HomeHome Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version
Theorem expubndt 6553
Description: An upper bound on A^N when 2 <_ A.
Assertion
Ref Expression
expubndt |- ((A e. RR /\ N e. NN0 /\ 2 <_ A) -> (A^N) <_ ((2^N) x. ((A - 1)^N)))
Proof of Theorem expubndt
StepHypRef Expression
1 expmwordit 6551 . . 3 |- (((A e. RR /\ (2 x. (A - 1)) e. RR /\ N e. NN0) /\ (0 <_ A /\ A <_ (2 x. (A - 1)))) -> (A^N) <_ ((2 x. (A - 1))^N))
2 3simp1 787 . . . 4 |- ((A e. RR /\ N e. NN0 /\ 2 <_ A) -> A e. RR)
3 peano2rem 5425 . . . . . 6 |- (A e. RR -> (A - 1) e. RR)
4 2re 5936 . . . . . . 7 |- 2 e. RR
5 axmulrcl 5257 . . . . . . 7 |- ((2 e. RR /\ (A - 1) e. RR) -> (2 x. (A - 1)) e. RR)
64, 5mpan 694 . . . . . 6 |- ((A - 1) e. RR -> (2 x. (A - 1)) e. RR)
73, 6syl 10 . . . . 5 |- (A e. RR -> (2 x. (A - 1)) e. RR)
873ad2ant1 799 . . . 4 |- ((A e. RR /\ N e. NN0 /\ 2 <_ A) -> (2 x. (A - 1)) e. RR)
9 3simp2 788 . . . 4 |- ((A e. RR /\ N e. NN0 /\ 2 <_ A) -> N e. NN0)
102, 8, 93jca 818 . . 3 |- ((A e. RR /\ N e. NN0 /\ 2 <_ A) -> (A e. RR /\ (2 x. (A - 1)) e. RR /\ N e. NN0))
11 0re 5423 . . . . . . . 8 |- 0 e. RR
12 2pos 5946 . . . . . . . 8 |- 0 < 2
1311, 4, 12ltlei 5564 . . . . . . 7 |- 0 <_ 2
14 letrt 5508 . . . . . . . 8 |- ((0 e. RR /\ 2 e. RR /\ A e. RR) -> ((0 <_ 2 /\ 2 <_ A) -> 0 <_ A))
1511, 4, 14mp3an12 905 . . . . . . 7 |- (A e. RR -> ((0 <_ 2 /\ 2 <_ A) -> 0 <_ A))
1613, 15mpani 697 . . . . . 6 |- (A e. RR -> (2 <_ A -> 0 <_ A))
1716imp 350 . . . . 5 |- ((A e. RR /\ 2 <_ A) -> 0 <_ A)
18 resubclt 5421 . . . . . . . . 9 |- ((A e. RR /\ 2 e. RR) -> (A - 2) e. RR)
194, 18mpan2 695 . . . . . . . 8 |- (A e. RR -> (A - 2) e. RR)
20 leadd2t 5610 . . . . . . . . 9 |- ((2 e. RR /\ A e. RR /\ (A - 2) e. RR) -> (2 <_ A <-> ((A - 2) + 2) <_ ((A - 2) + A)))
214, 20mp3an1 902 . . . . . . . 8 |- ((A e. RR /\ (A - 2) e. RR) -> (2 <_ A <-> ((A - 2) + 2) <_ ((A - 2) + A)))
2219, 21mpdan 703 . . . . . . 7 |- (A e. RR -> (2 <_ A <-> ((A - 2) + 2) <_ ((A - 2) + A)))
2322biimpa 416 . . . . . 6 |- ((A e. RR /\ 2 <_ A) -> ((A - 2) + 2) <_ ((A - 2) + A))
24 recnt 5296 . . . . . . . 8 |- (A e. RR -> A e. CC)
25 2cn 5937 . . . . . . . . 9 |- 2 e. CC
26 npcant 5382 . . . . . . . . 9 |- ((A e. CC /\ 2 e. CC) -> ((A - 2) + 2) = A)
2725, 26mpan2 695 . . . . . . . 8 |- (A e. CC -> ((A - 2) + 2) = A)
2824, 27syl 10 . . . . . . 7 |- (A e. RR -> ((A - 2) + 2) = A)
2928adantr 389 . . . . . 6 |- ((A e. RR /\ 2 <_ A) -> ((A - 2) + 2) = A)
30 ax1cn 5252 . . . . . . . . . 10 |- 1 e. CC
31 subdit 5410 . . . . . . . . . 10 |- ((2 e. CC /\ A e. CC /\ 1 e. CC) -> (2 x. (A - 1)) = ((2 x. A) - (2 x. 1)))
3225, 30, 31mp3an13 906 . . . . . . . . 9 |- (A e. CC -> (2 x. (A - 1)) = ((2 x. A) - (2 x. 1)))
33 2timest 5961 . . . . . . . . . 10 |- (A e. CC -> (2 x. A) = (A + A))
3425mulid1 5315 . . . . . . . . . . 11 |- (2 x. 1) = 2
3534a1i 8 . . . . . . . . . 10 |- (A e. CC -> (2 x. 1) = 2)
3633, 35opreq12d 3973 . . . . . . . . 9 |- (A e. CC -> ((2 x. A) - (2 x. 1)) = ((A + A) - 2))
37 addsubt 5367 . . . . . . . . . . 11 |- ((A e. CC /\ A e. CC /\ 2 e. CC) -> ((A + A) - 2) = ((A - 2) + A))
3825, 37mp3an3 904 . . . . . . . . . 10 |- ((A e. CC /\ A e. CC) -> ((A + A) - 2) = ((A - 2) + A))
3938anidms 434 . . . . . . . . 9 |- (A e. CC -> ((A + A) - 2) = ((A - 2) + A))
4032, 36, 393eqtrrd 1510 . . . . . . . 8 |- (A e. CC -> ((A - 2) + A) = (2 x. (A - 1)))
