Theorem f1co 3667

Description: Composition of one-to-one functions. Exercise 30 of [TakeutiZaring] p. 25.

Assertion

Ref	Expression
f1co	|- ((F:B-1-1->C /\ G:A-1-1->B) -> (F o. G):A-1-1->C)

Proof of Theorem f1co

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fco 3636	. . . 4 |- ((F:B-->C /\ G:A-->B) -> (F o. G):A-->C)
2		funco 3550	. . . . . 6 |- ((Fun `'G /\ Fun `'F) -> Fun (`'G o. `'F))
3		cnvco 3300	. . . . . . 7 |- `'(F o. G) = (`'G o. `'F)
4		funeq 3535	. . . . . . 7 |- (`'(F o. G) = (`'G o. `'F) -> (Fun `'(F o. G) <-> Fun (`'G o. `'F)))
5	3, 4	ax-mp 7	. . . . . 6 |- (Fun `'(F o. G) <-> Fun (`'G o. `'F))
6	2, 5	sylibr 200	. . . . 5 |- ((Fun `'G /\ Fun `'F) -> Fun `'(F o. G))
7	6	ancoms 436	. . . 4 |- ((Fun `'F /\ Fun `'G) -> Fun `'(F o. G))
8	1, 7	anim12i 333	. . 3 |- (((F:B-->C /\ G:A-->B) /\ (Fun `'F /\ Fun `'G)) -> ((F o. G):A-->C /\ Fun `'(F o. G)))
9	8	an4s 508	. 2 |- (((F:B-->C /\ Fun `'F) /\ (G:A-->B /\ Fun `'G)) -> ((F o. G):A-->C /\ Fun `'(F o. G)))
10		df-f1 3195	. . 3 |- (F:B-1-1->C <-> (F:B-->C /\ Fun `'F))
11		df-f1 3195	. . 3 |- (G:A-1-1->B <-> (G:A-->B /\ Fun `'G))
12	10, 11	anbi12i 482	. 2 |- ((F:B-1-1->C /\ G:A-1-1->B) <-> ((F:B-->C /\ Fun `'F) /\ (G:A-->B /\ Fun `'G)))
13		df-f1 3195	. 2 |- ((F o. G):A-1-1->C <-> ((F o. G):A-->C /\ Fun `'(F o. G)))
14	9, 12, 13	3imtr4 219	1 |- ((F:B-1-1->C /\ G:A-1-1->B) -> (F o. G):A-1-1->C)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 956  `'ccnv 3169   o. ccom 3174  Fun wfun 3176  -->wf 3178  -1-1->wf1 3179

This theorem is referenced by:  f1oco 3707  domtr 4415

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-br 2620  df-opab 2667  df-id 2835  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195

Copyright terms: Public domain