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Theorem expgrowth 27655
Description: Exponential growth and decay model. The derivative of a function y of variable t equals a constant k times y itself, iff y equals some constant C times the exponential of kt. This theorem and expgrowthi 27653 illustrate one of the simplest and most crucial classes of differential equations, equations that relate functions to their derivatives.

Section 6.3 of [Strang] p. 242 calls y' = ky "the most important differential equation in applied mathematics". In the field of population ecology it is known as the Malthusian growth model or exponential law, and C, k, and t correspond to initial population size, growth rate, and time respectively (https://en.wikipedia.org/wiki/Malthusian_growth_model); and in finance, the model appears in a similar role in continuous compounding with C as the initial amount of money. In exponential decay models, k is often expressed as the negative of a positive constant λ.

Here y' is given as  ( S  _D  Y
), C as  c, and ky as  ( ( S  X.  { K }
)  o F  x.  Y ).  ( S  X.  { K } ) is the constant function that maps any real or complex input to k and  o F  x. is multiplication as a function operation.

The leftward direction of the biconditional is as given in http://www.saylor.org/site/wp-content/uploads/2011/06/MA221-2.1.1.pdf pp. 1-2, which also notes the reverse direction ("While we will not prove this here, it turns out that these are the only functions that satisfy this equation."). The rightward direction is Theorem 5.1 of [LarsonHostetlerEdwards] p. 375 (which notes " C is the initial value of y, and k is the proportionality constant. Exponential growth occurs when k > 0, and exponential decay occurs when k < 0."); its proof here closely follows the proof of y' = y in https://proofwiki.org/wiki/Exponential_Growth_Equation/Special_Case.

Statements for this and expgrowthi 27653 formulated by Mario Carneiro. (Contributed by Steve Rodriguez, 24-Nov-2015.)

Hypotheses
Ref Expression
expgrowth.s  |-  ( ph  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
expgrowth.k  |-  ( ph  ->  K  e.  CC )
expgrowth.y  |-  ( ph  ->  Y : S --> CC )
expgrowth.dy  |-  ( ph  ->  dom  ( S  _D  Y )  =  S )
Assertion
Ref Expression
expgrowth  |-  ( ph  ->  ( ( S  _D  Y )  =  ( ( S  X.  { K } )  o F  x.  Y )  <->  E. c  e.  CC  Y  =  ( t  e.  S  |->  ( c  x.  ( exp `  ( K  x.  t
) ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    t, c, K    S, c, t    Y, c
Allowed substitution hints:    ph( t, c)    Y( t)

Proof of Theorem expgrowth
Dummy variables  u  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 expgrowth.s . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
2 cnex 8834 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  CC  e.  _V
32prid2 3748 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  CC  e.  { RR ,  CC }
43a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  CC  e.  { RR ,  CC } )
5 expgrowth.k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  K  e.  CC )
6 recnprss 19270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( S  e.  { RR ,  CC }  ->  S  C_  CC )
71, 6syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  S  C_  CC )
87sseld 3192 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( u  e.  S  ->  u  e.  CC ) )
9 mulcl 8837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( K  e.  CC  /\  u  e.  CC )  ->  ( K  x.  u
)  e.  CC )
105, 8, 9ee12an 1353 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( u  e.  S  ->  ( K  x.  u
)  e.  CC ) )
1110imp 418 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  u  e.  S )  ->  ( K  x.  u )  e.  CC )
1211negcld 9160 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  u  e.  S )  ->  -u ( K  x.  u )  e.  CC )
135negcld 9160 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  -> 
-u K  e.  CC )
1413adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  u  e.  S )  ->  -u K  e.  CC )
15 efcl 12380 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  e.  CC  ->  ( exp `  y )  e.  CC )
1615adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  y  e.  CC )  ->  ( exp `  y )  e.  CC )
175adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  u  e.  S )  ->  K  e.  CC )
188imp 418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  u  e.  S )  ->  u  e.  CC )
19 ax-1cn 8811 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  1  e.  CC
2019a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  u  e.  S )  ->  1  e.  CC )
211dvmptid 19322 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
u  e.  S  |->  u ) )  =  ( u  e.  S  |->  1 ) )
221, 18, 20, 21, 5dvmptcmul 19329 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
u  e.  S  |->  ( K  x.  u ) ) )  =  ( u  e.  S  |->  ( K  x.  1 ) ) )
235mulid1d 8868 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( K  x.  1 )  =  K )
2423mpteq2dv 4123 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( u  e.  S  |->  ( K  x.  1 ) )  =  ( u  e.  S  |->  K ) )
2522, 24eqtrd 2328 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
u  e.  S  |->  ( K  x.  u ) ) )  =  ( u  e.  S  |->  K ) )
261, 11, 17, 25dvmptneg 19331 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
u  e.  S  |->  -u ( K  x.  u
) ) )  =  ( u  e.  S  |-> 
-u K ) )
27 dvef 19343 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( CC 
_D  exp )  =  exp
28 eff 12379 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  exp : CC
--> CC
29 ffn 5405 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( exp
: CC --> CC  ->  exp 
Fn  CC )
3028, 29ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  exp  Fn  CC
31 dffn5 5584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( exp 
Fn  CC  <->  exp  =  ( y  e.  CC  |->  ( exp `  y ) ) )
3230, 31mpbi 199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  exp  =  ( y  e.  CC  |->  ( exp `  y ) )
3332oveq2i 5885 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( CC 
_D  exp )  =  ( CC  _D  ( y  e.  CC  |->  ( exp `  y ) ) )
3427, 33, 323eqtr3i 2324 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( CC 
_D  ( y  e.  CC  |->  ( exp `  y
) ) )  =  ( y  e.  CC  |->  ( exp `  y ) )
3534a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( CC  _D  (
y  e.  CC  |->  ( exp `  y ) ) )  =  ( y  e.  CC  |->  ( exp `  y ) ) )
