Theorem expp1t 6514

Description: Value of a complex number raised to a nonnegative integer power plus one. Part of Definition 10-4.1 of [Gleason] p. 134.

Assertion

Ref	Expression
expp1t	|- ((A e. CC /\ N e. NN0) -> (A^(N + 1)) = ((A^N) x. A))

Proof of Theorem expp1t

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulex 5298	. . . . . . . . 9 |- x. e. V
2		nnex 5889	. . . . . . . . . 10 |- NN e. V
3		snex 2745	. . . . . . . . . 10 |- {A} e. V
4	2, 3	xpex 3255	. . . . . . . . 9 |- (NN X. {A}) e. V
5	1, 4	seq1p1 6263	. . . . . . . 8 |- (N e. NN -> (( x. seq1 (NN X. {A}))` (N + 1)) = ((( x. seq1 (NN X. {A}))` N) x. ((NN X. {A})` (N + 1))))
6	5	adantl 388	. . . . . . 7 |- ((A e. CC /\ N e. NN) -> (( x. seq1 (NN X. {A}))` (N + 1)) = ((( x. seq1 (NN X. {A}))` N) x. ((NN X. {A})` (N + 1))))
7		fvconst 3830	. . . . . . . . 9 |- (((NN X. {A}):NN-->{A} /\ (N + 1) e. NN) -> ((NN X. {A})` (N + 1)) = A)
8		fconstg 3650	. . . . . . . . 9 |- (A e. CC -> (NN X. {A}):NN-->{A})
9		peano2nn 5891	. . . . . . . . 9 |- (N e. NN -> (N + 1) e. NN)
10	7, 8, 9	syl2an 454	. . . . . . . 8 |- ((A e. CC /\ N e. NN) -> ((NN X. {A})` (N + 1)) = A)
11	10	opreq2d 3967	. . . . . . 7 |- ((A e. CC /\ N e. NN) -> ((( x. seq1 (NN X. {A}))` N) x. ((NN X. {A})` (N + 1))) = ((( x. seq1 (NN X. {A}))` N) x. A))
12	6, 11	eqtrd 1504	. . . . . 6 |- ((A e. CC /\ N e. NN) -> (( x. seq1 (NN X. {A}))` (N + 1)) = ((( x. seq1 (NN X. {A}))` N) x. A))
13		expnnvalt 6512	. . . . . . 7 |- ((A e. CC /\ (N + 1) e. NN) -> (A^(N + 1)) = (( x. seq1 (NN X. {A}))` (N + 1)))
14	13, 9	sylan2 451	. . . . . 6 |- ((A e. CC /\ N e. NN) -> (A^(N + 1)) = (( x. seq1 (NN X. {A}))` (N + 1)))
15		expnnvalt 6512	. . . . . . 7 |- ((A e. CC /\ N e. NN) -> (A^N) = (( x. seq1 (NN X. {A}))` N))
16	15	opreq1d 3966	. . . . . 6 |- ((A e. CC /\ N e. NN) -> ((A^N) x. A) = ((( x. seq1 (NN X. {A}))` N) x. A))
17	12, 14, 16	3eqtr4d 1514	. . . . 5 |- ((A e. CC /\ N e. NN) -> (A^(N + 1)) = ((A^N) x. A))
18	17	ex 373	. . . 4 |- (A e. CC -> (N e. NN -> (A^(N + 1)) = ((A^N) x. A)))
19		opreq1 3959	. . . . . . 7 |- (N = 0 -> (N + 1) = (0 + 1))
20	19	opreq2d 3967	. . . . . 6 |- (N = 0 -> (A^(N + 1)) = (A^(0 + 1)))
21		opreq2 3960	. . . . . . 7 |- (N = 0 -> (A^N) = (A^0))
22	21	opreq1d 3966	. . . . . 6 |- (N = 0 -> ((A^N) x. A) = ((A^0) x. A))
23	20, 22	eqeq12d 1486	. . . . 5 |- (N = 0 -> ((A^(N + 1)) = ((A^N) x. A) <-> (A^(0 + 1)) = ((A^0) x. A)))
24		mulid2t 5397	. . . . . 6 |- (A e. CC -> (1 x. A) = A)
25		exp0t 6511	. . . . . . 7 |- (A e. CC -> (A^0) = 1)
26	25	opreq1d 3966	. . . . . 6 |- (A e. CC -> ((A^0) x. A) = (1 x. A))
27		exp1t 6513	. . . . . . 7 |- (A e. CC -> (A^1) = A)
28		ax1cn 5249	. . . . . . . . 9 |- 1 e. CC
29	28	addid2 5311	. . . . . . . 8 |- (0 + 1) = 1
30	29	opreq2i 3963	. . . . . . 7 |- (A^(0 + 1)) = (A^1)
31	27, 30	syl5eq 1516	. . . . . 6 |- (A e. CC -> (A^(0 + 1)) = A)
32	24, 26, 31	3eqtr4rd 1515	. . . . 5 |- (A e. CC -> (A^(0 + 1)) = ((A^0) x. A))
33	23, 32	syl5cbir 211	. . . 4 |- (A e. CC -> (N = 0 -> (A^(N + 1)) = ((A^N) x. A)))
34	18, 33	jaod 424	. . 3 |- (A e. CC -> ((N e. NN \/ N = 0) -> (A^(N + 1)) = ((A^N) x. A)))
35		elnn0 6056	. . 3 |- (N e. NN0 <-> (N e. NN \/ N = 0))
36	34, 35	syl5ib 206	. 2 |- (A e. CC -> (N e. NN0 -> (A^(N + 1)) = ((A^N) x. A)))
37	36	imp 350	1 |- ((A e. CC /\ N e. NN0) -> (A^(N + 1)) = ((A^N) x. A))

