Theorem f1ocnvfv2 3876

Description: The value of the converse value of a one-to-one onto function.

Assertion

Ref	Expression
f1ocnvfv2	|- ((F:A-1-1-onto->B /\ C e. B) -> (F` (`'F` C)) = C)

Proof of Theorem f1ocnvfv2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1ococnv2 3705	. . . 4 |- (F:A-1-1-onto->B -> (F o. `'F) = (I |` B))
2	1	fveq1d 3723	. . 3 |- (F:A-1-1-onto->B -> ((F o. `'F)` C) = ((I |` B)` C))
3	2	adantr 389	. 2 |- ((F:A-1-1-onto->B /\ C e. B) -> ((F o. `'F)` C) = ((I |` B)` C))
4		fvco3 3773	. . . 4 |- ((Fun F /\ `'F:B-->A /\ C e. B) -> ((F o. `'F)` C) = (F` (`'F` C)))
5	4	3expa 832	. . 3 |- (((Fun F /\ `'F:B-->A) /\ C e. B) -> ((F o. `'F)` C) = (F` (`'F` C)))
6		f1ofun 3688	. . . 4 |- (F:A-1-1-onto->B -> Fun F)
7		f1ocnv 3698	. . . . 5 |- (F:A-1-1-onto->B -> `'F:B-1-1-onto->A)
8		f1of 3686	. . . . 5 |- (`'F:B-1-1-onto->A -> `'F:B-->A)
9	7, 8	syl 10	. . . 4 |- (F:A-1-1-onto->B -> `'F:B-->A)
10	6, 9	jca 288	. . 3 |- (F:A-1-1-onto->B -> (Fun F /\ `'F:B-->A))
11	5, 10	sylan 448	. 2 |- ((F:A-1-1-onto->B /\ C e. B) -> ((F o. `'F)` C) = (F` (`'F` C)))
12		fvresi 3840	. . 3 |- (C e. B -> ((I |` B)` C) = C)
13	12	adantl 388	. 2 |- ((F:A-1-1-onto->B /\ C e. B) -> ((I |` B)` C) = C)
14	3, 11, 13	3eqtr3d 1514	1 |- ((F:A-1-1-onto->B /\ C e. B) -> (F` (`'F` C)) = C)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 955   e. wcel 957  Icid 2828  `'ccnv 3166   |` cres 3169   o. ccom 3171  Fun wfun 3173  -->wf 3175  -1-1-onto->wf1o 3178  ` cfv 3179

This theorem is referenced by:  f1ocnvfvb 3878  f1ocnvfv3 3880  isocnv 3893  uzrdgsuc 6259  effoi 8729  eflogt 8744  cnvunopt 9833  unopadjt 9834  bracnvbrat 10037

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-9 964  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2700  ax-pow 2739  ax-pr 2776  ax-un 2863

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 776  df-ex 980  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1586  df-ral 1648  df-rex 1649  df-v 1810  df-dif 2047  df-un 2048  df-in 2049  df-ss 2051  df-nul 2279  df-pw 2400  df-sn 2410  df-pr 2411  df-op 2414  df-uni 2501  df-br 2617  df-opab 2664  df-id 2832  df-xp 3181  df-rel 3182  df-cnv 3183  df-co 3184  df-dm 3185  df-rn 3186  df-res 3187  df-ima 3188  df-fun 3189  df-fn 3190  df-f 3191  df-f1 3192  df-fo 3193  df-f1o 3194  df-fv 3195

Copyright terms: Public domain