36 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  -u ( K  x.  u )  ->  ( exp `  y )  =  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) )
371, 4, 12, 14, 16, 16, 26, 35, 36, 36dvmptco 19337 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) )  =  ( u  e.  S  |->  ( ( exp `  -u ( K  x.  u )
)  x.  -u K
) ) )
3837oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( Y  o F  x.  ( S  _D  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) ) )  =  ( Y  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( ( exp `  -u ( K  x.  u )
)  x.  -u K
) ) ) )
39 expgrowth.y . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  Y : S --> CC )
40 efcl 12380 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( -u ( K  x.  u
)  e.  CC  ->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
)  e.  CC )
4112, 40syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  u  e.  S )  ->  ( exp `  -u ( K  x.  u ) )  e.  CC )
4241, 14mulcld 8871 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  u  e.  S )  ->  (
( exp `  -u ( K  x.  u )
)  x.  -u K
)  e.  CC )
43 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( u  e.  S  |->  ( ( exp `  -u ( K  x.  u )
)  x.  -u K
) )  =  ( u  e.  S  |->  ( ( exp `  -u ( K  x.  u )
)  x.  -u K
) )
4442, 43fmptd 5700 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( u  e.  S  |->  ( ( exp `  -u ( K  x.  u )
)  x.  -u K
) ) : S --> CC )
4537feq1d 5395 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( S  _D  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) ) : S --> CC  <->  ( u  e.  S  |->  ( ( exp `  -u ( K  x.  u )
)  x.  -u K
) ) : S --> CC ) )
4644, 45mpbird 223 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) ) : S --> CC )
47 mulcom 8839 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( x  x.  y
)  =  ( y  x.  x ) )
4847adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC ) )  -> 
( x  x.  y
)  =  ( y  x.  x ) )
491, 39, 46, 48caofcom 6125 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( Y  o F  x.  ( S  _D  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) ) )  =  ( ( S  _D  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) )  o F  x.  Y ) )
5038, 49eqtr3d 2330 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( Y  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( ( exp `  -u ( K  x.  u ) )  x.  -u K ) ) )  =  ( ( S  _D  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) )  o F  x.  Y ) )
5150oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( S  _D  Y )  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u ) ) ) )  o F  +  ( Y  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( ( exp `  -u ( K  x.  u )
)  x.  -u K
) ) ) )  =  ( ( ( S  _D  Y )  o F  x.  (
u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) )  o F  +  ( ( S  _D  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u ) ) ) )  o F  x.  Y ) ) )
52 fconst6g 5446 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( -u K  e.  CC  ->  ( S  X.  { -u K } ) : S --> CC )
5313, 52syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( S  X.  { -u K } ) : S --> CC )
54 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u ) ) )  =  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) )
5541, 54fmptd 5700 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) : S --> CC )
561, 53, 55, 48caofcom 6125 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( S  X.  { -u K } )  o F  x.  (
u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) )  =  ( ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) )  o F  x.  ( S  X.  { -u K } ) ) )
57 eqidd 2297 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) )  =  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) )
58 fconstmpt 4748 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( S  X.  { -u K } )  =  ( u  e.  S  |->  -u K )
5958a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( S  X.  { -u K } )  =  ( u  e.  S  |-> 
-u K ) )
601, 41, 14, 57, 59offval2 6111 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) )  o F  x.  ( S  X.  { -u K } ) )  =  ( u  e.  S  |->  ( ( exp `  -u ( K  x.  u )
)  x.  -u K
) ) )
6156, 60eqtrd 2328 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( S  X.  { -u K } )  o F  x.  (
u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) )  =  ( u  e.  S  |->  ( ( exp `  -u ( K  x.  u )
)  x.  -u K
) ) )
6261oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( Y  o F  x.  ( ( S  X.  { -u K } )  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) ) )  =  ( Y  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( ( exp `  -u ( K  x.  u )
)  x.  -u K
) ) ) )
6362oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( S  _D  Y )  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u ) ) ) )  o F  +  ( Y  o F  x.  ( ( S  X.  { -u K } )  o F  x.  (
u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) ) ) )  =  ( ( ( S  _D  Y
)  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) )  o F  +  ( Y  o F  x.  (
u  e.  S  |->  ( ( exp `  -u ( K  x.  u )
)  x.  -u K
) ) ) ) )
64 expgrowth.dy . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  dom  ( S  _D  Y )  =  S )
6537dmeqd 4897 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  dom  ( S  _D  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) )  =  dom  ( u  e.  S  |->  ( ( exp `  -u ( K  x.  u ) )  x.  -u K ) ) )
66 fdm 5409 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( u  e.  S  |->  ( ( exp `  -u ( K  x.  u )
)  x.  -u K
) ) : S --> CC  ->  dom  ( u  e.  S  |->  ( ( exp `  -u ( K  x.  u )
)  x.  -u K
) )  =  S )
6744, 66syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  dom  ( u  e.  S  |->  ( ( exp `  -u ( K  x.  u ) )  x.  -u K ) )  =  S )
6865, 67eqtrd 2328 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  dom  ( S  _D  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) )  =  S )
691, 39, 55, 64, 68dvmulf 19308 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( S  _D  ( Y  o F  x.  (
u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) ) )  =  ( ( ( S  _D  Y )  o F  x.  (
u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) )  o F  +  ( ( S  _D  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u ) ) ) )  o F  x.  Y ) ) )
7051, 63, 693eqtr4rd 2339 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( S  _D  ( Y  o F  x.  (
