Theorem f1ococnv1 3700

Description: The composition of a one-to-one onto function's converse and itself equals the identity relation restricted to the function's domain.

Assertion

Ref	Expression
f1ococnv1	|- (F:A-1-1-onto->B -> (`'F o. F) = (I |` A))

Proof of Theorem f1ococnv1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1orel 3683	. . . 4 |- (F:A-1-1-onto->B -> Rel F)
2		dfrel2 3477	. . . 4 |- (Rel F <-> `'`'F = F)
3	1, 2	sylib 198	. . 3 |- (F:A-1-1-onto->B -> `'`'F = F)
4	3	coeq2d 3281	. 2 |- (F:A-1-1-onto->B -> (`'F o. `'`'F) = (`'F o. F))
5		f1ocnv 3692	. . 3 |- (F:A-1-1-onto->B -> `'F:B-1-1-onto->A)
6		f1ococnv2 3699	. . 3 |- (`'F:B-1-1-onto->A -> (`'F o. `'`'F) = (I |` A))
7	5, 6	syl 10	. 2 |- (F:A-1-1-onto->B -> (`'F o. `'`'F) = (I |` A))
8	4, 7	eqtr3d 1506	1 |- (F:A-1-1-onto->B -> (`'F o. F) = (I |` A))

Syntax hints:   -> wi 3   = wceq 954  Icid 2826  `'ccnv 3164   |` cres 3167   o. ccom 3169  Rel wrel 3170  -1-1-onto->wf1o 3176

This theorem is referenced by:  f1ocnvfv1 3869  mapenlem1 4475  adjbdlnb 9955  symggrpi 10340  hmeogrp 10461

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-sep 2698  ax-pow 2737  ax-pr 2774

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-v 1808  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-nul 2277  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-op 2412  df-br 2615  df-opab 2662  df-id 2830  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-f1 3190  df-fo 3191  df-f1o 3192

Copyright terms: Public domain