Theorem expwordit 6603

Description: Weak ordering relationship for exponentiation.

Assertion

Ref	Expression
expwordit	|- (((A e. RR /\ M e. NN0 /\ N e. NN0) /\ (1 <_ A /\ M <_ N)) -> (A^M) <_ (A^N))

Proof of Theorem expwordit

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 5435	. . . . 5 |- 1 e. RR
2		leloet 5518	. . . . 5 |- ((1 e. RR /\ A e. RR) -> (1 <_ A <-> (1 < A \/ 1 = A)))
3	1, 2	mpan 695	. . . 4 |- (A e. RR -> (1 <_ A <-> (1 < A \/ 1 = A)))
4	3	3ad2ant1 800	. . 3 |- ((A e. RR /\ M e. NN0 /\ N e. NN0) -> (1 <_ A <-> (1 < A \/ 1 = A)))
5		expordt 6602	. . . . . . . 8 |- (((A e. RR /\ M e. NN0 /\ N e. NN0) /\ 1 < A) -> (M < N <-> (A^M) < (A^N)))
6	5	biimpd 153	. . . . . . 7 |- (((A e. RR /\ M e. NN0 /\ N e. NN0) /\ 1 < A) -> (M < N -> (A^M) < (A^N)))
7		opreq2 3969	. . . . . . . 8 |- (M = N -> (A^M) = (A^N))
8	7	a1i 8	. . . . . . 7 |- (((A e. RR /\ M e. NN0 /\ N e. NN0) /\ 1 < A) -> (M = N -> (A^M) = (A^N)))
9	6, 8	orim12d 565	. . . . . 6 |- (((A e. RR /\ M e. NN0 /\ N e. NN0) /\ 1 < A) -> ((M < N \/ M = N) -> ((A^M) < (A^N) \/ (A^M) = (A^N))))
10		leloet 5518	. . . . . . . . 9 |- ((M e. RR /\ N e. RR) -> (M <_ N <-> (M < N \/ M = N)))
11		nn0ret 6108	. . . . . . . . 9 |- (M e. NN0 -> M e. RR)
12		nn0ret 6108	. . . . . . . . 9 |- (N e. NN0 -> N e. RR)
13	10, 11, 12	syl2an 454	. . . . . . . 8 |- ((M e. NN0 /\ N e. NN0) -> (M <_ N <-> (M < N \/ M = N)))
14	13	3adant1 797	. . . . . . 7 |- ((A e. RR /\ M e. NN0 /\ N e. NN0) -> (M <_ N <-> (M < N \/ M = N)))
15	14	adantr 389	. . . . . 6 |- (((A e. RR /\ M e. NN0 /\ N e. NN0) /\ 1 < A) -> (M <_ N <-> (M < N \/ M = N)))
16		leloet 5518	. . . . . . . 8 |- (((A^M) e. RR /\ (A^N) e. RR) -> ((A^M) <_ (A^N) <-> ((A^M) < (A^N) \/ (A^M) = (A^N))))
17		reexpclt 6580	. . . . . . . . 9 |- ((A e. RR /\ M e. NN0) -> (A^M) e. RR)
18	17	3adant3 799	. . . . . . . 8 |- ((A e. RR /\ M e. NN0 /\ N e. NN0) -> (A^M) e. RR)
19		reexpclt 6580	. . . . . . . . 9 |- ((A e. RR /\ N e. NN0) -> (A^N) e. RR)
20	19	3adant2 798	. . . . . . . 8 |- ((A e. RR /\ M e. NN0 /\ N e. NN0) -> (A^N) e. RR)
21	16, 18, 20	sylanc 471	. . . . . . 7 |- ((A e. RR /\ M e. NN0 /\ N e. NN0) -> ((A^M) <_ (A^N) <-> ((A^M) < (A^N) \/ (A^M) = (A^N))))
22	21	adantr 389	. . . . . 6 |- (((A e. RR /\ M e. NN0 /\ N e. NN0) /\ 1 < A) -> ((A^M) <_ (A^N) <-> ((A^M) < (A^N) \/ (A^M) = (A^N))))