u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) ) )  =  ( ( ( S  _D  Y )  o F  x.  (
u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) )  o F  +  ( Y  o F  x.  (
( S  X.  { -u K } )  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u ) ) ) ) ) ) )
71 ofmul12 27645 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  Y : S --> CC )  /\  ( ( S  X.  { -u K } ) : S --> CC  /\  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) : S --> CC ) )  ->  ( Y  o F  x.  (
( S  X.  { -u K } )  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u ) ) ) ) )  =  ( ( S  X.  { -u K } )  o F  x.  ( Y  o F  x.  (
u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) ) ) )
721, 39, 53, 55, 71syl22anc 1183 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( Y  o F  x.  ( ( S  X.  { -u K } )  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) ) )  =  ( ( S  X.  { -u K } )  o F  x.  ( Y  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u ) ) ) ) ) )
7372oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( S  _D  Y )  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u ) ) ) )  o F  +  ( Y  o F  x.  ( ( S  X.  { -u K } )  o F  x.  (
u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) ) ) )  =  ( ( ( S  _D  Y
)  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) )  o F  +  ( ( S  X.  { -u K } )  o F  x.  ( Y  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u ) ) ) ) ) ) )
7470, 73eqtrd 2328 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( S  _D  ( Y  o F  x.  (
u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) ) )  =  ( ( ( S  _D  Y )  o F  x.  (
u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) )  o F  +  ( ( S  X.  { -u K } )  o F  x.  ( Y  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u ) ) ) ) ) ) )
75 oveq1 5881 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( S  _D  Y )  =  ( ( S  X.  { K }
)  o F  x.  Y )  ->  (
( S  _D  Y
)  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) )  =  ( ( ( S  X.  { K }
)  o F  x.  Y )  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) ) )
7675oveq1d 5889 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S  _D  Y )  =  ( ( S  X.  { K }
)  o F  x.  Y )  ->  (
( ( S  _D  Y )  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) )  o F  +  ( ( S  X.  { -u K } )  o F  x.  ( Y  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u ) ) ) ) ) )  =  ( ( ( ( S  X.  { K } )  o F  x.  Y )  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u ) ) ) )  o F  +  ( ( S  X.  { -u K } )  o F  x.  ( Y  o F  x.  (
u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) ) ) ) )
7774, 76sylan9eq 2348 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( S  _D  Y )  =  ( ( S  X.  { K } )  o F  x.  Y ) )  ->  ( S  _D  ( Y  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) ) )  =  ( ( ( ( S  X.  { K } )  o F  x.  Y )  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u ) ) ) )  o F  +  ( ( S  X.  { -u K } )  o F  x.  ( Y  o F  x.  (
u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) ) ) ) )
78 mulass 8841 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  (
( x  x.  y
)  x.  z )  =  ( x  x.  ( y  x.  z
) ) )
7978adantl 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC  /\  z  e.  CC ) )  -> 
( ( x  x.  y )  x.  z
)  =  ( x  x.  ( y  x.  z ) ) )
801, 53, 39, 55, 79caofass 6127 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( S  X.  { -u K } )  o F  x.  Y )  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u ) ) ) )  =  ( ( S  X.  { -u K } )  o F  x.  ( Y  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u ) ) ) ) ) )
8180oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( S  X.  { K } )  o F  x.  Y )  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u ) ) ) )  o F  +  ( ( ( S  X.  { -u K } )  o F  x.  Y )  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u ) ) ) ) )  =  ( ( ( ( S  X.  { K }
)  o F  x.  Y )  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) )  o F  +  ( ( S  X.  { -u K } )  o F  x.  ( Y  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u ) ) ) ) ) ) )
8281eqeq2d 2307 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( S  _D  ( Y  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) ) )  =  ( ( ( ( S  X.  { K } )  o F  x.  Y )  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u ) ) ) )  o F  +  ( ( ( S  X.  { -u K } )  o F  x.  Y )  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u ) ) ) ) )  <->  ( S  _D  ( Y  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) ) )  =  ( ( ( ( S  X.  { K } )  o F  x.  Y )  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u ) ) ) )  o F  +  ( ( S  X.  { -u K } )  o F  x.  ( Y  o F  x.  (
u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) ) ) ) ) )
8382adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( S  _D  Y )  =  ( ( S  X.  { K } )  o F  x.  Y ) )  ->  ( ( S  _D  ( Y  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u ) ) ) ) )  =  ( ( ( ( S  X.  { K }
)  o F  x.  Y )  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) )  o F  +  ( ( ( S  X.  { -u K } )  o F  x.  Y )  o F  x.  (
u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) ) )  <-> 
( S  _D  ( Y  o F  x.  (
u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) ) )  =  ( ( ( ( S  X.  { K } )  o F  x.  Y )  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u ) ) ) )  o F  +  ( ( S  X.  { -u K } )  o F  x.  ( Y  o F  x.  (
u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) ) ) ) ) )
8477, 83mpbird 223 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( S  _D  Y )  =  ( ( S  X.  { K } )  o F  x.  Y ) )  ->  ( S  _D  ( Y  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) ) )  =  ( ( ( ( S  X.  { K } )  o F  x.  Y )  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u ) ) ) )  o F  +  ( ( ( S  X.  { -u K } )  o F  x.  Y )  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u ) ) ) ) ) )
85 mulcl 8837 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( x  x.  y
)  e.  CC )
8685adantl 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC ) )  -> 
( x  x.  y
)  e.  CC )
87 fconst6g 5446 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( K  e.  CC  ->  ( S  X.  { K }
) : S --> CC )
885, 87syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( S  X.  { K } ) : S --> CC )
89 inidm 3391 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( S  i^i  S )  =  S
