Theorem expge1t 6593

Description: Nonnegative integer exponentiation with a mantissa greater than or equal to 1 is greater than or equal to 1.

Assertion

Ref	Expression
expge1t	|- ((A e. RR /\ N e. NN0 /\ 1 <_ A) -> 1 <_ (A^N))

Proof of Theorem expge1t

Step	Hyp	Ref	Expression
1		expgt1t 6592	. . . . . . 7 |- ((A e. RR /\ N e. NN /\ 1 < A) -> 1 < (A^N))
2	1	3expia 835	. . . . . 6 |- ((A e. RR /\ N e. NN) -> (1 < A -> 1 < (A^N)))
3		opreq1 3968	. . . . . . . . 9 |- (1 = A -> (1^N) = (A^N))
4	3	eqeq2d 1486	. . . . . . . 8 |- (1 = A -> (1 = (1^N) <-> 1 = (A^N)))
5		nnnn0t 6106	. . . . . . . . . 10 |- (N e. NN -> N e. NN0)
6		1expt 6584	. . . . . . . . . 10 |- (N e. NN0 -> (1^N) = 1)
7	5, 6	syl 10	. . . . . . . . 9 |- (N e. NN -> (1^N) = 1)
8	7	eqcomd 1480	. . . . . . . 8 |- (N e. NN -> 1 = (1^N))
9	4, 8	syl5cbi 209	. . . . . . 7 |- (N e. NN -> (1 = A -> 1 = (A^N)))
10	9	adantl 388	. . . . . 6 |- ((A e. RR /\ N e. NN) -> (1 = A -> 1 = (A^N)))
11	2, 10	orim12d 565	. . . . 5 |- ((A e. RR /\ N e. NN) -> ((1 < A \/ 1 = A) -> (1 < (A^N) \/ 1 = (A^N))))
12		1re 5435	. . . . . . 7 |- 1 e. RR
13		leloet 5518	. . . . . . 7 |- ((1 e. RR /\ A e. RR) -> (1 <_ A <-> (1 < A \/ 1 = A)))
14	12, 13	mpan 695	. . . . . 6 |- (A e. RR -> (1 <_ A <-> (1 < A \/ 1 = A)))
15	14	adantr 389	. . . . 5 |- ((A e. RR /\ N e. NN) -> (1 <_ A <-> (1 < A \/ 1 = A)))
16		reexpclt 6580	. . . . . . 7 |- ((A e. RR /\ N e. NN0) -> (A^N) e. RR)
17	16, 5	sylan2 451	. . . . . 6 |- ((A e. RR /\ N e. NN) -> (A^N) e. RR)
18		leloet 5518	. . . . . . 7 |- ((1 e. RR /\ (A^N) e. RR) -> (1 <_ (A^N) <-> (1 < (A^N) \/ 1 = (A^N))))
19	12, 18	mpan 695	. . . . . 6 |- ((A^N) e. RR -> (1 <_ (A^N) <-> (1 < (A^N) \/ 1 = (A^N))))
20	17, 19	syl 10	. . . . 5 |- ((A e. RR /\ N e. NN) -> (1 <_ (A^N) <-> (1 < (A^N) \/ 1 = (A^N))))
21	11, 15, 20	3imtr4d 543	. . . 4 |- ((A e. RR /\ N e. NN) -> (1 <_ A -> 1 <_ (A^N)))
22		opreq2 3969	. . . . . . 7 |- (N = 0 -> (A^N) = (A^0))
23		recnt 5313	. . . . . . . 8 |- (A e. RR -> A e. CC)
24		exp0t 6571	. . . . . . . 8 |- (A e. CC -> (A^0) = 1)
25	23, 24	syl 10	. . . . . . 7 |- (A e. RR -> (A^0) = 1)
26	22, 25	sylan9eqr 1529	. . . . . 6 |- ((A e. RR /\ N = 0) -> (A^N) = 1)
27	12	leid 5610	. . . . . 6 |- 1 <_ 1
28	26, 27	syl5breqr 2651	. . . . 5 |- ((A e. RR /\ N = 0) -> 1 <_ (A^N))
29	28	a1d 12	. . . 4 |- ((A e. RR /\ N = 0) -> (1 <_ A -> 1 <_ (A^N)))
30	21, 29	jaodan 426	. . 3 |- ((A e. RR /\ (N e. NN \/ N = 0)) -> (1 <_ A -> 1 <_ (A^N)))
31		elnn0 6101	. . 3 |- (N e. NN0 <-> (N e. NN \/ N = 0))
32	30, 31	sylan2b 452	. 2 |- ((A e. RR /\ N e. NN0) -> (1 <_ A -> 1 <_ (A^N)))
33	32	3impia 830	1 |- ((A e. RR /\ N e. NN0 /\ 1 <_ A) -> 1 <_ (A^N))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   \/ wo 222   /\ wa 223   /\ w3a 775   = wceq 956   e. wcel 958   class class class wbr 2619  (class class class)co 3963  CCcc 5232  RRcr 5233  0cc0 5234  1c1 5235   <_ cle 5295  NNcn 5296  NN0cn0 5297   < clt 5486  ^cexp 6568

This theorem is referenced by:  exple1t 6607

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-nel 1588  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-en 4368  df-dom 4369  df-sdom 4370  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-mp 5089  df-ltp 5090  df-plpr 5164  df-mpr 5165  df-enr 5166  df-nr 5167  df-plr 5168  df-mr 5169  df-ltr 5170  df-0r 5171  df-1r 5172  df-m1r 5173  df-c 5240  df-0 5241  df-1 5242  df-i 5243  df-r 5244  df-plus 5245  df-mul 5246  df-lt 5247  df-sub 5356  df-neg 5358  df-pnf 5487  df-mnf 5488  df-xr 5489  df-ltxr 5490  df-le 5491  df-n 5925  df-n0 6100  df-z 6136  df-seq1 6308  df-exp 6569

Copyright terms: Public domain