Theorem exple1t 6546

Description: Nonnegative integer exponentiation with a mantissa between 0 and 1 inclusive is less than or equal to 1. (Contributed by Paul Chapman, 29-Dec-2007.)

Assertion

Ref	Expression
exple1t	|- (((A e. RR /\ 0 <_ A /\ A <_ 1) /\ N e. NN0) -> (A^N) <_ 1)

Proof of Theorem exple1t

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 5420	. . . . . 6 |- 0 e. RR
2		leloet 5499	. . . . . 6 |- ((0 e. RR /\ A e. RR) -> (0 <_ A <-> (0 < A \/ 0 = A)))
3	1, 2	mpan 694	. . . . 5 |- (A e. RR -> (0 <_ A <-> (0 < A \/ 0 = A)))
4	3	biimpa 416	. . . 4 |- ((A e. RR /\ 0 <_ A) -> (0 < A \/ 0 = A))
5		expge1t 6532	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((1 / A) e. RR /\ N e. NN0 /\ 1 <_ (1 / A)) -> 1 <_ ((1 / A)^N))
6	5	3com23 838	. . . . . . . . . . . 12 |- (((1 / A) e. RR /\ 1 <_ (1 / A) /\ N e. NN0) -> 1 <_ ((1 / A)^N))
7	6	3expa 832	. . . . . . . . . . 11 |- ((((1 / A) e. RR /\ 1 <_ (1 / A)) /\ N e. NN0) -> 1 <_ ((1 / A)^N))
8		rerecclt 5767	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((A e. RR /\ A =/= 0) -> (1 / A) e. RR)
9		3simp1 787	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((A e. RR /\ 0 < A /\ A <_ 1) -> A e. RR)
10		gt0ne0t 5600	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((A e. RR /\ 0 < A) -> A =/= 0)
11	10	3adant3 798	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((A e. RR /\ 0 < A /\ A <_ 1) -> A =/= 0)
12	8, 9, 11	sylanc 471	. . . . . . . . . . . 12 |- ((A e. RR /\ 0 < A /\ A <_ 1) -> (1 / A) e. RR)
13		3simp3 789	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((A e. RR /\ 0 < A /\ A <_ 1) -> A <_ 1)
14		1re 5415	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 1 e. RR
15		lt01 5661	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 0 < 1
16		lerec2t 5845	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (((1 e. RR /\ 0 < 1) /\ (A e. RR /\ 0 < A)) -> (1 <_ (1 / A) <-> A <_ (1 / 1)))
17	14, 15, 16	mpanl12 707	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((A e. RR /\ 0 < A) -> (1 <_ (1 / A) <-> A <_ (1 / 1)))
18	17	3adant3 798	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((A e. RR /\ 0 < A /\ A <_ 1) -> (1 <_ (1 / A) <-> A <_ (1 / 1)))
19		ax1cn 5249	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 1 e. CC
20	19	div1 5736	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (1 / 1) = 1
21	20	breq2i 2622	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (A <_ (1 / 1) <-> A <_ 1)
22	18, 21	syl6bb 535	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((A e. RR /\ 0 < A /\ A <_ 1) -> (1 <_ (1 / A) <-> A <_ 1))
23	13, 22	mpbird 196	. . . . . . . . . . . 12 |- ((A e. RR /\ 0 < A /\ A <_ 1) -> 1 <_ (1 / A))
24	12, 23	jca 288	. . . . . . . . . . 11 |- ((A e. RR /\ 0 < A /\ A <_ 1) -> ((1 / A) e. RR /\ 1 <_ (1 / A)))
25	7, 24	sylan 448	. . . . . . . . . 10 |- (((A e. RR /\ 0 < A /\ A <_ 1) /\ N e. NN0) -> 1 <_ ((1 / A)^N))
26		recexpt 6534	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((A e. CC /\ N e. NN0 /\ A =/= 0) -> ((1 / A)^N) = (1 / (A^N)))
27	26	3com23 838	. . . . . . . . . . . 12 |- ((A e. CC /\ A =/= 0 /\ N e. NN0) -> ((1 / A)^N) = (1 / (A^N)))
28	27	3expa 832	. . . . . . . . . . 11 |- (((A e. CC /\ A =/= 0) /\ N e. NN0) -> ((1 / A)^N) = (1 / (A^N)))
29	9	recnd 5295	. . . . . . . . . . . 12 |- ((A e. RR /\ 0 < A /\ A <_ 1) -> A e. CC)
30	29, 11	jca 288	. . . . . . . . . . 11 |- ((A e. RR /\ 0 < A /\ A <_ 1) -> (A e. CC /\ A =/= 0))
