MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  expmuld Unicode version

Theorem expmuld 11200
Description: Product of exponents law for natural number exponentiation. Proposition 10-4.2(b) of [Gleason] p. 135, restricted to nonnegative integer exponents. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
expcld.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
expcld.2  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
expaddd.2  |-  ( ph  ->  M  e.  NN0 )
Assertion
Ref Expression
expmuld  |-  ( ph  ->  ( A ^ ( M  x.  N )
)  =  ( ( A ^ M ) ^ N ) )

Proof of Theorem expmuld
StepHypRef Expression
1 expcld.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 expaddd.2 . 2  |-  ( ph  ->  M  e.  NN0 )
3 expcld.2 . 2  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
4 expmul 11099 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( A ^ ( M  x.  N ) )  =  ( ( A ^ M ) ^ N
) )
51, 2, 3, 4syl3anc 1187 1  |-  ( ph  ->  ( A ^ ( M  x.  N )
)  =  ( ( A ^ M ) ^ N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    = wceq 1619    e. wcel 1621  (class class class)co 5778   CCcc 8689    x. cmul 8696   NN0cn0 9918   ^cexp 11056
This theorem is referenced by:  oexpneg  12538  odzdvds  12808  prmreclem6  12916  aaliou3lem8  19673  cxpeq  20045  cubic2  20092  dquart  20097  basellem3  20268  chtublem  20398  mersenne  20414  lgslem1  20483  lgsqrlem2  20529  lgseisenlem4  20539  chebbnd1lem3  20568  dchrisum0flblem1  20605  dchrisum0flblem2  20606  jm2.22  26441
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-sep 4101  ax-nul 4109  ax-pow 4146  ax-pr 4172  ax-un 4470  ax-cnex 8747  ax-resscn 8748  ax-1cn 8749  ax-icn 8750  ax-addcl 8751  ax-addrcl 8752  ax-mulcl 8753  ax-mulrcl 8754  ax-mulcom 8755  ax-addass 8756  ax-mulass 8757  ax-distr 8758  ax-i2m1 8759  ax-1ne0 8760  ax-1rid 8761  ax-rnegex 8762  ax-rrecex 8763  ax-cnre 8764  ax-pre-lttri 8765  ax-pre-lttrn 8766  ax-pre-ltadd 8767  ax-pre-mulgt0 8768
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2422  df-ral 2521  df-rex 2522  df-reu 2523  df-rab 2525  df-v 2759  df-sbc 2953  df-csb 3043  df-dif 3116  df-un 3118  df-in 3120  df-ss 3127  df-pss 3129  df-nul 3417  df-if 3526  df-pw 3587  df-sn 3606  df-pr 3607  df-tp 3608  df-op 3609  df-uni 3788  df-iun 3867  df-br 3984  df-opab 4038  df-mpt 4039  df-tr 4074  df-eprel 4263  df-id 4267  df-po 4272  df-so 4273  df-fr 4310  df-we 4312  df-ord 4353  df-on 4354  df-lim 4355  df-suc 4356  df-om 4615  df-xp 4661  df-rel 4662  df-cnv 4663  df-co 4664  df-dm 4665  df-rn 4666  df-res 4667  df-ima 4668  df-fun 4669  df-fn 4670  df-f 4671  df-f1 4672  df-fo 4673  df-f1o 4674  df-fv 4675  df-ov 5781  df-oprab 5782  df-mpt2 5783  df-2nd 6043  df-iota 6211  df-riota 6258  df-recs 6342  df-rdg 6377  df-er 6614  df-en 6818  df-dom 6819  df-sdom 6820  df-pnf 8823  df-mnf 8824  df-xr 8825  df-ltxr 8826  df-le 8827  df-sub 8993  df-neg 8994  df-n 9701  df-n0 9919  df-z 9978  df-uz 10184  df-seq 10999  df-exp 11057
  Copyright terms: Public domain W3C validator