Theorem f1oen2g 4384

Description: The domain and range of a one-to-one, onto function are equinumerous. This variation of f1oeng 4385 does not require the Axiom of Replacement.

Assertion

Ref	Expression
f1oen2g	|- ((F e. C /\ F:A-1-1-onto->B) -> A ~~ B)

Proof of Theorem f1oen2g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brprc 2657	. . . . . 6 |- (-. B e. V -> (A ~~ B <-> A ~~ A))
2		enrefg 4380	. . . . . 6 |- (A e. V -> A ~~ A)
3	1, 2	syl5bir 210	. . . . 5 |- (-. B e. V -> (A e. V -> A ~~ B))
4	3	a1d 12	. . . 4 |- (-. B e. V -> (E.f f:A-1-1-onto->B -> (A e. V -> A ~~ B)))
5	4	com3r 35	. . 3 |- (A e. V -> (-. B e. V -> (E.f f:A-1-1-onto->B -> A ~~ B)))
6		breng 4366	. . . 4 |- (B e. V -> (A ~~ B <-> E.f f:A-1-1-onto->B))
7	6	biimprd 154	. . 3 |- (B e. V -> (E.f f:A-1-1-onto->B -> A ~~ B))
8	5, 7	pm2.61d2 129	. 2 |- (A e. V -> (E.f f:A-1-1-onto->B -> A ~~ B))
9		dmfex 3650	. . 3 |- ((F e. C /\ F:A-->B) -> A e. V)
10		f1of 3684	. . 3 |- (F:A-1-1-onto->B -> F:A-->B)
11	9, 10	sylan2 451	. 2 |- ((F e. C /\ F:A-1-1-onto->B) -> A e. V)
12		f1oeq1 3679	. . . 4 |- (f = F -> (f:A-1-1-onto->B <-> F:A-1-1-onto->B))
13	12	cla4egv 1860	. . 3 |- (F e. C -> (F:A-1-1-onto->B -> E.f f:A-1-1-onto->B))
14	13	imp 350	. 2 |- ((F e. C /\ F:A-1-1-onto->B) -> E.f f:A-1-1-onto->B)
15	8, 11, 14	sylc 68	1 |- ((F e. C /\ F:A-1-1-onto->B) -> A ~~ B)

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   /\ wa 223   e. wcel 957  E.wex 979  Vcvv 1808   class class class wbr 2615  -->wf 3174  -1-1-onto->wf1o 3177   ~~ cen 4357

This theorem is referenced by:  f1oeng 4385

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-9 964  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1209  ax-11o 1217  ax-ext 1458  ax-sep 2699  ax-pow 2738  ax-pr 2775  ax-un 2862

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 980  df-sb 1171  df-eu 1381  df-mo 1382  df-clab 1463  df-cleq 1468  df-clel 1471  df-ne 1585  df-rex 1648  df-v 1809  df-dif 2046  df-un 2047  df-in 2048  df-ss 2050  df-nul 2278  df-pw 2399  df-sn 2409  df-pr 2410  df-op 2413  df-uni 2500  df-br 2616  df-opab 2663  df-id 2831  df-xp 3180  df-rel 3181  df-cnv 3182  df-co 3183  df-dm 3184  df-rn 3185  df-res 3186  df-ima 3187  df-fun 3188  df-fn 3189  df-f 3190  df-f1 3191  df-fo 3192  df-f1o 3193  df-en 4360

Copyright terms: Public domain