Syntax hints:   -> wi 3   \/ wo 222   /\ wa 223   = wceq 954   e. wcel 956  {csn 2405   X. cxp 3163  -->wf 3173  ` cfv 3177  (class class class)co 3954  CCcc 5212  0cc0 5214  1c1 5215   + caddc 5217   x. cmul 5219  NNcn 5276  NN0cn0 5277   seq1 cseq1 6252  ^cexp 6508

This theorem is referenced by:  expcllem 6515  expm1t 6523  1expt 6524  expeq0t 6525  expgt0t 6528  expgt1t 6531  mulexpt 6533  recexpt 6534  expaddt 6535  expmult 6536  expmwordit 6545  sqvalt 6548  cu2 6579  bernneq 6591  i3 6671  cjexpt 6760  absexpt 6811  faclbnd 6890  faclbnd2 6891  faclbnd4lem1 6893  faclbnd6 6899  binomlem1 7012  binomlem2 7013  binomlem6 7017  geoser 7177  geolimilem 7178  cvgratlem1ALT 7190  cvgratlem1 7193  efcltlem1 7254  efaddlem22 7309  efexpt 7322  demoivre 7434  bcthlem1 7949

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861  ax-inf2 4605

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-nel 1585  df-ral 1646  df-rex 1647  df-reu 1648  df-rab 1649  df-v 1808  df-sbc 1938  df-csb 1998  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-pss 2051  df-nul 2277  df-if 2358  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-tp 2411  df-op 2412  df-uni 2499  df-int 2529  df-iun 2563  df-br 2615  df-opab 2662  df-tr 2676  df-eprel 2827  df-id 2830  df-po 2835  df-so 2845  df-fr 2912  df-we 2929  df-ord 2946  df-on 2947  df-lim 2948  df-suc 2949  df-om 3127  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-f1 3190  df-fo 3191  df-f1o 3192  df-fv 3193  df-rdg 3923  df-opr 3956  df-oprab 3957  df-1st 4069  df-2nd 4070  df-1o 4123  df-oadd 4125  df-omul 4126  df-er 4251  df-ec 4253  df-qs 4256  df-en 4357  df-dom 4358  df-sdom 4359  df-ni 4980  df-pli 4981  df-mi 4982  df-lti 4983  df-plpq 5015  df-mpq 5016  df-enq 5017  df-nq 5018  df-plq 5019  df-mq 5020  df-rq 5021  df-ltq 5022  df-1q 5023  df-np 5066  df-1p 5067  df-plp 5068  df-mp 5069  df-ltp 5070  df-plpr 5144  df-mpr 5145  df-enr 5146  df-nr 5147  df-plr 5148  df-mr 5149  df-ltr 5150  df-0r 5151  df-1r 5152  df-m1r 5153  df-c 5220  df-0 5221  df-1 5222  df-i 5223  df-r 5224  df-plus 5225  df-mul 5226  df-lt 5227  df-sub 5336  df-neg 5338  df-pnf 5467  df-mnf 5468  df-xr 5469  df-ltxr 5470  df-le 5471  df-n 5881  df-n0 6055  df-z 6091  df-seq1 6253  df-exp 6509

Copyright terms: Public domain