23	9, 15, 22	3imtr4d 543	. . . . 5 |- (((A e. RR /\ M e. NN0 /\ N e. NN0) /\ 1 < A) -> (M <_ N -> (A^M) <_ (A^N)))
24	23	ex 373	. . . 4 |- ((A e. RR /\ M e. NN0 /\ N e. NN0) -> (1 < A -> (M <_ N -> (A^M) <_ (A^N))))
25		opreq1 3968	. . . . . . . 8 |- (1 = A -> (1^M) = (A^M))
26		opreq1 3968	. . . . . . . 8 |- (1 = A -> (1^N) = (A^N))
27	25, 26	breq12d 2631	. . . . . . 7 |- (1 = A -> ((1^M) <_ (1^N) <-> (A^M) <_ (A^N)))
28	1	leid 5610	. . . . . . . 8 |- 1 <_ 1
29		1expt 6584	. . . . . . . . 9 |- (M e. NN0 -> (1^M) = 1)
30		1expt 6584	. . . . . . . . 9 |- (N e. NN0 -> (1^N) = 1)
31	29, 30	breqan12d 2632	. . . . . . . 8 |- ((M e. NN0 /\ N e. NN0) -> ((1^M) <_ (1^N) <-> 1 <_ 1))
32	28, 31	mpbiri 194	. . . . . . 7 |- ((M e. NN0 /\ N e. NN0) -> (1^M) <_ (1^N))
33	27, 32	syl5cbi 209	. . . . . 6 |- ((M e. NN0 /\ N e. NN0) -> (1 = A -> (A^M) <_ (A^N)))
34	33	3adant1 797	. . . . 5 |- ((A e. RR /\ M e. NN0 /\ N e. NN0) -> (1 = A -> (A^M) <_ (A^N)))
35	34	a1dd 42	. . . 4 |- ((A e. RR /\ M e. NN0 /\ N e. NN0) -> (1 = A -> (M <_ N -> (A^M) <_ (A^N))))
36	24, 35	jaod 424	. . 3 |- ((A e. RR /\ M e. NN0 /\ N e. NN0) -> ((1 < A \/ 1 = A) -> (M <_ N -> (A^M) <_ (A^N))))
37	4, 36	sylbid 203	. 2 |- ((A e. RR /\ M e. NN0 /\ N e. NN0) -> (1 <_ A -> (M <_ N -> (A^M) <_ (A^N))))
38	37	imp32 363	1 |- (((A e. RR /\ M e. NN0 /\ N e. NN0) /\ (1 <_ A /\ M <_ N)) -> (A^M) <_ (A^N))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   \/ wo 222   /\ wa 223   /\ w3a 775   = wceq 956   e. wcel 958   class class class wbr 2619  (class class class)co 3963  RRcr 5233  1c1 5235   <_ cle 5295  NN0cn0 5297   < clt 5486  ^cexp 6568

This theorem is referenced by:  faclbnd 6945  faclbnd3 6947  faclbnd4lem1 6948  efaddlem10 7347  efaddlem12 7349  efaddlem20 7357  sin01bndlem1 7467

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-nel 1588  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-en 4368  df-dom 4369  df-sdom 4370  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-mp 5089  df-ltp 5090  df-plpr 5164  df-mpr 5165  df-enr 5166  df-nr 5167  df-plr 5168  df-mr 5169  df-ltr 5170  df-0r 5171  df-1r 5172  df-m1r 5173  df-c 5240  df-0 5241  df-1 5242  df-i 5243  df-r 5244  df-plus 5245  df-mul 5246  df-lt 5247  df-sub 5356  df-neg 5358  df-pnf 5487  df-mnf 5488  df-xr 5489  df-ltxr 5490  df-le 5491  df-n 5925  df-n0 6100  df-z 6136  df-seq1 6308  df-exp 6569

Copyright terms: Public domain