31	28, 30	sylan 448	. . . . . . . . . 10 |- (((A e. RR /\ 0 < A /\ A <_ 1) /\ N e. NN0) -> ((1 / A)^N) = (1 / (A^N)))
32	25, 31	breqtrd 2634	. . . . . . . . 9 |- (((A e. RR /\ 0 < A /\ A <_ 1) /\ N e. NN0) -> 1 <_ (1 / (A^N)))
33		lerec2t 5845	. . . . . . . . . . 11 |- (((1 e. RR /\ 0 < 1) /\ ((A^N) e. RR /\ 0 < (A^N))) -> (1 <_ (1 / (A^N)) <-> (A^N) <_ (1 / 1)))
34	14, 15, 33	mpanl12 707	. . . . . . . . . 10 |- (((A^N) e. RR /\ 0 < (A^N)) -> (1 <_ (1 / (A^N)) <-> (A^N) <_ (1 / 1)))
35		reexpclt 6520	. . . . . . . . . . 11 |- ((A e. RR /\ N e. NN0) -> (A^N) e. RR)
36	35	3ad2antl1 808	. . . . . . . . . 10 |- (((A e. RR /\ 0 < A /\ A <_ 1) /\ N e. NN0) -> (A^N) e. RR)
37		expgt0t 6528	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((A e. RR /\ N e. NN0 /\ 0 < A) -> 0 < (A^N))
38	37	3com23 838	. . . . . . . . . . . 12 |- ((A e. RR /\ 0 < A /\ N e. NN0) -> 0 < (A^N))
39	38	3expa 832	. . . . . . . . . . 11 |- (((A e. RR /\ 0 < A) /\ N e. NN0) -> 0 < (A^N))
40	39	3adantl3 804	. . . . . . . . . 10 |- (((A e. RR /\ 0 < A /\ A <_ 1) /\ N e. NN0) -> 0 < (A^N))
41	34, 36, 40	sylanc 471	. . . . . . . . 9 |- (((A e. RR /\ 0 < A /\ A <_ 1) /\ N e. NN0) -> (1 <_ (1 / (A^N)) <-> (A^N) <_ (1 / 1)))
42	32, 41	mpbid 195	. . . . . . . 8 |- (((A e. RR /\ 0 < A /\ A <_ 1) /\ N e. NN0) -> (A^N) <_ (1 / 1))
43	42, 20	syl6breq 2649	. . . . . . 7 |- (((A e. RR /\ 0 < A /\ A <_ 1) /\ N e. NN0) -> (A^N) <_ 1)
44	43	ex 373	. . . . . 6 |- ((A e. RR /\ 0 < A /\ A <_ 1) -> (N e. NN0 -> (A^N) <_ 1))
45	44	3expia 834	. . . . 5 |- ((A e. RR /\ 0 < A) -> (A <_ 1 -> (N e. NN0 -> (A^N) <_ 1)))
46		opreq1 3959	. . . . . . . . 9 |- (0 = A -> (0^N) = (A^N))
47	46	breq1d 2624	. . . . . . . 8 |- (0 = A -> ((0^N) <_ 1 <-> (A^N) <_ 1))
48		elnn0 6056	. . . . . . . . 9 |- (N e. NN0 <-> (N e. NN \/ N = 0))
49		0expt 6529	. . . . . . . . . . 11 |- (N e. NN -> (0^N) = 0)
50	1, 14, 15	ltlei 5562	. . . . . . . . . . 11 |- 0 <_ 1
51	49, 50	syl6eqbr 2647	. . . . . . . . . 10 |- (N e. NN -> (0^N) <_ 1)
52		opreq2 3960	. . . . . . . . . . . 12 |- (N = 0 -> (0^N) = (0^0))
53		0cn 5308	. . . . . . . . . . . . 13 |- 0 e. CC
54		exp0t 6511	. . . . . . . . . . . . 13 |- (0 e. CC -> (0^0) = 1)
55	53, 54	ax-mp 7	. . . . . . . . . . . 12 |- (0^0) = 1
56	52, 55	syl6eq 1520	. . . . . . . . . . 11 |- (N = 0 -> (0^N) = 1)
57	14	leid 5592	. . . . . . . . . . 11 |- 1 <_ 1
58	56, 57	syl6eqbr 2647	. . . . . . . . . 10 |- (N = 0 -> (0^N) <_ 1)
59	51, 58	jaoi 341	. . . . . . . . 9 |- ((N e. NN \/ N = 0) -> (0^N) <_ 1)
60	48, 59	sylbi 199	. . . . . . . 8 |- (N e. NN0 -> (0^N) <_ 1)
61	47, 60	syl5bi 208	. . . . . . 7 |- (0 = A -> (N e. NN0 -> (A^N) <_ 1))
62	61	a1d 12	. . . . . 6 |- (0 = A -> (A <_ 1 -> (N e. NN0 -> (A^N) <_ 1)))
63	62	adantl 388	. . . . 5 |- ((A e. RR /\ 0 = A) -> (A <_ 1 -> (N e. NN0 -> (A^N) <_ 1)))
64	45, 63	jaodan 426	. . . 4 |- ((A e. RR /\ (0 < A \/ 0 = A)) -> (A <_ 1 -> (N e. NN0 -> (A^N) <_ 1)))
65	4, 64	syldan 467	. . 3 |- ((A e. RR /\ 0 <_ A) -> (A <_ 1 -> (N e. NN0 -> (A^N) <_ 1)))
66	65	3impia 829	. 2 |- ((A e. RR /\ 0 <_ A /\ A <_ 1) -> (N e. NN0 -> (A^N) <_ 1))
67	66	imp 350	1 |- (((A e. RR /\ 0 <_ A /\ A <_ 1) /\ N e. NN0) -> (A^N) <_ 1)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   \/ wo 222   /\ wa 223   /\ w3a 774   = wceq 954   e. wcel 956   =/= wne 1582   class class class wbr 2614  (class class class)co 3954  CCcc 5212  RRcr 5213  0cc0 5214  1c1 5215   / cdiv 5274   <_ cle 5275  NNcn 5276  NN0cn0 5277   < clt 5466  ^cexp 6508