9086, 88, 39, 1, 1, 89off 6109 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( S  X.  { K } )  o F  x.  Y ) : S --> CC )
9186, 53, 39, 1, 1, 89off 6109 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( S  X.  { -u K } )  o F  x.  Y
) : S --> CC )
92 adddir 8846 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  (
( x  +  y )  x.  z )  =  ( ( x  x.  z )  +  ( y  x.  z
) ) )
9392adantl 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC  /\  z  e.  CC ) )  -> 
( ( x  +  y )  x.  z
)  =  ( ( x  x.  z )  +  ( y  x.  z ) ) )
941, 55, 90, 91, 93caofdir 6130 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( S  X.  { K } )  o F  x.  Y )  o F  +  ( ( S  X.  { -u K } )  o F  x.  Y ) )  o F  x.  (
u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) )  =  ( ( ( ( S  X.  { K } )  o F  x.  Y )  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u ) ) ) )  o F  +  ( ( ( S  X.  { -u K } )  o F  x.  Y )  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u ) ) ) ) ) )
9594eqeq2d 2307 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( S  _D  ( Y  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) ) )  =  ( ( ( ( S  X.  { K } )  o F  x.  Y )  o F  +  ( ( S  X.  { -u K } )  o F  x.  Y ) )  o F  x.  (
u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) )  <->  ( S  _D  ( Y  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) ) )  =  ( ( ( ( S  X.  { K } )  o F  x.  Y )  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u ) ) ) )  o F  +  ( ( ( S  X.  { -u K } )  o F  x.  Y )  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u ) ) ) ) ) ) )
9695adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( S  _D  Y )  =  ( ( S  X.  { K } )  o F  x.  Y ) )  ->  ( ( S  _D  ( Y  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u ) ) ) ) )  =  ( ( ( ( S  X.  { K }
)  o F  x.  Y )  o F  +  ( ( S  X.  { -u K } )  o F  x.  Y ) )  o F  x.  (
u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) )  <->  ( S  _D  ( Y  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) ) )  =  ( ( ( ( S  X.  { K } )  o F  x.  Y )  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u ) ) ) )  o F  +  ( ( ( S  X.  { -u K } )  o F  x.  Y )  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u ) ) ) ) ) ) )
9784, 96mpbird 223 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( S  _D  Y )  =  ( ( S  X.  { K } )  o F  x.  Y ) )  ->  ( S  _D  ( Y  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) ) )  =  ( ( ( ( S  X.  { K } )  o F  x.  Y )  o F  +  ( ( S  X.  { -u K } )  o F  x.  Y ) )  o F  x.  (
u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) ) )
98 ofnegsub 9760 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  (
( S  X.  { K } )  o F  x.  Y ) : S --> CC  /\  (
( S  X.  { K } )  o F  x.  Y ) : S --> CC )  -> 
( ( ( S  X.  { K }
)  o F  x.  Y )  o F  +  ( ( S  X.  { -u 1 } )  o F  x.  ( ( S  X.  { K }
)  o F  x.  Y ) ) )  =  ( ( ( S  X.  { K } )  o F  x.  Y )  o F  -  ( ( S  X.  { K } )  o F  x.  Y ) ) )
991, 90, 90, 98syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( S  X.  { K }
)  o F  x.  Y )  o F  +  ( ( S  X.  { -u 1 } )  o F  x.  ( ( S  X.  { K }
)  o F  x.  Y ) ) )  =  ( ( ( S  X.  { K } )  o F  x.  Y )  o F  -  ( ( S  X.  { K } )  o F  x.  Y ) ) )
100 neg1cn 9829 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  -u 1  e.  CC
101100fconst6 5447 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( S  X.  { -u 1 } ) : S --> CC
102101a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( S  X.  { -u 1 } ) : S --> CC )
1031, 102, 88, 39, 79caofass 6127 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( ( S  X.  { -u 1 } )  o F  x.  ( S  X.  { K } ) )  o F  x.  Y
)  =  ( ( S  X.  { -u
1 } )  o F  x.  ( ( S  X.  { K } )  o F  x.  Y ) ) )
104100a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  -> 
-u 1  e.  CC )
1051, 104, 5ofc12 6118 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( S  X.  { -u 1 } )  o F  x.  ( S  X.  { K }
) )  =  ( S  X.  { (
-u 1  x.  K
) } ) )
1065mulm1d 9247 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( -u 1  x.  K )  =  -u K )
107106sneqd 3666 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  { ( -u 1  x.  K ) }  =  { -u K } )
108107xpeq2d 4729 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( S  X.  {
( -u 1  x.  K
) } )  =  ( S  X.  { -u K } ) )
109105, 108eqtrd 2328 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( S  X.  { -u 1 } )  o F  x.  ( S  X.  { K }
) )  =  ( S  X.  { -u K } ) )
110109oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( ( S  X.  { -u 1 } )  o F  x.  ( S  X.  { K } ) )  o F  x.  Y
)  =  ( ( S  X.  { -u K } )  o F  x.  Y ) )
111103, 110eqtr3d 2330 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( S  X.  { -u 1 } )  o F  x.  (
( S  X.  { K } )  o F  x.  Y ) )  =  ( ( S  X.  { -u K } )  o F  x.  Y ) )
112111oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( S  X.  { K }
)  o F  x.  Y )  o F  +  ( ( S  X.  { -u 1 } )  o F  x.  ( ( S  X.  { K }
)  o F  x.  Y ) ) )  =  ( ( ( S  X.  { K } )  o F  x.  Y )  o F  +  ( ( S  X.  { -u K } )  o F  x.  Y ) ) )
113 ofsubid 27644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  (
( S  X.  { K } )  o F  x.  Y ) : S --> CC )  -> 
( ( ( S  X.  { K }
)  o F  x.  Y )  o F  -  ( ( S  X.  { K }
)  o F  x.  Y ) )  =  ( S  X.  {
0 } ) )
1141, 90, 113syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( S  X.  { K }
)  o F  x.  Y )  o F  -  ( ( S  X.  { K }
)  o F  x.  Y ) )  =  ( S  X.  {
0 } ) )
11599, 112, 1143eqtr3d 2336 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( S  X.  { K }
)  o F  x.  Y )  o F  +  ( ( S  X.  { -u K } )  o F  x.  Y ) )  =  ( S  X.  { 0 } ) )
116115oveq1d 5889 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( S  X.  { K } )  o F  x.  Y )  o F  +  ( ( S  X.  { -u K } )  o F  x.  Y ) )  o F  x.  (
u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) )  =  ( ( S  X.  { 0 } )  o F  x.  (
u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) ) )
117116eqeq2d 2307 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( S  _D  ( Y  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) ) )  =  ( ( ( ( S  X.  { K } )  o F  x.  Y )  o F  +  ( ( S  X.  { -u K } )  o F  x.  Y ) )  o F  x.  (
