Theorem f1dmex 3695

Description: If the codomain of a one-to-one function exists, so does its domain. This theorem is equivalent to the Axiom of Replacement ax-rep 2683.

Assertion

Ref	Expression
f1dmex	|- ((F:A-1-1->B /\ B e. C) -> A e. V)

Proof of Theorem f1dmex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssexg 2711	. . . . 5 |- ((ran F (_ B /\ B e. C) -> ran F e. V)
2		f1f 3650	. . . . . 6 |- (F:A-1-1->B -> F:A-->B)
3		frn 3618	. . . . . 6 |- (F:A-->B -> ran F (_ B)
4	2, 3	syl 10	. . . . 5 |- (F:A-1-1->B -> ran F (_ B)
5	1, 4	sylan 448	. . . 4 |- ((F:A-1-1->B /\ B e. C) -> ran F e. V)
6	5	ex 373	. . 3 |- (F:A-1-1->B -> (B e. C -> ran F e. V))
7		fornex 3664	. . . 4 |- (ran F e. V -> (`'F:ran F-onto->A -> A e. V))
8		f1f1orn 3684	. . . . 5 |- (F:A-1-1->B -> F:A-1-1-onto->ran F)
9		f1ocnv 3686	. . . . 5 |- (F:A-1-1-onto->ran F -> `'F:ran F-1-1-onto->A)
10		f1ofo 3680	. . . . 5 |- (`'F:ran F-1-1-onto->A -> `'F:ran F-onto->A)
11	8, 9, 10	3syl 20	. . . 4 |- (F:A-1-1->B -> `'F:ran F-onto->A)
12	7, 11	syl5com 52	. . 3 |- (F:A-1-1->B -> (ran F e. V -> A e. V))
13	6, 12	syld 27	. 2 |- (F:A-1-1->B -> (B e. C -> A e. V))
14	13	imp 350	1 |- ((F:A-1-1->B /\ B e. C) -> A e. V)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   e. wcel 955  Vcvv 1802   (_ wss 2037  `'ccnv 3159  ran crn 3161  -->wf 3168  -1-1->wf1 3169  -onto->wfo 3170  -1-1-onto->wf1o 3171

This theorem is referenced by:  abianfp 3947  f1dom2g 4378

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-rex 1642  df-v 1803  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-nul 2271  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-op 2406  df-uni 2494  df-br 2610  df-opab 2657  df-id 2824  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-f1 3185  df-fo 3186  df-f1o 3187

Copyright terms: Public domain