This theorem is referenced by:  ef01tllem2 7334

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861  ax-inf2 4605

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-nel 1585  df-ral 1646  df-rex 1647  df-reu 1648  df-rab 1649  df-v 1808  df-sbc 1938  df-csb 1998  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-pss 2051  df-nul 2277  df-if 2358  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-tp 2411  df-op 2412  df-uni 2499  df-int 2529  df-iun 2563  df-br 2615  df-opab 2662  df-tr 2676  df-eprel 2827  df-id 2830  df-po 2835  df-so 2845  df-fr 2912  df-we 2929  df-ord 2946  df-on 2947  df-lim 2948  df-suc 2949  df-om 3127  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-f1 3190  df-fo 3191  df-f1o 3192  df-fv 3193  df-rdg 3923  df-opr 3956  df-oprab 3957  df-1st 4069  df-2nd 4070  df-1o 4123  df-oadd 4125  df-omul 4126  df-er 4251  df-ec 4253  df-qs 4256  df-en 4357  df-dom 4358  df-sdom 4359  df-ni 4980  df-pli 4981  df-mi 4982  df-lti 4983  df-plpq 5015  df-mpq 5016  df-enq 5017  df-nq 5018  df-plq 5019  df-mq 5020  df-rq 5021  df-ltq 5022  df-1q 5023  df-np 5066  df-1p 5067  df-plp 5068  df-mp 5069  df-ltp 5070  df-plpr 5144  df-mpr 5145  df-enr 5146  df-nr 5147  df-plr 5148  df-mr 5149  df-ltr 5150  df-0r 5151  df-1r 5152  df-m1r 5153  df-c 5220  df-0 5221  df-1 5222  df-i 5223  df-r 5224  df-plus 5225  df-mul 5226  df-lt 5227  df-sub 5336  df-neg 5338  df-pnf 5467  df-mnf 5468  df-xr 5469  df-ltxr 5470  df-le