u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) )  <->  ( S  _D  ( Y  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) ) )  =  ( ( S  X.  { 0 } )  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) ) ) )
118117adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( S  _D  Y )  =  ( ( S  X.  { K } )  o F  x.  Y ) )  ->  ( ( S  _D  ( Y  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u ) ) ) ) )  =  ( ( ( ( S  X.  { K }
)  o F  x.  Y )  o F  +  ( ( S  X.  { -u K } )  o F  x.  Y ) )  o F  x.  (
u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) )  <->  ( S  _D  ( Y  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) ) )  =  ( ( S  X.  { 0 } )  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) ) ) )
11997, 118mpbid 201 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( S  _D  Y )  =  ( ( S  X.  { K } )  o F  x.  Y ) )  ->  ( S  _D  ( Y  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) ) )  =  ( ( S  X.  { 0 } )  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) ) )
120 0cn 8847 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  CC
121120a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  0  e.  CC )
122 mul02 9006 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  CC  ->  (
0  x.  x )  =  0 )
123122adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC )  ->  ( 0  x.  x )  =  0 )
1241, 55, 121, 121, 123caofid2 6124 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( S  X.  { 0 } )  o F  x.  (
u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) )  =  ( S  X.  {
0 } ) )
125124adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( S  _D  Y )  =  ( ( S  X.  { K } )  o F  x.  Y ) )  ->  ( ( S  X.  { 0 } )  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) )  =  ( S  X.  {
0 } ) )
126119, 125eqtrd 2328 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( S  _D  Y )  =  ( ( S  X.  { K } )  o F  x.  Y ) )  ->  ( S  _D  ( Y  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) ) )  =  ( S  X.  { 0 } ) )
1271adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( S  _D  Y )  =  ( ( S  X.  { K } )  o F  x.  Y ) )  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
12886, 39, 55, 1, 1, 89off 6109 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( Y  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) ) : S --> CC )
129128adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( S  _D  Y )  =  ( ( S  X.  { K } )  o F  x.  Y ) )  ->  ( Y  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u ) ) ) ) : S --> CC )
130126dmeqd 4897 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( S  _D  Y )  =  ( ( S  X.  { K } )  o F  x.  Y ) )  ->  dom  ( S  _D  ( Y  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) ) )  =  dom  ( S  X.  { 0 } ) )
131120fconst6 5447 . . . . . . . . 9  |-  ( S  X.  { 0 } ) : S --> CC
132131fdmi 5410 . . . . . . . 8  |-  dom  ( S  X.  { 0 } )  =  S
133130, 132syl6eq 2344 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( S  _D  Y )  =  ( ( S  X.  { K } )  o F  x.  Y ) )  ->  dom  ( S  _D  ( Y  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) ) )  =  S )
134127, 129, 133dvconstbi 27654 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( S  _D  Y )  =  ( ( S  X.  { K } )  o F  x.  Y ) )  ->  ( ( S  _D  ( Y  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u ) ) ) ) )  =  ( S  X.  { 0 } )  <->  E. x  e.  CC  ( Y  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u ) ) ) )  =  ( S  X.  { x }
) ) )
135126, 134mpbid 201 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( S  _D  Y )  =  ( ( S  X.  { K } )  o F  x.  Y ) )  ->  E. x  e.  CC  ( Y  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) )  =  ( S  X.  {
x } ) )
136 oveq1 5881 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Y  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) )  =  ( S  X.  {
x } )  -> 
( ( Y  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u ) ) ) )  o F  / 
( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) )  =  ( ( S  X.  { x } )  o F  /  (
u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) ) )
137 efne0 12393 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -u ( K  x.  u
)  e.  CC  ->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
)  =/=  0 )
138 eldifsn 3762 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( exp `  -u ( K  x.  u )
)  e.  ( CC 
\  { 0 } )  <->  ( ( exp `  -u ( K  x.  u ) )  e.  CC  /\  ( exp `  -u ( K  x.  u ) )  =/=  0 ) )
13940, 137, 138sylanbrc 645 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -u ( K  x.  u
)  e.  CC  ->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
)  e.  ( CC 
\  { 0 } ) )
14012, 139syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  u  e.  S )  ->  ( exp `  -u ( K  x.  u ) )  e.  ( CC  \  {
0 } ) )
141140, 54fmptd 5700 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) : S --> ( CC  \  { 0 } ) )
142 ofdivcan4 27647 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  Y : S --> CC  /\  (
u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) : S --> ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( ( Y  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u ) ) ) )  o F  / 
( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) )  =  Y )
1431, 39, 141, 142syl3anc 1182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( Y  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u ) ) ) )  o F  / 
( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) )  =  Y )
144143eqeq1d 2304 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( Y  o F  x.  (
u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) )  o F  /  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u ) ) ) )  =  ( ( S  X.  { x } )  o F  /  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) )  <->  Y  =  ( ( S  X.  { x } )  o F  /  (
u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) ) ) )
145136, 144syl5ib 210 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( Y  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u ) ) ) )  =  ( S  X.  { x }
)  ->  Y  =  ( ( S  X.  { x } )  o F  /  (
u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) ) ) )
146145adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC )  ->  ( ( Y  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) )  =  ( S  X.  {
x } )  ->  Y  =  ( ( S  X.  { x }
)  o F  / 
( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) ) ) )
147 vex 2804 . . . . . . . . . . . . 13  |-  x  e. 
