MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  explecnv Unicode version

Theorem explecnv 12632
Description: A sequence of terms converges to zero when it is less than powers of a number  A whose absolute value is smaller than 1. (Contributed by NM, 19-Jul-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
explecnv.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
explecnv.2  |-  ( ph  ->  F  e.  V )
explecnv.3  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
explecnv.5  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
explecnv.4  |-  ( ph  ->  ( abs `  A
)  <  1 )
explecnv.6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
explecnv.7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( abs `  ( F `  k ) )  <_ 
( A ^ k
) )
Assertion
Ref Expression
explecnv  |-  ( ph  ->  F  ~~>  0 )
Distinct variable groups:    A, k    ph, k    k, F    k, Z    k, M
Allowed substitution hint:    V( k)

Proof of Theorem explecnv
Dummy variable  n is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2435 . . 3  |-  ( ZZ>= `  if ( M  <_  0 ,  0 ,  M
) )  =  (
ZZ>= `  if ( M  <_  0 ,  0 ,  M ) )
2 0z 10282 . . . 4  |-  0  e.  ZZ
3 explecnv.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
4 ifcl 3767 . . . 4  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  if ( M  <_ 
0 ,  0 ,  M )  e.  ZZ )
52, 3, 4sylancr 645 . . 3  |-  ( ph  ->  if ( M  <_ 
0 ,  0 ,  M )  e.  ZZ )
6 explecnv.5 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
76recnd 9103 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
8 explecnv.4 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( abs `  A
)  <  1 )
97, 8expcnv 12631 . . 3  |-  ( ph  ->  ( n  e.  NN0  |->  ( A ^ n ) )  ~~>  0 )
10 explecnv.1 . . . . . 6  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
11 fvex 5733 . . . . . 6  |-  ( ZZ>= `  M )  e.  _V
1210, 11eqeltri 2505 . . . . 5  |-  Z  e. 
_V
1312mptex 5957 . . . 4  |-  ( n  e.  Z  |->  ( abs `  ( F `  n
) ) )  e. 
_V
1413a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  ( n  e.  Z  |->  ( abs `  ( F `  n )
) )  e.  _V )
15 nn0uz 10509 . . . . . . . . . . 11  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
1610, 15ineq12i 3532 . . . . . . . . . 10  |-  ( Z  i^i  NN0 )  =  ( ( ZZ>= `  M )  i^i  ( ZZ>= `  0 )
)
17 uzin 10507 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  0  e.  ZZ )  ->  ( ( ZZ>= `  M
)  i^i  ( ZZ>= ` 
0 ) )  =  ( ZZ>= `  if ( M  <_  0 ,  0 ,  M ) ) )
183, 2, 17sylancl 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ZZ>= `  M
)  i^i  ( ZZ>= ` 
0 ) )  =  ( ZZ>= `  if ( M  <_  0 ,  0 ,  M ) ) )
1916, 18syl5req 2480 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ZZ>= `  if ( M  <_  0 ,  0 ,  M ) )  =  ( Z  i^i  NN0 ) )
2019eleq2d 2502 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( k  e.  (
ZZ>= `  if ( M  <_  0 ,  0 ,  M ) )  <-> 
k  e.  ( Z  i^i  NN0 ) ) )
2120biimpa 471 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  0 ,  0 ,  M ) ) )  ->  k  e.  ( Z  i^i  NN0 )
)
22 elin 3522 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( Z  i^i  NN0 )  <->  ( k  e.  Z  /\  k  e. 
NN0 ) )
2321, 22sylib 189 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  0 ,  0 ,  M ) ) )  ->  ( k  e.  Z  /\  k  e.  NN0 ) )
2423simprd 450 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  0 ,  0 ,  M ) ) )  ->  k  e.  NN0 )
25 oveq2 6080 . . . . . 6  |-  ( n  =  k  ->  ( A ^ n )  =  ( A ^ k
) )
26 eqid 2435 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN0  |->  ( A ^ n ) )  =  ( n  e. 
NN0  |->  ( A ^
n ) )
27 ovex 6097 . . . . . 6  |-  ( A ^ k )  e. 
