0 <_ (1 / A)) -> ((((1 / A) - 1) x. C) + 1) <_ ((1 / A)^C))
39	12, 34, 37, 38	mp3an 915	. . . . 5 |- ((((1 / A) - 1) x. C) + 1) <_ ((1 / A)^C)
40	9	recn 5297	. . . . . 6 |- A e. CC
41		recexpt 6540	. . . . . . 7 |- ((A e. CC /\ C e. NN0 /\ A =/= 0) -> ((1 / A)^C) = (1 / (A^C)))
42		nnnn0t 6063	. . . . . . 7 |- (C e. NN -> C e. NN0)
43	41, 42	syl3an2 859	. . . . . 6 |- ((A e. CC /\ C e. NN /\ A =/= 0) -> ((1 / A)^C) = (1 / (A^C)))
44	40, 14, 11, 43	mp3an 915	. . . . 5 |- ((1 / A)^C) = (1 / (A^C))
45	39, 44	breqtr 2634	. . . 4 |- ((((1 / A) - 1) x. C) + 1) <_ (1 / (A^C))
46	27, 31	pm3.2i 285	. . . . 5 |- (((((1 / A) - 1) x. C) + 1) e. RR /\ 0 < ((((1 / A) - 1) x. C) + 1))
47		reexpclt 6525	. . . . . . 7 |- ((A e. RR /\ C e. NN0) -> (A^C) e. RR)
48	9, 34, 47	mp2an 696	. . . . . 6 |- (A^C) e. RR
49		expgt0t 6534	. . . . . . 7 |- ((A e. RR /\ C e. NN0 /\ 0 < A) -> 0 < (A^C))
50	9, 34, 10, 49	mp3an 915	. . . . . 6 |- 0 < (A^C)
51	48, 50	pm3.2i 285	. . . . 5 |- ((A^C) e. RR /\ 0 < (A^C))
52		lerec2t 5847	. . . . 5 |- (((((((1 / A) - 1) x. C) + 1) e. RR /\ 0 < ((((1 / A) - 1) x. C) + 1)) /\ ((A^C) e. RR /\ 0 < (A^C))) -> (((((1 / A) - 1) x. C) + 1) <_ (1 / (A^C)) <-> (A^C) <_ (1 / ((((1 / A) - 1) x. C) + 1))))
53	46, 51, 52	mp2an 696	. . . 4 |- (((((1 / A) - 1) x. C) + 1) <_ (1 / (A^C)) <-> (A^C) <_ (1 / ((((1 / A) - 1) x. C) + 1)))
54	45, 53	mpbi 189	. . 3 |- (A^C) <_ (1 / ((((1 / A) - 1) x. C) + 1))
55	27, 31	gt0ne0i 5601	. . . . 5 |- ((((1 / A) - 1) x. C) + 1) =/= 0
56	27, 55	rereccl 5767	. . . 4 |- (1 / ((((1 / A) - 1) x. C) + 1)) e. RR
57	48, 56, 2	lelttr 5570	. . 3 |- (((A^C) <_ (1 / ((((1 / A) - 1) x. C) + 1)) /\ (1 / ((((1 / A) - 1) x. C) + 1)) < B) -> (A^C) < B)
58	54, 57	mpan 694	. 2 |- ((1 / ((((1 / A) - 1) x. C) + 1)) < B -> (A^C) < B)
59	33, 58	sylbi 199	1 |- ((((1 / B) - 1) / ((1 / A) - 1)) < C -> (A^C) < B)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   /\ w3a 774   = wceq 955   e. wcel 957   =/= wne 1583   class class class wbr 2615  (class class class)co 3958  CCcc 5215  RRcr 5216  0cc0 5217  1c1 5218   + caddc 5220   x. cmul 5222   - cmin 5275   / cdiv 5277   <_ cle 5278  NNcn 5279  NN0cn0 5280   < clt 5469  ^cexp 6513

This theorem is referenced by:  expcnvlem3 7181

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-9 964  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1209  ax-11o 1217  ax-ext 1458  ax-rep 2689  ax-sep 2699  ax-nul 2706  ax-pow 2738  ax-pr 2775  ax-un 2862  ax-inf2 4608

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 980  df-sb 1171  df-eu 1381  df-mo 1382  df-clab 1463  df-cleq 1468  df-clel 1471  df-ne 1585  df-nel 1586  df-ral 1647  df-rex 1648  df-reu 1649  df-rab 1650  df-v 1809  df-sbc 1939  df-csb 1999  df-dif 2046  df-un 2047  df-in 2048  df-ss 2050  df-pss 2052  df-nul 2278  df-if 2359  df-pw 2399  df-sn 2409  df-pr 2410  df-tp 2412  df-op 2413  df-uni 2500  df-int 2530  df-iun 2564  df-br 2616  df-opab 2663  df-tr 2677  df-eprel 2828  df-id 2831  df-po 2836  df-so 2846  df-fr 2913  df-we 2930  df-ord 2947  df-on 2948  df-lim 2949  df-suc 2950  df-om 3128  df-xp 3180  df-rel 3181  df-cnv 3182  df-co 3183  df-dm 3184  df-rn 3185  df-res 3186  df-ima 3187  df-fun 3188  df-fn 3189  df-f 3190  df-f1 3191  df-fo 3192  df-f1o 3193  df-fv 3194  df-rdg 3927  df-opr 3960  df-oprab 3961  df-1st 4072  df-2nd 4073  df-1o 4126  df-oadd 4128  df-omul 4129  df-er 4254  df-ec 4256  df-qs 4259  df-en 4360  df-dom 4361  df-sdom 4362  df-ni 4983  df-pli 4984  df-mi 4985  df-lti 4986  df-plpq 5018  df-mpq 5019  df-enq 5020  df-nq 5021  df-plq 5022  df-mq 5023  df-rq 5024  df-ltq 5025  df-1q 5026  df-np 5069  df-1p 5070  df-plp 5071  df-mp 5072  df-ltp 5073  df-plpr 5147  df-mpr 5148  df-enr 5149  df-nr 5150  df-plr 5151  df-mr 5152  df-ltr 5153  df-0r 5154  df-1r 5155  df-m1r 5156  df-c 5223  df-0 5224  df-1 5225  df-i 5226  df-r 5227  df-plus 5228  df-mul 5229  df-lt 5230  df-sub 5339  df-neg 5341  df-pnf 5470  df-mnf 5471  df-xr 5472  df-ltxr 5473  df-le 5474  df-div 5682  df-n 5883  df-n0 6057  df-z 6093  df-seq1 6258  df-exp 6514

Copyright terms: Public domain