_V
148147a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  u  e.  S )  ->  x  e.  _V )
149 ovex 5899 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1  /  ( exp `  ( K  x.  u )
) )  e.  _V
150149a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  u  e.  S )  ->  (
1  /  ( exp `  ( K  x.  u
) ) )  e. 
_V )
151 fconstmpt 4748 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( S  X.  { x }
)  =  ( u  e.  S  |->  x )
152151a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( S  X.  {
x } )  =  ( u  e.  S  |->  x ) )
153 efneg 12394 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  x.  u )  e.  CC  ->  ( exp `  -u ( K  x.  u ) )  =  ( 1  /  ( exp `  ( K  x.  u ) ) ) )
15411, 153syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  u  e.  S )  ->  ( exp `  -u ( K  x.  u ) )  =  ( 1  /  ( exp `  ( K  x.  u ) ) ) )
155154mpteq2dva 4122 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) )  =  ( u  e.  S  |->  ( 1  /  ( exp `  ( K  x.  u
) ) ) ) )
1561, 148, 150, 152, 155offval2 6111 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( S  X.  { x } )  o F  /  (
u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) )  =  ( u  e.  S  |->  ( x  /  (
1  /  ( exp `  ( K  x.  u
) ) ) ) ) )
157156adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC )  ->  ( ( S  X.  { x } )  o F  /  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) )  =  ( u  e.  S  |->  ( x  /  (
1  /  ( exp `  ( K  x.  u
) ) ) ) ) )
158 efcl 12380 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( K  x.  u )  e.  CC  ->  ( exp `  ( K  x.  u ) )  e.  CC )
159 efne0 12393 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( K  x.  u )  e.  CC  ->  ( exp `  ( K  x.  u ) )  =/=  0 )
160158, 159jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( K  x.  u )  e.  CC  ->  (
( exp `  ( K  x.  u )
)  e.  CC  /\  ( exp `  ( K  x.  u ) )  =/=  0 ) )
16111, 160syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  u  e.  S )  ->  (
( exp `  ( K  x.  u )
)  e.  CC  /\  ( exp `  ( K  x.  u ) )  =/=  0 ) )
162 ax-1ne0 8822 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  1  =/=  0
16319, 162pm3.2i 441 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 1  e.  CC  /\  1  =/=  0 )
164 divdiv2 9488 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( 1  e.  CC  /\  1  =/=  0 )  /\  ( ( exp `  ( K  x.  u
) )  e.  CC  /\  ( exp `  ( K  x.  u )
)  =/=  0 ) )  ->  ( x  /  ( 1  / 
( exp `  ( K  x.  u )
) ) )  =  ( ( x  x.  ( exp `  ( K  x.  u )
) )  /  1
) )
165163, 164mp3an2 1265 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( ( exp `  ( K  x.  u )
)  e.  CC  /\  ( exp `  ( K  x.  u ) )  =/=  0 ) )  ->  ( x  / 
( 1  /  ( exp `  ( K  x.  u ) ) ) )  =  ( ( x  x.  ( exp `  ( K  x.  u
) ) )  / 
1 ) )
166161, 165sylan2 460 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( ph  /\  u  e.  S ) )  -> 
( x  /  (
1  /  ( exp `  ( K  x.  u
) ) ) )  =  ( ( x  x.  ( exp `  ( K  x.  u )
) )  /  1
) )
16711, 158syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  u  e.  S )  ->  ( exp `  ( K  x.  u ) )  e.  CC )
168 mulcl 8837 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( exp `  ( K  x.  u ) )  e.  CC )  -> 
( x  x.  ( exp `  ( K  x.  u ) ) )  e.  CC )
169167, 168sylan2 460 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( ph  /\  u  e.  S ) )  -> 
( x  x.  ( exp `  ( K  x.  u ) ) )  e.  CC )
170169div1d 9544 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( ph  /\  u  e.  S ) )  -> 
( ( x  x.  ( exp `  ( K  x.  u )
) )  /  1
)  =  ( x  x.  ( exp `  ( K  x.  u )
) ) )
171166, 170eqtrd 2328 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( ph  /\  u  e.  S ) )  -> 
( x  /  (
1  /  ( exp `  ( K  x.  u
) ) ) )  =  ( x  x.  ( exp `  ( K  x.  u )
) ) )
172171ancoms 439 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  S )  /\  x  e.  CC )  ->  (
x  /  ( 1  /  ( exp `  ( K  x.  u )
) ) )  =  ( x  x.  ( exp `  ( K  x.  u ) ) ) )
173172an32s 779 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  u  e.  S )  ->  (
x  /  ( 1  /  ( exp `  ( K  x.  u )
) ) )  =  ( x  x.  ( exp `  ( K  x.  u ) ) ) )
174173mpteq2dva 4122 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC )  ->  ( u  e.  S  |->  ( x  /  ( 1  / 
