Theorem f1imaen 4416

Description: A one-to-one function's image under a subset of its domain is equinumerous to the subset.

Hypothesis

Ref	Expression
f1imaen.1	|- C e. V

Assertion

Ref	Expression
f1imaen	|- ((F:A-1-1->B /\ C (_ A) -> (F"C) ~~ C)

Proof of Theorem f1imaen

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1ores 3700	. 2 |- ((F:A-1-1->B /\ C (_ A) -> (F |` C):C-1-1-onto->(F"C))
2		f1imaen.1	. . . 4 |- C e. V
3	2	f1oen 4392	. . 3 |- ((F |` C):C-1-1-onto->(F"C) -> C ~~ (F"C))
4		f1ofo 3692	. . . 4 |- ((F |` C):C-1-1-onto->(F"C) -> (F |` C):C-onto->(F"C))
5		fornex 3676	. . . . 5 |- (C e. V -> ((F |` C):C-onto->(F"C) -> (F"C) e. V))
6	2, 5	ax-mp 7	. . . 4 |- ((F |` C):C-onto->(F"C) -> (F"C) e. V)
7		ensymg 4405	. . . 4 |- ((F"C) e. V -> (C ~~ (F"C) -> (F"C) ~~ C))
8	4, 6, 7	3syl 20	. . 3 |- ((F |` C):C-1-1-onto->(F"C) -> (C ~~ (F"C) -> (F"C) ~~ C))
9	3, 8	mpd 26	. 2 |- ((F |` C):C-1-1-onto->(F"C) -> (F"C) ~~ C)
10	1, 9	syl 10	1 |- ((F:A-1-1->B /\ C (_ A) -> (F"C) ~~ C)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   e. wcel 957  Vcvv 1809   (_ wss 2045   class class class wbr 2616   |` cres 3169  "cima 3170  -1-1->wf1 3176  -onto->wfo 3177  -1-1-onto->wf1o 3178   ~~ cen 4361

This theorem is referenced by:  ssenen 4497

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-9 964  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2690  ax-sep 2700  ax-pow 2739  ax-pr 2776  ax-un 2863

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 776  df-ex 980  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1586  df-rex 1649  df-v 1810  df-dif 2047  df-un 2048  df-in 2049  df-ss 2051  df-nul 2279  df-pw 2400  df-sn 2410  df-pr 2411  df-op 2414  df-uni 2501  df-br 2617  df-opab 2664  df-id 2832  df-xp 3181  df-rel 3182  df-cnv 3183  df-co 3184  df-dm 3185  df-rn 3186  df-res 3187  df-ima 3188  df-fun 3189  df-fn 3190  df-f 3191  df-f1 3192  df-fo 3193  df-f1o 3194  df-er 4258  df-en 4364

Copyright terms: Public domain