Theorem expcnvlem4 7173

Description: Lemma for expcnv 7176. Combine expcnvlem1 7170 and expcnvlem3 7172.

Hypotheses

Ref	Expression
expcnvlem.1	|- (A e. RR /\ 0 < A /\ A < 1)
expcnvlem.2	|- (B e. RR /\ 0 < B)

Assertion

Ref	Expression
expcnvlem4	|- E.x e. NN A.y e. NN (x <_ y -> (A^y) < B)

Distinct variable groups:   x,y,A   x,B,y

Proof of Theorem expcnvlem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		expcnvlem.2	. . . . . 6 |- (B e. RR /\ 0 < B)
2	1	pm3.26i 320	. . . . 5 |- B e. RR
3	1	pm3.27i 324	. . . . . 6 |- 0 < B
4	2, 3	gt0ne0i 5599	. . . . 5 |- B =/= 0
5	2, 4	rereccl 5765	. . . 4 |- (1 / B) e. RR
6		1re 5415	. . . 4 |- 1 e. RR
7	5, 6	resubcl 5419	. . 3 |- ((1 / B) - 1) e. RR
8		expcnvlem.1	. . . . . 6 |- (A e. RR /\ 0 < A /\ A < 1)
9	8	3simp1i 790	. . . . 5 |- A e. RR
10	8	3simp2i 791	. . . . . 6 |- 0 < A
11	9, 10	gt0ne0i 5599	. . . . 5 |- A =/= 0
12	9, 11	rereccl 5765	. . . 4 |- (1 / A) e. RR
13	12, 6	resubcl 5419	. . 3 |- ((1 / A) - 1) e. RR
14	8	3simp3i 792	. . . . . 6 |- A < 1
15		reclt1t 5854	. . . . . . 7 |- ((A e. RR /\ 0 < A) -> (A < 1 <-> 1 < (1 / A)))
16	9, 10, 15	mp2an 696	. . . . . 6 |- (A < 1 <-> 1 < (1 / A))
17	14, 16	mpbi 189	. . . . 5 |- 1 < (1 / A)
18	6, 12	posdif 5646	. . . . 5 |- (1 < (1 / A) <-> 0 < ((1 / A) - 1))
19	17, 18	mpbi 189	. . . 4 |- 0 < ((1 / A) - 1)
20	13, 19	gt0ne0i 5599	. . 3 |- ((1 / A) - 1) =/= 0
21	7, 13, 20	redivcl 5762	. 2 |- (((1 / B) - 1) / ((1 / A) - 1)) e. RR
22	8, 1	expcnvlem3 7172	. 2 |- (y e. NN -> ((((1 / B) - 1) / ((1 / A) - 1)) < y -> (A^y) < B))
23	21, 22	expcnvlem1 7170	1 |- E.x e. NN A.y e. NN (x <_ y -> (A^y) < B)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   /\ w3a 774   e. wcel 956  A.wral 1642  E.wrex 1643   class class class wbr 2614  (class class class)co 3954  RRcr 5213  0cc0 5214  1c1 5215   - cmin 5272   / cdiv 5274   <_ cle 5275  NNcn 5276   < clt 5466  ^cexp 6508

This theorem is referenced by:  expcnvlem5 7174

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861  ax-inf2 4605

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-nel 1585  df-ral 1646  df-rex 1647  df-reu 1648  df-rab 1649  df-v 1808  df-sbc 1938  df-csb 1998  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-pss 2051  df-nul 2277  df-if 2358  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-tp 2411  df-op 2412  df-uni 2499  df-int 2529  df-iun 2563  df-br 2615  df-opab 2662  df-tr 2676  df-eprel 2827  df-id 2830  df-po 2835  df-so 2845  df-fr 2912  df-we 2929  df-ord 2946  df-on 2947  df-lim 2948  df-suc 2949  df-om 3127  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-f1 3190  df-fo 3191  df-f1o 3192  df-fv 3193  df-rdg 3923  df-opr 3956  df-oprab 3957  df-1st 4069  df-2nd 4070  df-1o 4123  df-oadd 4125  df-omul 4126  df-er 4251  df-ec 4253  df-qs 4256  df-en 4357  df-dom 4358  df-sdom 4359  df-sup 4554  df-ni 4980  df-pli 4981  df-mi 4982  df-lti 4983  df-plpq 5015  df-mpq 5016  df-enq 5017  df-nq 5018  df-plq 5019  df-mq 5020  df-rq 5021  df-ltq 5022  df-1q 5023  df-np 5066  df-1p 5067  df-plp 5068  df-mp 5069  df-ltp 5070  df-plpr 5144  df-mpr 5145  df-enr 5146  df-nr 5147  df-plr 5148  df-mr 5149  df-ltr 5150  df-0r 5151  df-1r 5152  df-m1r 5153  df-c 5220  df-0 5221  df-1 5222  df-i 5223  df-r 5224  df-plus 5225  df-mul 5226  df-lt 5227  df-sub 5336  df-neg 5338  df-pnf 5467  df-mnf 5468  df-xr 5469  df-ltxr 5470  df-le 5471  df-div 5680  df-n 5881  df-2 5925  df-n0 6055  df-z 6091  df-fl 6180  df-seq1 6253  df-exp 6509  df-sqr 6608  df-re 6690  df-im 6691  df-cj 6692  df-abs 6693

Copyright terms: Public domain