( exp `  ( K  x.  u )
) ) ) )  =  ( u  e.  S  |->  ( x  x.  ( exp `  ( K  x.  u )
) ) ) )
175157, 174eqtrd 2328 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC )  ->  ( ( S  X.  { x } )  o F  /  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) )  =  ( u  e.  S  |->  ( x  x.  ( exp `  ( K  x.  u ) ) ) ) )
176175eqeq2d 2307 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC )  ->  ( Y  =  ( ( S  X.  { x }
)  o F  / 
( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) )  <->  Y  =  ( u  e.  S  |->  ( x  x.  ( exp `  ( K  x.  u ) ) ) ) ) )
177146, 176sylibd 205 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC )  ->  ( ( Y  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u )
) ) )  =  ( S  X.  {
x } )  ->  Y  =  ( u  e.  S  |->  ( x  x.  ( exp `  ( K  x.  u )
) ) ) ) )
178177reximdva 2668 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( E. x  e.  CC  ( Y  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u ) ) ) )  =  ( S  X.  { x }
)  ->  E. x  e.  CC  Y  =  ( u  e.  S  |->  ( x  x.  ( exp `  ( K  x.  u
) ) ) ) ) )
179178adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( S  _D  Y )  =  ( ( S  X.  { K } )  o F  x.  Y ) )  ->  ( E. x  e.  CC  ( Y  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( exp `  -u ( K  x.  u ) ) ) )  =  ( S  X.  { x }
)  ->  E. x  e.  CC  Y  =  ( u  e.  S  |->  ( x  x.  ( exp `  ( K  x.  u
) ) ) ) ) )
180135, 179mpd 14 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( S  _D  Y )  =  ( ( S  X.  { K } )  o F  x.  Y ) )  ->  E. x  e.  CC  Y  =  ( u  e.  S  |->  ( x  x.  ( exp `  ( K  x.  u )
) ) ) )
181180ex 423 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( S  _D  Y )  =  ( ( S  X.  { K } )  o F  x.  Y )  ->  E. x  e.  CC  Y  =  ( u  e.  S  |->  ( x  x.  ( exp `  ( K  x.  u )
) ) ) ) )
1821adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  Y  =  ( u  e.  S  |->  ( x  x.  ( exp `  ( K  x.  u ) ) ) ) ) )  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
1835adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  Y  =  ( u  e.  S  |->  ( x  x.  ( exp `  ( K  x.  u ) ) ) ) ) )  ->  K  e.  CC )
184 simprl 732 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  Y  =  ( u  e.  S  |->  ( x  x.  ( exp `  ( K  x.  u ) ) ) ) ) )  ->  x  e.  CC )
185 eqid 2296 . . . . . . 7  |-  ( u  e.  S  |->  ( x  x.  ( exp `  ( K  x.  u )
) ) )  =  ( u  e.  S  |->  ( x  x.  ( exp `  ( K  x.  u ) ) ) )
186182, 183, 184, 185expgrowthi 27653 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  Y  =  ( u  e.  S  |->  ( x  x.  ( exp `  ( K  x.  u ) ) ) ) ) )  -> 
( S  _D  (
u  e.  S  |->  ( x  x.  ( exp `  ( K  x.  u
) ) ) ) )  =  ( ( S  X.  { K } )  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( x  x.  ( exp `  ( K  x.  u )
) ) ) ) )
1871863impb 1147 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC  /\  Y  =  ( u  e.  S  |->  ( x  x.  ( exp `  ( K  x.  u
) ) ) ) )  ->  ( S  _D  ( u  e.  S  |->  ( x  x.  ( exp `  ( K  x.  u ) ) ) ) )  =  ( ( S  X.  { K } )  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( x  x.  ( exp `  ( K  x.  u )
) ) ) ) )
188 oveq2 5882 . . . . . . 7  |-  ( Y  =  ( u  e.  S  |->  ( x  x.  ( exp `  ( K  x.  u )
) ) )  -> 
( S  _D  Y
)  =  ( S  _D  ( u  e.  S  |->  ( x  x.  ( exp `  ( K  x.  u )
) ) ) ) )
189 oveq2 5882 . . . . . . 7  |-  ( Y  =  ( u  e.  S  |->  ( x  x.  ( exp `  ( K  x.  u )
) ) )  -> 
( ( S  X.  { K } )  o F  x.  Y )  =  ( ( S  X.  { K }
)  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( x  x.  ( exp `  ( K  x.  u ) ) ) ) ) )
190188, 189eqeq12d 2310 . . . . . 6  |-  ( Y  =  ( u  e.  S  |->  ( x  x.  ( exp `  ( K  x.  u )
) ) )  -> 
( ( S  _D  Y )  =  ( ( S  X.  { K } )  o F  x.  Y )  <->  ( S  _D  ( u  e.  S  |->  ( x  x.  ( exp `  ( K  x.  u ) ) ) ) )  =  ( ( S  X.  { K } )  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( x  x.  ( exp `  ( K  x.  u )
) ) ) ) ) )
1911903ad2ant3 978 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC  /\  Y  =  ( u  e.  S  |->  ( x  x.  ( exp `  ( K  x.  u
) ) ) ) )  ->  ( ( S  _D  Y )  =  ( ( S  X.  { K } )  o F  x.  Y )  <-> 
( S  _D  (
u  e.  S  |->  ( x  x.  ( exp `  ( K  x.  u
