Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  explecnv Structured version   Unicode version

Theorem explecnv 12682
 Description: A sequence of terms converges to zero when it is less than powers of a number whose absolute value is smaller than 1. (Contributed by NM, 19-Jul-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
explecnv.1
explecnv.2
explecnv.3
explecnv.5
explecnv.4
explecnv.6
explecnv.7
Assertion
Ref Expression
explecnv
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem explecnv
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2443 . . 3
2 0z 10331 . . . 4
3 explecnv.3 . . . 4
4 ifcl 3802 . . . 4
52, 3, 4sylancr 646 . . 3
6 explecnv.5 . . . . 5
76recnd 9152 . . . 4
8 explecnv.4 . . . 4
97, 8expcnv 12681 . . 3
10 explecnv.1 . . . . . 6
11 fvex 5773 . . . . . 6
1210, 11eqeltri 2513 . . . . 5
1312mptex 6002 . . . 4
1413a1i 11 . . 3
15 nn0uz 10558 . . . . . . . . . . 11
1610, 15ineq12i 3529 . . . . . . . . . 10
17 uzin 10556 . . . . . . . . . . 11
183, 2, 17sylancl 645 . . . . . . . . . 10
1916, 18syl5req 2488 . . . . . . . . 9
2019eleq2d 2510 . . . . . . . 8
2120biimpa 472 . . . . . . 7
22 elin 3519 . . . . . . 7
2321, 22sylib 190 . . . . . 6
2423simprd 451 . . . . 5
25 oveq2 6125 . . . . . 6
26 eqid 2443 . . . . . 6
27 ovex 6142 . . . . . 6
2825, 26, 27fvmpt 5842 . . . . 5
2924, 28syl 16 . . . 4
306adantr 453 . . . . 5
3130, 24reexpcld 11578 . . . 4
3229, 31eqeltrd 2517 . . 3
3323simpld 447 . . . . 5
34 fveq2 5763 . . . . . . 7
3534fveq2d 5767 . . . . . 6
36 eqid 2443 . . . . . 6
37 fvex 5773 . . . . . 6
3835, 36, 37fvmpt 5842 . . . . 5
3933, 38syl 16 . . . 4
40 explecnv.6 . . . . . 6
4133, 40syldan 458 . . . . 5
4241abscld 12276 . . . 4
4339, 42eqeltrd 2517 . . 3
44 explecnv.7 . . . . 5
4533, 44syldan 458 . . . 4
4645, 39, 293brtr4d 4273 . . 3
4741absge0d 12284 . . . 4
4847, 39breqtrrd 4269 . . 3
491, 5, 9, 14, 32, 43, 46, 48climsqz2 12473 . 2
50 explecnv.2 . . 3
5138adantl 454 . . 3
5210, 3, 50, 14, 40, 51climabs0 12417 . 2
5349, 52mpbird 225 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 360   wceq 1654   wcel 1728  cvv 2965   cin 3308  cif 3767   class class class wbr 4243   cmpt 4297  cfv 5489  (class class class)co 6117  cc 9026  cr 9027  cc0 9028  c1 9029   clt 9158   cle 9159  cn0 10259  cz 10320  cuz 10526  cexp 11420  cabs 12077   cli 12316 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1628  ax-9 1669  ax-8 1690  ax-13 1730  ax-14 1732  ax-6 1747  ax-7 1752  ax-11 1764  ax-12 1954  ax-ext 2424  ax-rep 4351  ax-sep 4361  ax-nul 4369  ax-pow 4412  ax-pr 4438  ax-un 4736  ax-cnex 9084  ax-resscn 9085  ax-1cn 9086  ax-icn 9087  ax-addcl 9088  ax-addrcl 9089  ax-mulcl 9090  ax-mulrcl 9091  ax-mulcom 9092  ax-addass 9093  ax-mulass 9094  ax-distr 9095  ax-i2m1 9096  ax-1ne0 9097  ax-1rid 9098  ax-rnegex 9099  ax-rrecex 9100  ax-cnre 9101  ax-pre-lttri 9102  ax-pre-lttrn 9103  ax-pre-ltadd 9104  ax-pre-mulgt0 9105  ax-pre-sup 9106 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1661  df-eu 2292  df-mo 2293  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2717  df-rex 2718  df-reu 2719  df-rmo 2720  df-rab 2721  df-v 2967  df-sbc 3171  df-csb 3271  df-dif 3312  df-un 3314  df-in 3316  df-ss 3323  df-pss 3325  df-nul 3617  df-if 3768  df-pw 3830  df-sn 3849  df-pr 3850  df-tp 3851  df-op 3852  df-uni 4045  df-iun 4124  df-br 4244  df-opab 4298  df-mpt 4299  df-tr 4334  df-eprel 4529  df-id 4533  df-po 4538  df-so 4539  df-fr 4576  df-we 4578  df-ord 4619  df-on 4620  df-lim 4621  df-suc 4622  df-om 4881  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5453  df-fun 5491  df-fn 5492  df-f 5493  df-f1 5494  df-fo 5495  df-f1o 5496  df-fv 5497  df-ov 6120  df-oprab 6121  df-mpt2 6122  df-2nd 6386  df-riota 6585  df-recs 6669  df-rdg 6704  df-er 6941  df-pm 7057  df-en 7146  df-dom 7147  df-sdom 7148  df-sup 7482  df-pnf 9160  df-mnf 9161  df-xr 9162  df-ltxr 9163  df-le 9164  df-sub 9331  df-neg 9332  df-div 9716  df-nn 10039  df-2 10096  df-3 10097  df-n0 10260  df-z 10321  df-uz 10527  df-rp 10651  df-fl 11240  df-seq 11362  df-exp 11421  df-cj 11942  df-re 11943  df-im 11944  df-sqr 12078  df-abs 12079  df-clim 12320  df-rlim 12321
 Copyright terms: Public domain W3C validator