_V
2825, 26, 27fvmpt 5797 . . . . 5  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( n  e.  NN0  |->  ( A ^ n ) ) `
 k )  =  ( A ^ k
) )
2924, 28syl 16 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  0 ,  0 ,  M ) ) )  ->  ( (
n  e.  NN0  |->  ( A ^ n ) ) `
 k )  =  ( A ^ k
) )
306adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  0 ,  0 ,  M ) ) )  ->  A  e.  RR )
3130, 24reexpcld 11528 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  0 ,  0 ,  M ) ) )  ->  ( A ^ k )  e.  RR )
3229, 31eqeltrd 2509 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  0 ,  0 ,  M ) ) )  ->  ( (
n  e.  NN0  |->  ( A ^ n ) ) `
 k )  e.  RR )
3323simpld 446 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  0 ,  0 ,  M ) ) )  ->  k  e.  Z )
34 fveq2 5719 . . . . . . 7  |-  ( n  =  k  ->  ( F `  n )  =  ( F `  k ) )
3534fveq2d 5723 . . . . . 6  |-  ( n  =  k  ->  ( abs `  ( F `  n ) )  =  ( abs `  ( F `  k )
) )
36 eqid 2435 . . . . . 6  |-  ( n  e.  Z  |->  ( abs `  ( F `  n
) ) )  =  ( n  e.  Z  |->  ( abs `  ( F `  n )
) )
37 fvex 5733 . . . . . 6  |-  ( abs `  ( F `  k
) )  e.  _V
3835, 36, 37fvmpt 5797 . . . . 5  |-  ( k  e.  Z  ->  (
( n  e.  Z  |->  ( abs `  ( F `  n )
) ) `  k
)  =  ( abs `  ( F `  k
) ) )
3933, 38syl 16 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  0 ,  0 ,  M ) ) )  ->  ( (
n  e.  Z  |->  ( abs `  ( F `
 n ) ) ) `  k )  =  ( abs `  ( F `  k )
) )
40 explecnv.6 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
4133, 40syldan 457 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  0 ,  0 ,  M ) ) )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
4241abscld 12226 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  0 ,  0 ,  M ) ) )  ->  ( abs `  ( F `  k
) )  e.  RR )
4339, 42eqeltrd 2509 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  0 ,  0 ,  M ) ) )  ->  ( (
n  e.  Z  |->  ( abs `  ( F `
 n ) ) ) `  k )  e.  RR )
44 explecnv.7 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( abs `  ( F `  k ) )  <_ 
( A ^ k
) )
4533, 44syldan 457 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  0 ,  0 ,  M ) ) )  ->  ( abs `  ( F `  k
) )  <_  ( A ^ k ) )
4645, 39, 293brtr4d 4234 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  0 ,  0 ,  M ) ) )  ->  ( (
n  e.  Z  |->  ( abs `  ( F `
 n ) ) ) `  k )  <_  ( ( n  e.  NN0  |->  ( A ^ n ) ) `
 k ) )
4741absge0d 12234 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  0 ,  0 ,  M ) ) )  ->  0  <_  ( abs `  ( F `
 k ) ) )
4847, 39breqtrrd 4230 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  if ( M  <_  0 ,  0 ,  M ) ) )  ->  0  <_  ( ( n  e.  Z  |->  ( abs `  ( F `  n )
) ) `  k
) )
491, 5, 9, 14, 32, 43, 46, 48climsqz2 12423 . 2  |-  ( ph  ->  ( n  e.  Z  |->  ( abs `  ( F `  n )
) )  ~~>  0 )
50 explecnv.2 . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  V )
5138adantl 453 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
( n  e.  Z  |->  ( abs `  ( F `  n )
) ) `  k
)  =  ( abs `  ( F `  k
) ) )
5210, 3, 50, 14, 40, 51climabs0 12367 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  ~~>  0  <->  (
n  e.  Z  |->  ( abs `  ( F `
 n ) ) )  ~~>  0 ) )
5349, 52mpbird 224 1  |-  ( ph  ->  F  ~~>  0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   _Vcvv 2948    i^i cin 3311   ifcif 3731   class class class wbr 4204    e. cmpt 4258   ` cfv 5445  (class class class)co 6072   CCcc 8977   RRcr 8978   0cc0 8979   1c1 8980    < clt 9109    <_ cle 9110   NN0cn0 10210   ZZcz 10271   ZZ>=cuz 10477   ^cexp 11370   abscabs 12027    ~~> cli 12266
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4692  ax-cnex 9035  ax-resscn 9036  ax-1cn 9037  ax-icn 9038  ax-addcl 9039  ax-addrcl 9040  ax-mulcl 9041  ax-mulrcl 9042  ax-mulcom 9043  ax-addass 9044  ax-mulass 9045  ax-distr 9046  ax-i2m1 9047  ax-1ne0 9048  ax-1rid 9049  ax-rnegex 9050  ax-rrecex 9051  ax-cnre 9052  ax-pre-lttri 9053  ax-pre-lttrn 9054  ax-pre-ltadd 9055  ax-pre-mulgt0 9056  ax-pre-sup 9057
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4837  df-xp 4875  df-rel 4876  df-cnv 4877  df-co 4878  df-dm 4879  df-rn 4880  df-res 4881  df-ima 4882  df-iota 5409  df-fun 5447  df-fn 5448  df-f 5449  df-f1 5450  df-fo 5451  df-f1o 5452  df-fv 5453  df-ov 6075  df-oprab 6076  df-mpt2 6077  df-2nd 6341  df-riota 6540  df-recs 6624  df-rdg 6659  df-er 6896  df-pm 7012  df-en 7101  df-dom 7102  df-sdom 7103  df-sup 7437  df-pnf 9111  df-mnf 9112  df-xr 9113  df-ltxr 9114  df-le 9115  df-sub 9282  df-neg 9283  df-div 9667  df-nn 9990  df-2 10047  df-3 10048  df-n0 10211  df-z 10272  df-uz 10478  df-rp 10602  df-fl 11190  df-seq 11312  df-exp 11371  df-cj 11892  df-re 11893  df-im 11894  df-sqr 12028  df-abs 12029  df-clim 12270  df-rlim 12271
  Copyright terms: Public domain W3C validator