) ) ) ) )  =  ( ( S  X.  { K } )  o F  x.  ( u  e.  S  |->  ( x  x.  ( exp `  ( K  x.  u )
) ) ) ) ) )
192187, 191mpbird 223 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC  /\  Y  =  ( u  e.  S  |->  ( x  x.  ( exp `  ( K  x.  u
) ) ) ) )  ->  ( S  _D  Y )  =  ( ( S  X.  { K } )  o F  x.  Y ) )
193192rexlimdv3a 2682 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. x  e.  CC  Y  =  ( u  e.  S  |->  ( x  x.  ( exp `  ( K  x.  u
) ) ) )  ->  ( S  _D  Y )  =  ( ( S  X.  { K } )  o F  x.  Y ) ) )
194181, 193impbid 183 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( S  _D  Y )  =  ( ( S  X.  { K } )  o F  x.  Y )  <->  E. x  e.  CC  Y  =  ( u  e.  S  |->  ( x  x.  ( exp `  ( K  x.  u
) ) ) ) ) )
195 oveq2 5882 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  t  ->  ( K  x.  u )  =  ( K  x.  t ) )
196195fveq2d 5545 . . . . . . 7  |-  ( u  =  t  ->  ( exp `  ( K  x.  u ) )  =  ( exp `  ( K  x.  t )
) )
197196oveq2d 5890 . . . . . 6  |-  ( u  =  t  ->  (
x  x.  ( exp `  ( K  x.  u
) ) )  =  ( x  x.  ( exp `  ( K  x.  t ) ) ) )
198197cbvmptv 4127 . . . . 5  |-  ( u  e.  S  |->  ( x  x.  ( exp `  ( K  x.  u )
) ) )  =  ( t  e.  S  |->  ( x  x.  ( exp `  ( K  x.  t ) ) ) )
199 oveq1 5881 . . . . . 6  |-  ( x  =  c  ->  (
x  x.  ( exp `  ( K  x.  t
) ) )  =  ( c  x.  ( exp `  ( K  x.  t ) ) ) )
200199mpteq2dv 4123 . . . . 5  |-  ( x  =  c  ->  (
t  e.  S  |->  ( x  x.  ( exp `  ( K  x.  t
) ) ) )  =  ( t  e.  S  |->  ( c  x.  ( exp `  ( K  x.  t )
) ) ) )
201198, 200syl5eq 2340 . . . 4  |-  ( x  =  c  ->  (
u  e.  S  |->  ( x  x.  ( exp `  ( K  x.  u
) ) ) )  =  ( t  e.  S  |->  ( c  x.  ( exp `  ( K  x.  t )
) ) ) )
202201eqeq2d 2307 . . 3  |-  ( x  =  c  ->  ( Y  =  ( u  e.  S  |->  ( x  x.  ( exp `  ( K  x.  u )
) ) )  <->  Y  =  ( t  e.  S  |->  ( c  x.  ( exp `  ( K  x.  t ) ) ) ) ) )
203202cbvrexv 2778 . 2  |-  ( E. x  e.  CC  Y  =  ( u  e.  S  |->  ( x  x.  ( exp `  ( K  x.  u )
) ) )  <->  E. c  e.  CC  Y  =  ( t  e.  S  |->  ( c  x.  ( exp `  ( K  x.  t
) ) ) ) )
204194, 203syl6bb 252 1  |-  ( ph  ->  ( ( S  _D  Y )  =  ( ( S  X.  { K } )  o F  x.  Y )  <->  E. c  e.  CC  Y  =  ( t  e.  S  |->  ( c  x.  ( exp `  ( K  x.  t
) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   E.wrex 2557   _Vcvv 2801    \ cdif 3162    C_ wss 3165   {csn 3653   {cpr 3654    e. cmpt 4093    X. cxp 4703   dom cdm 4705    Fn wfn 5266   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    o Fcof 6092   CCcc 8751   RRcr 8752   0cc0 8753   1c1 8754    + caddc 8756    x. cmul 8758    - cmin 9053   -ucneg 9054    / cdiv 9439   expce 12359    _D cdv 19229
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831  ax-addf 8832  ax-mulf 8833
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-pm 6791  df-ixp 6834  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-fi 7181  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-ioo 10676  df-ico 10678  df-icc 10679  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-fl 10941  df-seq 11063  df-exp 11121  df-fac 11305  df-bc 11332  df-hash 11354  df-shft 11578  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-limsup 11961  df-clim 11978  df-rlim 11979  df-sum 12175  df-ef 12365  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-starv 13239  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ds 13246  df-hom 13248  df-cco 13249  df-rest 13343  df-topn 13344  df-topgen 13360  df-pt 13361  df-prds 13364  df-xrs 13419  df-0g 13420  df-gsum 13421  df-qtop 13426  df-imas 13427  df-xps 13429  df-mre 13504  df-mrc 13505  df-acs 13507  df-mnd 14383  df-submnd 14432  df-mulg 14508  df-cntz 14809  df-cmn 15107  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-mopn 16392  df-cnfld 16394  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-topsp 16656  df-cld 16772  df-ntr 16773  df-cls 16774  df-nei 16851  df-lp 16884  df-perf 16885  df-cn 16973  df-cnp 16974  df-haus 17059  df-cmp 17130  df-tx 17273  df-hmeo 17462  df-fbas 17536  df-fg 17537  df-fil 17557  df-fm 17649  df-flim 17650  df-flf 17651  df-xms 17901  df-ms 17902  df-tms 17903  df-cncf 18398  df-limc 19232  df-dv 19233
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