4124, 40syl 10 . . . . . . 7 |- (A e. RR -> ((A - 2) + A) = (2 x. (A - 1)))
4241adantr 389 . . . . . 6 |- ((A e. RR /\ 2 <_ A) -> ((A - 2) + A) = (2 x. (A - 1)))
4323, 29, 423brtr3d 2640 . . . . 5 |- ((A e. RR /\ 2 <_ A) -> A <_ (2 x. (A - 1)))
4417, 43jca 288 . . . 4 |- ((A e. RR /\ 2 <_ A) -> (0 <_ A /\ A <_ (2 x. (A - 1))))
45443adant2 797 . . 3 |- ((A e. RR /\ N e. NN0 /\ 2 <_ A) -> (0 <_ A /\ A <_ (2 x. (A - 1))))
461, 10, 45sylanc 471 . 2 |- ((A e. RR /\ N e. NN0 /\ 2 <_ A) -> (A^N) <_ ((2 x. (A - 1))^N))
47 mulexpt 6539 . . . . 5 |- ((2 e. CC /\ (A - 1) e. CC /\ N e. NN0) -> ((2 x. (A - 1))^N) = ((2^N) x. ((A - 1)^N)))
4825, 47mp3an1 902 . . . 4 |- (((A - 1) e. CC /\ N e. NN0) -> ((2 x. (A - 1))^N) = ((2^N) x. ((A - 1)^N)))
493recnd 5298 . . . 4 |- (A e. RR -> (A - 1) e. CC)
5048, 49sylan 448 . . 3 |- ((A e. RR /\ N e. NN0) -> ((2 x. (A - 1))^N) = ((2^N) x. ((A - 1)^N)))
51503adant3 798 . 2 |- ((A e. RR /\ N e. NN0 /\ 2 <_ A) -> ((2 x. (A - 1))^N) = ((2^N) x. ((A - 1)^N)))
5246, 51breqtrd 2635 1 |- ((A e. RR /\ N e. NN0 /\ 2 <_ A) -> (A^N) <_ ((2^N) x. ((A - 1)^N)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   /\ w3a 774   = wceq 955   e. wcel 957   class class class wbr 2615  (class class class)co 3958  CCcc 5215  RRcr 5216  0cc0 5217  1c1 5218   + caddc 5220   x. cmul 5222   - cmin 5275   <_ cle 5278  NN0cn0 5280  2c2 5918  ^cexp 6513
This theorem is referenced by:  faclbnd4lem1 6900
This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-9 964  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1209  ax-11o 1217  ax-ext 1458  ax-rep 2689  ax-sep 2699  ax-nul 2706  ax-pow 2738  ax-pr 2775  ax-un 2862  ax-inf2 4608
This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 980  df-sb 1171  df-eu 1381  df-mo 1382  df-clab 1463  df-cleq 1468  df-clel 1471  df-ne 1585  df-nel 1586  df-ral 1647  df-rex 1648  df-reu 1649  df-rab 1650  df-v 1809  df-sbc 1939  df-csb 1999  df-dif 2046  df-un 2047  df-in 2048  df-ss 2050  df-pss 2052  df-nul 2278  df-if 2359  df-pw 2399  df-sn 2409  df-pr 2410  df-tp 2412  df-op 2413  df-uni 2500  df-int 2530  df-iun 2564  df-br 2616  df-opab 2663  df-tr 2677  df-eprel 2828  df-id 2831  df-po 2836  df-so 2846  df-fr 2913  df-we 2930  df-ord 2947  df-on 2948  df-lim 2949  df-suc 2950  df-om 3128  df-xp 3180  df-rel 3181  df-cnv 3182  df-co 3183  df-dm 3184  df-rn 3185  df-res 3186  df-ima 3187  df-fun 3188  df-fn 3189  df-f 3190  df-f1 3191  df-fo 3192  df-f1o 3193  df-fv 3194  df-rdg 3927  df-opr 3960  df-oprab 3961  df-1st 4072  df-2nd 4073  df-1o 4126  df-oadd 4128  df-omul 4129  df-er 4254  df-ec 4256  df-qs 4259  df-en 4360  df-dom 4361  df-sdom 4362  df-ni 4983  df-pli 4984  df-mi 4985  df-lti 4986  df-plpq 5018  df-mpq 5019  df-enq 5020  df-nq 5021  df-plq 5022  df-mq 5023  df-rq 5024  df-ltq 5025  df-1q 5026  df-np 5069  df-1p 5070  df-plp 5071  df-mp 5072  df-ltp 5073  df-plpr 5147  df-mpr 5148  df-enr 5149  df-nr 5150  df-plr 5151  df-mr 5152  df-ltr 5153  df-0r 5154  df-1r 5155  df-m1r 5156  df-c 5223  df-0 5224  df-1 5225  df-i 5226  df-r 5227  df-plus 5228  df-mul 5229  df-lt 5230  df-sub 5339  df-neg 5341  df-pnf 5470  df-mnf 5471  df-xr 5472  df-ltxr 5473  df-le 5474  df-n 5883  df-2 5927  df-n0 6057  df-z 6093  df-seq1 6258  df-exp 6514
Copyright terms: Public domain