Theorem f11 3655

Description: Alternate definition of a one-to-one function.

Assertion

Ref	Expression
f11	|- (F:A-1-1->B <-> (F:A-->B /\ A.yE*x xFy))

Distinct variable group:   x,y,F

Proof of Theorem f11

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-f1 3190	. 2 |- (F:A-1-1->B <-> (F:A-->B /\ Fun `'F))
2		dffunmo 3523	. . . . 5 |- (Fun `'F <-> (Rel `'F /\ A.yE*x y`'Fx))
3		relcnv 3427	. . . . 5 |- Rel `'F
4	2, 3	mpbiran 727	. . . 4 |- (Fun `'F <-> A.yE*x y`'Fx)
5		visset 1809	. . . . . . 7 |- y e. V
6		visset 1809	. . . . . . 7 |- x e. V
7	5, 6	brcnv 3294	. . . . . 6 |- (y`'Fx <-> xFy)
8	7	mobii 1403	. . . . 5 |- (E*x y`'Fx <-> E*x xFy)
9	8	albii 997	. . . 4 |- (A.yE*x y`'Fx <-> A.yE*x xFy)
10	4, 9	bitr 173	. . 3 |- (Fun `'F <-> A.yE*x xFy)
11	10	anbi2i 480	. 2 |- ((F:A-->B /\ Fun `'F) <-> (F:A-->B /\ A.yE*x xFy))
12	1, 11	bitr 173	1 |- (F:A-1-1->B <-> (F:A-->B /\ A.yE*x xFy))

Syntax hints:   <-> wb 146   /\ wa 223  A.wal 952  E*wmo 1379   class class class wbr 2614  `'ccnv 3164  Rel wrel 3170  Fun wfun 3171  -->wf 3173  -1-1->wf1 3174

This theorem is referenced by:  f1fv 3865

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-sep 2698  ax-pow 2737  ax-pr 2774

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-v 1808  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-nul 2277  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-op 2412  df-br 2615  df-opab 2662  df-id 2830  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-fun 3187  df-f1 3190

Copyright terms: Public domain