MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  f1ococnv1 Unicode version

Theorem f1ococnv1 5663
Description: The composition of a one-to-one onto function's converse and itself equals the identity relation restricted to the function's domain. (Contributed by NM, 13-Dec-2003.)
Assertion
Ref Expression
f1ococnv1  |-  ( F : A -1-1-onto-> B  ->  ( `' F  o.  F )  =  (  _I  |`  A ) )

Proof of Theorem f1ococnv1
StepHypRef Expression
1 f1orel 5636 . . . 4  |-  ( F : A -1-1-onto-> B  ->  Rel  F )
2 dfrel2 5280 . . . 4  |-  ( Rel 
F  <->  `' `' F  =  F
)
31, 2sylib 189 . . 3  |-  ( F : A -1-1-onto-> B  ->  `' `' F  =  F )
43coeq2d 4994 . 2  |-  ( F : A -1-1-onto-> B  ->  ( `' F  o.  `' `' F )  =  ( `' F  o.  F
) )
5 f1ocnv 5646 . . 3  |-  ( F : A -1-1-onto-> B  ->  `' F : B -1-1-onto-> A )
6 f1ococnv2 5661 . . 3  |-  ( `' F : B -1-1-onto-> A  -> 
( `' F  o.  `' `' F )  =  (  _I  |`  A )
)
75, 6syl 16 . 2  |-  ( F : A -1-1-onto-> B  ->  ( `' F  o.  `' `' F )  =  (  _I  |`  A )
)
84, 7eqtr3d 2438 1  |-  ( F : A -1-1-onto-> B  ->  ( `' F  o.  F )  =  (  _I  |`  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1649    _I cid 4453   `'ccnv 4836    |` cres 4839    o. ccom 4841   Rel wrel 4842   -1-1-onto->wf1o 5412
This theorem is referenced by:  f1cocnv1  5664  f1ocnvfv1  5973  fcof1o  5985  mapen  7230  mapfien  7609  hashfacen  11658  setcinv  14200  catcisolem  14216  symggrp  15058  ufldom  17947  pf1mpf  19925  subfacp1lem5  24823  f1omvdco2  27259  ltrncoidN  30610  trlcoabs2N  31204  trlcoat  31205  trlcone  31210  cdlemg47  31218  tgrpgrplem  31231  tendoipl  31279  cdlemi2  31301  cdlemk2  31314  cdlemk4  31316  cdlemk8  31320  tendocnv  31504  dvhgrp  31590  cdlemn8  31687  dihopelvalcpre  31731
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pr 4363
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-rab 2675  df-v 2918  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-br 4173  df-opab 4227  df-id 4458  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420
  Copyright terms: Public domain W3C validator